非伸展映像與非擴(kuò)張映像在Hilbert空間中的弱收斂定理

張 煥，張 芳

（天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387）

非伸展映像與非擴(kuò)張映像在Hilbert空間中的弱收斂定理

張 煥，張 芳

（天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387）

給出了非伸展映像的概念，并且在Hilbert空間中證明了非伸展映像與非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)的弱收斂定理.所得結(jié)果改進(jìn)和拓展了Osilike和Isiogugu以及其他作者的相關(guān)結(jié)果.

Hilbert空間；k-嚴(yán)格偽非伸展映像；非擴(kuò)張映像；遍歷定理；弱收斂定理

2008年，Kohsaka[1]和Takahashi[2]介紹了一種重要的映像叫做非伸展映像，并且Kurokawa和Takahashi給出了關(guān)于非伸展映像在Hilbert空間中的弱收斂與強(qiáng)收斂定理的證明.而Osilike與Isiogugu[3]則是將Kurokawa和Takahashi文章中的非伸展映像拓展為更廣泛的算子——k-嚴(yán)格偽非伸展映像，并且同樣給出了很好的證明，同時(shí)證明了結(jié)論“每一個(gè)非伸展映像都是k-嚴(yán)格偽非伸展映像”.本文是在Osilike與I-siogugu文章的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)算子——非擴(kuò)張映像，即將非擴(kuò)張映像與k-嚴(yán)格偽非伸展映像結(jié)合在一起證明弱收斂到不動(dòng)點(diǎn).

1 預(yù)備知識(shí)

映射S是C到C的一個(gè)非擴(kuò)張映像，且對(duì)于所有的x，y∈C滿足‖Sx-Sy‖≤‖x-y‖.

設(shè)E是一個(gè)實(shí)光滑嚴(yán)格凸并且自反的Banach空間，j表示E的對(duì)偶映像，C是E的非空閉凸子集，如果對(duì)于所有的x，y∈C滿足φ（Tx，Ty）+φ（Ty，Tx）≤φ（Tx，y）+φ（Ty，x），這里φ（x，y）=‖x‖2-2〈x，j（y）〉+‖y‖2，?x，y∈E.則映像T叫做C到C的非伸展映像.

如果E是一個(gè)實(shí)Hilbert空間，則j是恒等映射φ（x，y）=‖x‖2-2〈x，y〉+‖y‖2，?x，y∈E.那么如果C是實(shí)Hilbert空間的一個(gè)非空閉凸子集，則T是非伸展的，則有2‖Tx-Ty‖2≤‖Tx-y‖2+‖Tyx‖2?x，y∈C，并且不等式等價(jià)于‖Tx-Ty‖2≤‖xy‖2+2〈x-Tx，y-Ty〉，?x，y∈C.

設(shè)H是實(shí)Hilbert空間，定義一個(gè)映像T∶D（T）?H→H是k-嚴(yán)格偽非伸展映像，如果存在k∈[0，1），使得‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2+k‖x-Tx-（y-Ty）‖2+ 2〈x-Tx，y-Ty〉對(duì)所有的x，y∈D（T）成立.

引理1設(shè)H是一個(gè)實(shí)Hilbert空間，則有下面的結(jié)論

2 主要定理與證明

3 結(jié)束語(yǔ)

本文的主要定理推廣了Osilike與Isiogugu的結(jié)果，但只是探討了弱收斂的問(wèn)題，對(duì)于強(qiáng)收斂的問(wèn)題還需進(jìn)一步研究.

[1]KOHSAKA F，TAKAHASHI T.Fixed point theorems for a class of nonlinear mappings relate to maxi-mal monotone operators in Banach spaces[J].Arch Math（Basel），2008，91：166-177.

[2]KOHSAKA F，TAKAHASHI T.Existence and approximation of fixed points of firmly nonexpansive type mappings in Banach spaces[J].SIAM J Optim，2008，19：824-835.

[3] OSILIKE M O，ISIPOGUGU F O.Weak and strong convergence theorems for nonspreadingtype mappings in Hilbert spaces[J].Nonlinear Anal，2011，74：1814-1822.

[4]TAKAHASHI W，TOYODA M.Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings[J].J Optim Theory Appl，2003，118：417-428.

[5]AOYAMA K，KIMURA Y，TAKAHASHI W，et al.Approximation of common fixed points of a countable family of nonexpansive mappings in a Banach space [J].Nonliear Anal，2007，67：2350-2360.

[6] XU H K.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J Lond Math Soc，2002，66：240-256.

[7]張 芳.非擴(kuò)張映像的Ishikawa型混雜迭代方法的強(qiáng)收斂定理[J].天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，26（3）：73-75.

[8]秦小龍，蘇永福，李麗華.復(fù)合Halpern迭代逼近非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)[J].天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，25（6）：78-81.

Weak convergence theorems for nonspreading-type mappings and nonexpansive mappings in Hilbert spaces

ZHANG Huan，ZHANG Fang
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The notion of nonspreading-type mappings is presentecl and the weak convergence theorem of fixed point for nonspreading-type mappings combined with nonexpansive mappings in real Hilbert spaces is proved.The results generalize and improve the recent results of Osilike and Isiogugu and some others.

Hilbert spaces；k-strictly pseudononspreading mappings；nonexpansive mappings；mean ergodic theorem；weak convergence theorems

O177.1

A

1671-024X（2013）02-0086-03

2012-06-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11071279）

張 煥（1987—），女，碩士研究生.

張 芳（1974—），女，碩士生導(dǎo)師.E-mail：zhangfangsx@163.com