基于Matlab的兩軸單公用齒輪機(jī)構(gòu)變位系數(shù)選擇的方法

李英楠

（廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧530004）

兩軸單公用齒輪機(jī)構(gòu)是一種常見的變速機(jī)構(gòu)，由于這種機(jī)構(gòu)采用了公用齒輪，因此可以減少機(jī)構(gòu)中齒輪的數(shù)目，減輕機(jī)構(gòu)的重量，從而節(jié)約了成本。該機(jī)構(gòu)在機(jī)床的走刀箱、變速箱及各種機(jī)器適宜的變速機(jī)構(gòu)中都廣泛應(yīng)用[1]。在這種機(jī)構(gòu)中，為了配湊中心距，所有齒輪一般都采用變位齒輪，由于齒輪的公用,使得各齒輪間的變位系數(shù)互相牽制，因此如何合理的選擇齒輪的變位系數(shù)就成為了設(shè)計該機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵問題。目前，選擇齒輪變位系數(shù)廣泛采用封閉圖法，但此方法并不適用于一個齒輪分別與兩個或兩個以上齒輪嚙合的情況[2]。

鑒于此，本文針對該機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，根據(jù)變位齒輪變位系數(shù)選擇的限制條件，利用Matlab軟件強(qiáng)大的數(shù)值計算功能，提出了一種選擇變位系數(shù)的方法。

1 工作原理及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

1.1 工作原理

圖1所示即為兩軸單公用齒輪機(jī)構(gòu)，軸I上的齒輪為公用齒輪，齒數(shù)為Z，軸II上的齒輪為固定齒輪，齒數(shù)Z1、Z2<……

圖1 傳動原理圖

1.2 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

（1）各齒輪變位系數(shù)之間的關(guān)系

當(dāng)所有齒輪的齒數(shù)、模數(shù)、壓力角以及實際中心距均已確定之后，變位系數(shù)之和xi∑=x+xi也完全確定，且滿足x1∑>x2∑>…>xn∑，x1>x2>…>xn。由此可知：若確定了任一齒輪的變位系數(shù)，其它所有齒輪的變位系數(shù)也就隨之確定了。

（2）固定齒輪Z1、Z2……Zn的齒頂圓半徑

根據(jù)變位齒輪齒頂圓半徑公式可推導(dǎo)出固定齒輪Z1、Z2……Zn的齒頂圓半徑為：

由此可以看出：決定rai的所有參數(shù)都是唯一確定的，因此所有固定齒輪的齒頂圓半徑都是相等的。

2 變位系數(shù)選擇方法

2.1 實際中心距as的確定

根據(jù)各固定齒輪的齒數(shù)關(guān)系可知：兩軸間理論中心距的最大值a max=m(Z+Zn)/2，最小值a min=m(Z+Z1)/2，由于正傳動的優(yōu)點(diǎn)多于負(fù)傳動，因此一般選擇實際中心距as為大于(a min+a max)/2的整數(shù)。

2.2 擬定傳動方案可行性的判定

當(dāng)實際中心距as確定以后，根據(jù)文獻(xiàn)[3]中給出的選擇變位系數(shù)的限制條件利用Matlab軟件計算出固定齒輪中齒數(shù)最少的齒輪Z1在滿足無根切、無過渡曲線干涉、齒頂厚、重合度限制條件下的最大變位系數(shù)值x1max，以及齒數(shù)最多的齒輪Zn在滿足無過渡曲線干涉、齒頂厚以及重合度的限制條件的最小變位系數(shù)值xnmin，然后依據(jù)文獻(xiàn)[1]中提出的II軸上最大與最小齒輪的許用齒數(shù)差的計算公式：2(x1max-xnmin)≥Zn-Z1來判定該傳動方案是否可行。

2.3 變位系數(shù)的分配

當(dāng)實際中心距as確定之后，公用齒輪Z與固定齒輪Z1、Z2…Zn之間的變位系數(shù)之和xi∑=xi+x就完全確定，若選取齒輪Z1的變位系數(shù)為[x1min，x1max]中某一值x1，則公用齒輪的變位系數(shù)x=x1∑-x1，其它固定齒輪的變位系數(shù)xi=xi∑-x1∑+x1，其中(i=2，3，…，n)。當(dāng)齒輪Zn的齒數(shù)較少時，齒輪Z2、Z3…Zn中的某些齒輪會產(chǎn)生不同程度的根切，若選取x1=x1max，就可保證在滿足最小齒輪Z1設(shè)計要求的基礎(chǔ)上其它所有固定齒輪的變位系數(shù)達(dá)到最大，從而最大限度地降低了根切齒輪根切的程度。

2.4 公用齒輪Z的齒頂圓半徑的確定

（1）所有固定齒輪均無根切的情況

公用齒輪Z與固定齒輪Z1、Z2…Zn分別嚙合時,它們的齒頂高變動系數(shù)Δyi不同，當(dāng)所有固定齒輪的變位系數(shù)都已經(jīng)確定之后，根據(jù)齒頂圓半徑計算公式可知：在理論上，齒輪Z共有n個齒頂圓半徑,并且滿足razz1

（2）固定齒輪中存在根切齒輪的情況

齒輪根切對齒輪傳動并不完全有害，根切分為“無害根切”和“有害根切”[4]，如圖2所示，M1M2為齒廓工作段，當(dāng)根切點(diǎn)M2"位于齒廓工作段之外時，這種根切并不影響齒輪正常傳動，只會削弱輪齒齒根部的強(qiáng)度，這在一定程度上是允許的，稱為“無害根切”。當(dāng)根切點(diǎn)M2'在齒廓工作段以內(nèi)時，這種根切不僅削弱輪齒齒根部的強(qiáng)度，而且會導(dǎo)致重合度降低，與配對齒輪嚙合時產(chǎn)生嚙合干涉，影響齒輪運(yùn)動平穩(wěn)性，稱“有害根切”。

圖2 齒輪根切示意圖

“有害根切”和“無害根切”的判定方法：設(shè)某齒輪的變位系數(shù)為x，當(dāng)(14-Z)/17≤x≤(17-Z)/17時，為“無害根切”；當(dāng)x>(14-Z)/17時，為“有害根切”。

若軸II上沒有存在“有害根切”的齒輪，則公用齒輪Z的齒頂圓半徑仍然按照2.4中（2）的方法來取，但是要驗算存在“無害根切”的齒輪的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度。

若軸II上含有存在“有害根切”的齒輪，那么為了使得該齒輪能夠正常傳動，就需要縮短齒廓工作段，即將圖2中的M2點(diǎn)上移至，這樣就可以消除嚙合干涉，但會減小重合度。M2點(diǎn)是配對齒輪齒頂圓和嚙合線的交點(diǎn)，當(dāng)實際中心距、齒數(shù)、模數(shù)、壓力角均已確定之后，嚙合線的位置就已經(jīng)確定了，因此只能通過改變配對齒輪齒頂圓大小來改變M2點(diǎn)的位置。具體步驟如下：

一是，找到根切最為嚴(yán)重的齒輪i。

二是，利用Matlab軟件求出根切點(diǎn)。

（齒廓曲線與齒根過渡曲線的交點(diǎn)）[5]，如圖3所示。

圖3 根切點(diǎn)示意圖

由此可得：

聯(lián)立（1）、（2）可求得根切圓與嚙合線的交點(diǎn)K（xk，yk）點(diǎn)，從而求得避免公用齒輪Z與根切齒輪i嚙合時產(chǎn)生嚙合干涉的齒輪Z的最大齒頂圓半徑：

三是，公用齒輪Z1齒頂圓半徑ra的選取。

利用（3）式算出后，將其與razz1進(jìn)行比較，如果ra'>razz1，則取ra=razz1；如果ra'

四是，根切齒輪齒根彎曲強(qiáng)度的校核

當(dāng)齒輪產(chǎn)生根切時，其輪齒齒根處的抗彎強(qiáng)度將會降低，因此還要對其輪齒的彎曲疲勞強(qiáng)度進(jìn)行校核。

3 計算實例

圖4為某水稻插秧機(jī)株距箱的兩軸單公用齒輪機(jī)構(gòu)，齒輪的齒數(shù)、模數(shù)、中心距如圖4中所示，壓力角均為20°，試合理地分配各齒輪的變位系數(shù)以滿足如下設(shè)計要求：

圖4 結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖

第一，無嚙合干涉；

第二，齒頂厚sai叟0.25×m（i=1、2）；

第三，重合度εi叟1（i=1、2）。

利用Matlab軟件的計算結(jié)果如下：

（4）各齒輪最終確定的詳細(xì)參數(shù)如表1所示。

表1 最終確定各齒輪重要參數(shù)

結(jié)果分析：

從（1）中可以看出：該傳動方案滿足2(x1max-xnmin)≥Zn-Z1，因此該傳動方案可行。

從（2）中可以看出：對于齒輪Z2，x2<(Z2-14)/17，因此齒輪Z2會產(chǎn)生“有害根切”。

從（3）中可以看出：>razz1，因此取公用齒輪Z的齒頂圓半徑ra=razz1=45.664。

從表1中可以看出：所設(shè)計的齒輪滿足設(shè)計要求，同時也說明了利用該方法來選擇兩軸單公用齒輪機(jī)構(gòu)的變位系數(shù)是可行的。

4 結(jié)束語

在設(shè)計兩軸單公用齒輪機(jī)構(gòu)時，由于各齒輪間的變位系數(shù)互相牽制，因此增加了變位系數(shù)選擇的難度。鑒于此，本文針對兩軸單公用齒輪機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，根據(jù)變位齒輪變位系數(shù)選擇的限制條件，提出了一種借助Matlab軟件強(qiáng)大計算功能的兩軸單公用齒輪機(jī)構(gòu)變位系數(shù)選擇的新方法。該方法較之傳統(tǒng)的利用封閉圖來選擇變位系數(shù)的方法更為精確，且便于對變位系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選擇，具有一定的實用性。

[1]李 滄.論雙軸滑移齒輪機(jī)構(gòu)移距變位的條件及計算[J].昆明工學(xué)院學(xué)報，1990，15(4):39-45.

[2]路長厚，馬照燕.車螺紋進(jìn)給系統(tǒng)公用齒輪變位系數(shù)的優(yōu)化設(shè)計[J].制造技術(shù)與機(jī)床，1994(3):22-24.

[3]郭克強(qiáng).漸開線變位齒輪傳動[M].北京：高等教育出版社，1984.

[4]傅師偉，黃富貴.漸開線圓柱齒輪剃齒過程中的根切控制[J].農(nóng)機(jī)化研究，2004(6):184-186.

[5]彭南華，等.基于MATLAB的齒輪根切建模分析[J].中國制造業(yè)信息化，2007，36(9):29-33.