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    分段函數(shù)在微積分中的計(jì)算

    2013-07-12 18:56:00任偉和李曉輝
    關(guān)鍵詞:開區(qū)間分界點(diǎn)微積分

    任偉和,李曉輝

    (石家莊理工職業(yè)學(xué)院,河北石家莊050228)

    高教論摘(4則)

    分段函數(shù)在微積分中的計(jì)算

    任偉和,李曉輝

    (石家莊理工職業(yè)學(xué)院,河北石家莊050228)

    本文主要講述了分段函數(shù)在微積分中的計(jì)算,并通過具體的實(shí)例討論了分段函數(shù)在極限與連續(xù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性、不定積分、定積分等方面的應(yīng)用.解決了在討論分段函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、不定積分及定積分時(shí),為什么要在分段函數(shù)的分界點(diǎn)處進(jìn)行討論以及怎樣討論的問題。

    分段函數(shù);可導(dǎo);不定積分;定積分

    1 引言

    在微積分中,涉及較多的函數(shù)除了初等函數(shù)外,還有分段函數(shù).大多數(shù)有關(guān)分段函數(shù)的問題,初學(xué)者都感覺不太好處理.因此,本文通過具體的實(shí)例討論了分段函數(shù)在連續(xù)性、可導(dǎo)性以及積分中的計(jì)算。

    2 分段函數(shù)的連續(xù)性

    2.1 函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性

    例1討論函數(shù)

    綜上,

    2.2函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性

    分析:開區(qū)間內(nèi)連續(xù)是指內(nèi)部每一點(diǎn)處均連續(xù),閉區(qū)間上連續(xù)指的是內(nèi)部點(diǎn)連續(xù),左端點(diǎn)處右連續(xù),右端點(diǎn)處左連續(xù).

    3 分段函數(shù)可導(dǎo)性

    用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí),要注意以下兩點(diǎn):

    (2)對(duì)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的求法,先求出左右導(dǎo)數(shù),如果左右導(dǎo)數(shù)相同,則分段函數(shù)在分界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值存在.

    若分段函數(shù)在各開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),就用初等函數(shù)求導(dǎo)的方法分別求出它在各開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù),而在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性的討論則要特別注意:①若函數(shù)在處不連續(xù),則它在處不可導(dǎo);②若函數(shù)在處連續(xù),則它必須用導(dǎo)數(shù)的定義判斷函數(shù)在是否可導(dǎo),若可導(dǎo),則可進(jìn)一步得到它在的導(dǎo)數(shù).

    4 分段函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性

    該引理說明了連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件,函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)則必不可導(dǎo).因此,對(duì)分界點(diǎn)處是否可導(dǎo)應(yīng)先判斷是否連續(xù).

    [注]研究分段函數(shù)可導(dǎo)性(連續(xù)性)時(shí),分界點(diǎn)需要特別考慮.

    5 分段函數(shù)的不定積分

    6 分段函數(shù)的定積分

    6.1 分段連續(xù)函數(shù)的定積分的計(jì)算

    對(duì)分段定義連續(xù)函數(shù)的定積分,可根據(jù)定積分的性質(zhì),對(duì)定積分區(qū)間分段計(jì)算求出.

    則有下式成立:

    其中令

    6.2 分段有界非連續(xù)函數(shù)定積分的計(jì)算

    定積分理論中對(duì)有界非連續(xù)函數(shù)的可積已有完整的結(jié)果.

    我們應(yīng)用這些結(jié)果對(duì)有界非連續(xù)分段函數(shù)的定積分的計(jì)算進(jìn)行如下研究.

    6.2.1 分段有界有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)

    6.2.2 分段有界有無限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)

    上可積,并求其積分值.

    證明:

    .........

    [1]吳良獻(xiàn).數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解[M].北京:北京科學(xué)出版社,1999

    [2]鄭隆炘.高等師范數(shù)學(xué)教育研究[M].武漢:華中科技大學(xué)出社,2001

    [3]杜伯仁.高等數(shù)學(xué)習(xí)作課精編[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2001

    G642.3

    A

    JL01-0229(2013)04-0001-06

    2013-10-15

    責(zé)任編輯:楊國(guó)慶

    校對(duì):李曉霞

    任偉和(1984-),男,漢族,河北邢臺(tái)人,公共教學(xué)部,教師,主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

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