非奇異弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣的逆矩陣無(wú)窮大范數(shù)的上界

蔣建新

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

非奇異弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣的逆矩陣無(wú)窮大范數(shù)的上界

蔣建新

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

文章研究了非奇異弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣A的逆矩陣A-1無(wú)窮大范數(shù)上界的估計(jì)問(wèn)題，利用弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣的逆矩陣元素的上界估計(jì)式給出了上界的新的估計(jì)式，這些估計(jì)式改進(jìn)了現(xiàn)有的結(jié)果。

弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣；M矩陣；范數(shù)；上界

1 預(yù)備知識(shí)

Cn×n（Rn×n）表示n×n復(fù)（實(shí)）矩陣的集合，N={1，2，…，n}，A=（aij）∈Rn×n且aii≠0。

定義1［1］設(shè)A=（aij）∈Rn×n，若J（A）=N，則稱(chēng)A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣（SDD）；若A不可約，di≤1，且，則稱(chēng)A為不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣（IDD）；若di≤1，，且對(duì)i∈J（A），必存在非零元素鏈，其中i1=i≠i2，…，ir≠ik，0≤r≤k-1，ik∈J（A），則稱(chēng)A為弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣（WCDD）。

定義2［1］設(shè)A=（aij）∈Rn×n，若aij≤0，A非奇異且A-1≥0（A-1是非負(fù)矩陣），則稱(chēng)A是非奇異M矩陣。

定義3［1］設(shè)A=（aij）∈Rn×n是非奇異H矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A的比較矩陣＜A＞是M矩陣，其中

設(shè)A=（aij）∈Rn×n，A（n1，n）表示去掉A的前n1行與前n1列得到的A的主子矩陣。

不知有多少年了，這是天葬師第一次在一個(gè)風(fēng)和日麗的上午，離開(kāi)天葬院，來(lái)到天葬場(chǎng)以外的其他地方。青辰推著輪椅，唐玉煙跟在身旁，三個(gè)人慢慢地走。輪椅的木輪吱扭吱扭地響，像單調(diào)的安眠曲，讓人心寧氣靜。

引理1［3］若A=（aij）∈Rn×n是WCDD的M矩陣，則B=A（2，n）∈R（n-1）×（n-1）也是WCDD的M矩陣，且B-1=（βij）存在，βij≥0，（i，j=2，3，…，n）。

引理2［4］若A=（aij）∈Rn×n是WCDD的M矩陣，B=A（2，n）∈R（n-1）×（n-1），A-1=（αij），B-1=（βij）。則

其中，

若J（A）=N，則。

引理3［5］設(shè)A，B∈Cn×n，若＜A＞是非奇異M矩陣，則。

引理4［5］設(shè)A=（aij）∈Rn×n是SDD，IDD，或WCDD矩陣，則A-1=（αij）滿足

且對(duì)任意的i∈N有

定理1設(shè)A=（aij）∈Rn×n是SDD，IDD，或WCDD矩陣，則A-1=（αij）存在且下列式子成立

且對(duì)任意的i∈N有

證明：我們僅證明（8）式對(duì)于WCDD矩陣成立，其他情況（SDD，IDD）的證明類(lèi)似。

因?yàn)棣羒j是A-1的元素，所以

兩邊取絕對(duì)值應(yīng)用（6）式得

則（8）式得證。

由AA-1=I，有

（9）式左邊的證明類(lèi)似于右邊的證明。

由di與vij的定義，di≤1，知vij≤di，因此定理1提高了引理4。

定理2設(shè)A=（aij）∈Rn×n是WCDD矩陣，B=A（1，n），A-1=（αij），B-1=（βij），則

證明：由［3］中的定理3.3 知，A是H矩陣，則＜A＞是非奇異的WCDD的M矩陣。應(yīng)用引理3得。

所以我們假設(shè)AAA是非奇異的WCDD的M矩陣。

由引理2和（9）式

當(dāng)2≤i≤n時(shí)，由（4）式和（8）式得αi1≤f（1）α11

MA=max{h1，hi|2≤i≤n}

定理3設(shè)A是WCDD矩陣，則

證明對(duì)定理2應(yīng)用迭代法即可得證。

數(shù)值算例設(shè)，容易證明A是WCDD的M矩陣。

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The Infinity Norm Upper Bound for the Inverse of Nonsingular Weakly Chained Dominant Matrices

JIANG jian-xin
( Department of Mathematics and Physics, Wenshan University, Yunnan 663000 )

The paper studies the problem of estimating upper bounds on the infinite normof the inverse matrix A-1of nonsingular weak chain diagonally dominant matrix A, using the upper bound of elements of inverse matrix of weak chain diagonally dominant matrix gives the new estimation of upper bound of, and improves the existing results.

Weakly chained diagonally dominant matrix; M matrix ; Norm; Upper bound.

O151.21

A

1674-9200（2013）03-0024-04

（責(zé)任編輯 劉常福）

2012 - 12 - 20

文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)建設(shè)項(xiàng)目（12WSXK01）。

蔣建新（1981 -），男，甘肅天水人，文山學(xué)院數(shù)理系講師，碩士，主要從事微分方程理論及其應(yīng)用研究。