一類積分-微分方程解的有界性與漸近性

李文娟，馬 勇

（1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.中國人民解放軍93088部隊(duì)，內(nèi)蒙古赤峰024000）

一類積分-微分方程解的有界性與漸近性

李文娟1，馬 勇2

（1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.中國人民解放軍93088部隊(duì)，內(nèi)蒙古赤峰024000）

主要研究了一類具有偏差變元的高階積分微分方程解的有界性與漸近性.給出了這類方程解有界的充分條件，所得結(jié)果包含并改進(jìn)了已有的一些結(jié)果.

有界性；漸近性；積分微分方程

關(guān)于積分微分方程解的有界性與漸近性，目前已有許多結(jié)果[1-7].文[1]研究了方程的解的有界性與漸近性.

本文的主要目的是利用不等式研究一類更為廣泛的具有偏差變元的積分微分方程的解的有界性與漸近性.其中R3→R是連續(xù)函數(shù).α＞0是常數(shù),且最終為正.為定義在[γ,0]上的可微函數(shù)，方程在區(qū)間R+上的初值問題的解即是存在一函數(shù)x(t),滿足：

(1)x(0+)=θ(0-),x'(0+)=θ'(0-),…x(n-1)(0+)=θ(n-1)(0-)

(2)x(j)(t)=θ(j)(t),t∈[γ,0),j=0,1,…,n-1,

(3)x(i)(t),1≤i≤n,在R+上存在且x(t)滿足方程.

本文假設(shè)滿足這些條件的解存在.

方程(1)對應(yīng)的齊次方程的n個(gè)線性無關(guān)解?1，?2，…，?n.定義?=c1?1+c2?2+…+cn?n其中c1,…cn是常數(shù).

其中Wi(?1,…,?n)是Wornskian行列式W(?1,…,?n)中第列被(0,0,…,0,1)代替得到.

1 積分不等式

引理1[2]u(t),f(t),g(t),h(t)是R+上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),c＞0且為常數(shù).p＞0,p≠1是常數(shù).若

(1)如果0＜p＜1,則

(2)如果1＜p＜∞,則

2 接的有界性與漸近性

情況1當(dāng)0＜α＜1時(shí)有

定理1方程(1)滿足∶

其中c＞0,M＞0是常數(shù).s-r≤φ(s)≤s,φ'(s)＞0,且φ(s)最終為正.

(2)函數(shù)f(t,u1,u2,u3),g(t,s,u1,u2)滿足

其中p(t),q(s)∶R+→R+是連續(xù)函數(shù).

(3)如果

則方程(1)的所有解于R+上有界.

證明由常數(shù)變易法.方程(1)的任意解可表示為

其中?=c1?1+c2?2+…+cn?n,c1,…cn是常數(shù),?1,?2,…,?n是方程(2)的n個(gè)線性無關(guān)解.由題設(shè)知

令w(t)=max{|x(t)|,|x(φ(t))}.因上式的右端單調(diào)不減,則

由上式知

由引理得

由于|x(t)|≤|w(t)|,且由上式及題設(shè)知w(t)有界.得方程(1)的解有界.

注1在定理1中取φ(s)=s,則定理1包含了文[1]中的一條定理.

定理2方程(1)滿足∶

其中c＞0,M＞0,β＞0是常數(shù).s-r≤φ(s)≤s,φ'(s)＞0,且φ(s)最終為正.

(2)函數(shù)f(t,u1,u2,u3),g(t,s,u1,u2)滿足

其中p(t),q(s)∶R+→R+是連續(xù)函數(shù).

(3)如果

則方程(1)的一切解x(t)→0,→∞.

證明由常數(shù)變易法.方程(1)的任意解可表示為

其中?=c1?1+c2?2+…+cn?n,c1,…cn是常數(shù),?1,?2,…,?n是方程(2)的n個(gè)線性無關(guān)解.由題設(shè)知

上式可被寫為

令w(t)=exp(βτ)max{|x(t),|x(φ(t)|}.因上式的右端單調(diào)不減,則

由引理得

由上式及題設(shè)知w(t)有界且|x(t)|≤|w(t)|exp(-βt),得到x (t)→,t→∞.

注2在定理2中取φ(s)=s,則定理2包含了文[1]中的一條定理.

情況2當(dāng)α＞1時(shí)有

定理3方程(1)滿足∶

其中c＞0,M＞0是常數(shù).s-r≤φ(s)≤s,φ'(s),且φ(s)最終為正.

(2)函數(shù)f(t,u1,u2,u3),g(t,s,u1,u2)滿足

其中p(t),q(s)∶R+→R+是連續(xù)函數(shù).

(3)如果

則方程(1)的所有解于R+上有界.

證明類似定理1的證明.

定理4方程(1)滿足∶

其中c＞0,M＞0,β＞0是常數(shù).s-r≤φ(s)≤s,φ'(s)＞0,且φ(s)最終為正.

(2)函數(shù)f(t,u1,u2,u3),g(t,s,u1,u2)滿足

其中p(t),q(s)∶R+→R+是連續(xù)函數(shù).

(3)如果

則方程(1)的一切解x(t)→0,t→∞.

證明類似定理2的證明.——————————

〔1〕Pachpatte,B.G.,On a class of nonlinear nth order integrodifferential equations[J].J.M.A.C.T,1976,9:37-45.

〔2〕Pachpatte,B G.,On some new integral inequalities for differential and integral equations[J].J.Math.physical Sci. 1976,10,101-116.

〔3〕孟凡偉.二階非線性積分-微分方程解的有界性[J].濱州師專學(xué)報(bào),2001,17(4):5-8.

〔4〕許志宏,孟凡偉.一類具有偏差變元的二階非線性積分微分方程解的有界性[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,18 (1):16-19.

〔5〕紀(jì)德紅，孟凡偉.一類高階非線性具有偏差變元的微分方程解的有界性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23(6):1064-1067.

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A

1673-260X（2013）01-0004-03