美式看跌期權的模糊二叉樹模型

賈東芳

（唐山師范學院 數(shù)學與信息科學系，河北 唐山 063000）

1 引言

在市場含有不確定因素的環(huán)境下，影響期權價格的變量不僅具有隨機性的特點，而且還具有模糊性質，因此將模糊理論應用于期權定價是對傳統(tǒng)定價方法的一個有益補充。2003年，日本學者 Yoshida[1]利用傳統(tǒng)的定價思想，在B-S模型和等價鞅測度模型的基礎上，運用對稱的三角形Fuzzy數(shù)證明了歐式期權模糊價格平價公式。同年，又考慮了美式看跌期權情形，令美式期權的價格依賴于決策者的模糊目標，并給出相應的結果[2]。2007年，S. Muzzioli和H. Reynearts[3]將模糊理論引入了歐式期權二叉樹模型，2008年又給出了利用梯形Fuzzy數(shù)來描述美式期權定價問題[4]。本文將在Cox-Ross-Robinstein[5]的二叉樹模型下，運用三角形Fuzzy數(shù)（不限于對稱的）對美式看跌期權進行定價，并給出相應的多期模糊二叉樹模型。

在模糊二叉樹模型中，如何獲得不精確的波動率是最為關鍵的環(huán)節(jié)。不精確的波動率用三角形Fuzzy數(shù)來描述。三角形Fuzzy數(shù)是一個區(qū)間，其上界、下界和最可能的值都需要確定。我們知道波動率分為歷史波動率和隱含波動率，其中歷史波動率是指某段預先給定的時間區(qū)間上實際市場價格的標準差，而隱含波動率是在已知模型其它參數(shù)的情形下，利用歐式期權定價公式解方程而得到的。關于隱含波動率在什么情況下更接近實際波動率，許多學者進行了探討。如Christensen和Prabhala[6]認為對于看漲期權來說，在平值狀態(tài)時所求得的隱含波動率最符合實際波動率；2002年，Christensen和Strunk[7]又提出了分別對實值狀態(tài)和虛值狀態(tài)以及看漲和看跌期權情形計算波動率，再進行加權平均而獲得的波動率更接近實際；2005年，Ederington和 Guan[8]考慮了敲定價的不同對波動率的影響，鑒于波動率微笑現(xiàn)象，認為隱含波動率應該在看漲期權的虛值狀態(tài)和看跌期權的實值狀態(tài)計算獲得；2008年，Muzzioli和Reynaerts[4]在用梯形Fuzzy數(shù)模擬波動率時，其上下界分別用平值狀態(tài)時的插值波動率（interpolated volatility）和一個月時期的隱含波動率來獲得，最可能的值是通過計算一個歐式看跌期權，其與所要確定的美式看跌期權有相同的執(zhí)行價格和相同的到期日，從而求解得到的隱含波動率。本文將采取Muzzioli和Reynaerts的方法確定波動率。

2 預備知識

定義1 A∈F( R )稱為Fuzzy數(shù)，若

（1）A是正規(guī)的，即?x0∈R，使 A ( x0)= 1；

（2）? α ∈ ( 0,1]，Aα是閉區(qū)間。

定義2 三角形Fuzzy數(shù)A由一個三元數(shù)組 ( a1, a2, a3)唯一決定。

若 a2- a1= a3-a2，則稱A為對稱的三角形Fuzzy數(shù)。

三角形Fuzzy數(shù)A可寫為如下形式：

定義 3 兩個 Fuzzy數(shù) A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)的最大值：

3 模型

假設市場無交易費用、無稅、不限制賣空、資產(chǎn)無限可分、市場完全，期權的有效期T被分成N期，每時期長度為T N，不存在套利機會，即對于無風險收益率r，在每一時期T N，有d ＜ 1 + r ＜ u ，其中u是股票價格的上漲因子，d是股票價格的下降因子。設K是執(zhí)行價格，σ為股票收益率的波動率，pu和pd是風險中性概率，文中pu和pd被假設為不精確的。S0為股票的初始價格，Sn為n時期的股票價格， Vn( Sn)為n時期的期權價格。

由Cox-Ross-Robinstein[5]模型假設知：

且

由(1)式解得

股票價格Sn和美式期權的價格 Vn( Sn)為

用三角形Fuzzy數(shù)來推廣以上模型。設 σ = (σ1, σ2, σ3)，其中σ1,σ3的求法將沿用引言中提到的Muzzioli和Reynaerts[4]的方法，σ2為梯形Fuzzy數(shù)的兩個最可能值的平均值。

由波動率計算上漲和下跌因子，得

則有

若 d2≤1+r ≤ d3或u1≤ 1 + r ≤ u2將產(chǎn)生套利機會。

因此將(1)式改寫為如下Fuzzy線性系統(tǒng)，

其中收益率r為常數(shù)，pu和pd為待求的Fuzzy數(shù)。

無套利條件保證了上述模糊矩陣對所有的d ∈ (d1, d2, d3)，u ∈ (u1, u2, u3)為滿秩。為求解(2)，需解決如下非線性規(guī)劃問題：

目標函數(shù)：

約束條件：

由定義知，上漲和下跌因子可記為：

對每個α，由

知，當umax=時，取得最大值，當umin=時，取得最小值。由

知，當umax=時，pd取得最大值，當umin=時，pd取得最小值。由

知，當dmax=時，取得最大值，當dmin=時，取得最小值。所以(2)的解為

用三元數(shù)組表示，即

將 u , d, pu, pd代入股票價格和期權價格函數(shù)，得

用倒推法可求得Fuzzy數(shù) V0=(a, b, c)，其中a和c分別為期權價格的上限和下限，b為期權價格的最可能值。

3 結論

本文所得模糊期權價格 V0=(a, b, c)可以作為決策者比較理論價格和市場價格的一個參考，決策者也可以制定更高的置信水平α＞0，使期權理論價格的區(qū)間縮小。另外，本文雖是以標準美式看跌期權為例討論的，但其定價方法也可推廣至其他的效用函數(shù)。

[1]Yuji Yoshida. The valuation of European options in uncertain environment[J]. European Journal of Operational Research, 2003, 145: 221-229.

[2]Yuji Yoshida. A discrete-time model of American put option in an uncertain environment[J]. European Journal of Operational Research, 2003, 151: 153-166.

[3]S. Muzzioli, H. Reynaerts. The solution of fuzzy linear systems by non-linear programming: a financial application[J]. European Journal of Operational Research,2007, 177: 1218-1231.

[4]S. Muzzioli, H. Reynaerts, American option pricing with imprecise risk-neutral probabilities[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2008, 49: 140-147.

[5]J. C. Cox, S. A. Ross, S. Rubinstein. Option pricing, a simplified approach[J]. Journal of Financial Economics,1979, (7)229-263.

[6]B. J. Christensen, N. R. Prabhala. The relation between implied and realized volatility[J]. Journal of Financial Economics, 1998, 50: 125-150.

[7]B. J. Christensen, C. Strunk. New evidence on the implied-realized volatility relation[J]. The European Journal of Finance, 2002, 8(2): 187-205.

[8]L. Ederington, W. Guan. The information frown in option prices[J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29(6):1429-1457.