有關(guān)偶完全數(shù)尾數(shù)的結(jié)論

張四保

(喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆 喀什 844007)

設(shè)N+是全體正整數(shù)的集合.若，如果n滿足關(guān)系式則n被稱為完全數(shù)［1］.此時，若n是偶數(shù)，則n稱之為偶完全數(shù)，根據(jù)經(jīng)典的Euclid與Euler定理可知，每個偶完全數(shù)的形式均為n=2p-1(2p-1)，其中2p-1為Mersenne素數(shù)，并以Mp記之;若n是奇數(shù)，則n被稱之為奇完全數(shù).至今只發(fā)現(xiàn)47個偶完全數(shù)［2］，但尚未發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)，和未給出奇完全數(shù)是否存在的合理性證明.是否存在奇完全數(shù)，這已成為數(shù)論中的難題之一［3］.

對于偶完全數(shù)尾數(shù)的討論，文獻［4-5］分別討論了偶完全數(shù)的個位與十位數(shù)字的情況，并給出了相應(yīng)的結(jié)論;并且文獻［5］中指出，根據(jù)文中的方法，可以大致的推斷出偶完全數(shù)百位、千位…等各個位次上數(shù)字的大概情況.但是文獻［5］中并未給出偶完全數(shù)的素指數(shù)p的取值情況.本文通過對素指數(shù)p取值情況的討論，并調(diào)用、執(zhí)行中國剩余定理的C語言程序來確定偶完全數(shù)百位數(shù)字取值情況.

1 主要結(jié)論及其證明

定理 設(shè)n=2p-1(2p-1)是偶完全數(shù).若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為0;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為1;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為2;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為3;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為4;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為5;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為6;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為7;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為8;

若n的素指數(shù)p滿足

則n的百位數(shù)字為9.

證明 由于當(dāng)偶完全數(shù)n=2p-1(2p-1)的素指數(shù)p=2、3時，n分別為n=6 ＜100、n=28 ＜100，那么考慮p≥5的情況.將素指數(shù)p分為p=8k+1，p=8k+3，p=8k+5 與p=8k+7.當(dāng)p≥5時，n=2p-1(2p-1)取模8有下列關(guān)系式

n=2p-1(2p-1)取模125可以分為2p-1與Mp=2p-1分別取模125.結(jié)合素指數(shù)p=8k+1，p=8k+3，p=8k+5與p=8k+7的4種情況，2p-1取模125有下列關(guān)系式:

從式(2)可知，只需考慮6k取模125的情況.對于6k取模125的情況，文獻［6］給出了當(dāng) k≡0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24(mod25)時，6k取模 125 的情況分別為 6k≡1，6，36，91，46，26，31，61，116，71，51，56，86，16，96，76，81，111，41，121，101，106，11，66，21(mod125)［6］，因而式(2)等價于下面式(3)—式(6):

而對于Mp=2p-1取模125的情況有下面式(7)-(10)［6］:

將式(3)與式(7)組合有，

將式(4)與式(8)組合有，

將式(5)與式(9)組合有，

將式(6)與式(10)組合有，

將式(1)分別與式(11)-(14)構(gòu)成方程組.為了解出式(1)與式(11)所組成的第一個同余式組，通過調(diào)用、執(zhí)行文獻［7］所給出的有關(guān)中國剩余定理的C語言程序，輸入運行得如下結(jié)果:

其中的Enter部分表示需要用戶輸入的信息，最后一行為所求的x的值.類似的，重復(fù)以上步驟，將所得的結(jié)果加之中國剩余定理的應(yīng)用整理如下:

由于當(dāng) k≡0，5，10，15，20(mod25)時，p=8k+5一定是合數(shù)，故除去這5種情況.對上面式(15)-(18)分析，對百位數(shù)字分別是1至9的情況進行歸類可以得到本文定理.

2 幾個推論

推論1 若偶完全數(shù)n的百位數(shù)字是0，2，4，6，7，8，9，那么n的素指數(shù)p只能是4k+1型素數(shù).

對文獻［5］中的結(jié)論進行強化，給出了如下2個推論.

推論2 偶完全數(shù)n=2p-1(2p-1)的最后兩位數(shù)是28的充分必要條件是n的素指數(shù)p是4k+3型素數(shù).

推論3 每個大于6且以6結(jié)尾的偶完全數(shù)n=2p-1(2p-1)，

若素指數(shù)p滿足

則其十位數(shù)字必為7;

若素指數(shù)p滿足

p=8k+1，k≡3，8，13，18，23(mod25)或 p=5，則其十位數(shù)字必為9.

［1］ 單 墫.初等數(shù)論［M］.南京:南京大學(xué)出版社，2000.

［2］ 南麗麗.對完全數(shù)幾個特性的C-語言驗證［J］.運城學(xué)院學(xué)報，2010，28(5):80-81.

［3］ DICKSON L E.History of theory of number［M］.Washington:Washington Carnegie Institution，1919.

［4］ 杜君花.關(guān)于偶完全數(shù)尾數(shù)的探討［J］.高師理科學(xué)刊，2004，24(3):13.

［5］ 張四保，羅 霞.偶完全數(shù)的兩個注記［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，24(6):4-5.

［6］ 張四保，鄧 勇.Mersenne素數(shù)的一點注記［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，45(3):371-373.

［7］ 顏松遠.計算機在數(shù)論中的應(yīng)用［J］.計算機應(yīng)用研究，1993(2):1-9.