運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的加速度推導(dǎo)方法分析

龍志勤，習(xí)會(huì)峰，王志剛

（廣東石油化工學(xué)院，廣東 茂名525000）

在高校的理論力學(xué)課程中，分析平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，首先把剛體的平面運(yùn)動(dòng)簡化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，而平面圖形的平面運(yùn)動(dòng)可看成為隨同基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)這兩部分運(yùn)動(dòng)的合成，于是，可利用點(diǎn)的速度合成定理及點(diǎn)的加速度合成定理確定剛體平面運(yùn)動(dòng)上各點(diǎn)的速度和加速度，這就是目前理論力學(xué)教材中普遍介紹的方法——合成法[1~2]。在此，本文提出另一種推導(dǎo)方法——解析分析法，從不同的角度對(duì)物理問題進(jìn)行理論分析推導(dǎo)，這對(duì)于啟發(fā)學(xué)生的思維，開闊學(xué)生的思路，提高分析問題的能力，是非常有益的。

1 剛體平面運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的速度分析

剛體平行于oxy平面作平面運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，設(shè)點(diǎn)A是平面圖形上任意一點(diǎn)，選A點(diǎn)為基點(diǎn)，則平面圖形在其平面上的位置完全可由下列三個(gè)方程確定，即

圖1 剛體平面運(yùn)動(dòng)

這就是以直角坐標(biāo)表示的平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程。

平面圖形上B點(diǎn)在任意瞬時(shí)的位置可用它的二個(gè)直角坐標(biāo)、確定，B點(diǎn)的坐標(biāo)與基點(diǎn)A有如下關(guān)系：

這是以直角坐標(biāo)表示的平面圖形上任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

為確定B點(diǎn)的速度，將方程（2）對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)，得

圖2 剛體平面運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的速度分析

故，點(diǎn)B的速度大小為：

在圖2中，νA與νBA之間的夾角∠CBD=π-，在△BCE中，角∠BCE，因此，式（6）可改寫成

式（7）是典型的三角余弦定理的表達(dá)式，表明νB、νBA、νA三者的關(guān)系符合三角形法則，即于是得出結(jié)論：平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。

2 剛體平面運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的加速度分析

為確定B點(diǎn)的加速度，將方程（3）對(duì)時(shí)間再取一次導(dǎo)數(shù)，得

圖3 剛體平面運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的加速度分析

故，點(diǎn)B的加速度大小為：

如圖3，在△BKM中，角∠BKM=θ+γ，因此，式（11）也是典型的三角余弦定理的表達(dá)式，表明aB、aA、aBA三者的關(guān)系符合三角形法則，即aB=aA+aBA，而，故，于是得出結(jié)論：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。

3 結(jié)束語

本文以剛體平面運(yùn)動(dòng)上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為基礎(chǔ)，采用解析法推導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度和加速度，給出了一種區(qū)別于目前教材的推導(dǎo)方法，所得結(jié)果與合成法完全一致，這有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，從而有效地提高教學(xué)品質(zhì)和教學(xué)效果。

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研組編.理論力學(xué)(Ⅰ)：第六版[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]郝桐生.理論力學(xué)：第二版[M].北京：高等教育出版社，1982.