巧分類 妙求解

漆發(fā)明

運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，由于題目的條件不確定，會(huì)引起一題多解的現(xiàn)象，這時(shí)若能利用分類討論思想進(jìn)行解答，則可確保結(jié)果不重不漏，下面舉例說明.

例1 已知Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c且a=8、b=15，求c的長.

分析：由于題目沒有指明哪個(gè)角是直角，因此有可能是邊長為15的邊所對(duì)的∠B是直角，或邊長為c所對(duì)的∠C是直角，所以應(yīng)分兩種情況討論，再根據(jù)勾股定理解答.

解：（1）若b=15是直角邊，則c為斜邊，由勾股定理得c2=a2+b2=82+152=289，所以c=17；

（2）若b=15是斜邊，則c為直角邊，由勾股定理得c2=b2-a2=152-82=161，所以c=.

所以c的長為17或.

點(diǎn)評(píng)：本題由于斜邊不確定，因此需要分類討論.

例2 下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷，閱讀后，請(qǐng)回答下面的問題.

學(xué)習(xí)勾股定理有關(guān)內(nèi)容后，張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：“己知直角三角形ABC的兩邊長分別為7、24，請(qǐng)求出第三邊長的平方”.

同學(xué)們經(jīng)過片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手回答：“第三邊長的平方為625.”王華同學(xué)說：“第三邊的長的平方為527.”還有一些同學(xué)也提出了不同的看法……

（1）如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？

（2）通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話回答）

分析：本題首先要求在閱讀數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷后，對(duì)兩位同學(xué)的說法提出自己的看法.這時(shí)應(yīng)注意題眼：“直角三角形ABC的兩邊長分別為7、24”，要對(duì)這個(gè)不確定條件進(jìn)行分析研究.

解：設(shè)第三邊長為x，則

當(dāng)x為斜邊時(shí)，由勾股定理得x2=72+242，解得x2=625；

當(dāng)x為直角邊時(shí)，由勾股定理得242=72+x2，解得x2=527.

所以，第三邊長的平方為625或527.

由此說明李明和王華兩同學(xué)都犯了以偏概全的答題錯(cuò)誤.

對(duì)于第（2）問，應(yīng)在第（1）問的解答基礎(chǔ)上，總結(jié)出“根據(jù)圖形位置關(guān)系，運(yùn)用分類討論思想解多解型問題”，“考慮問題要全面”等體會(huì).

點(diǎn)評(píng)：解答本題要注意題目條件的不確定性和由不確定性引起的分類，從而利用分類討論思想來解決問題.

例3 等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為 .

分析：抓住“一邊上的高”將問題分為底上的高與腰上的高兩種情況，又等腰三角形腰上有高，因此再分為銳角三角形與鈍角三角形兩種情況，可運(yùn)用勾股定理分別求解.

解：若一邊上的高是該等腰三角形底邊上的高，如圖1，此時(shí)由勾股定理易得BD=4，所以底BC=8；若一邊上的高是該等腰三角形腰上的高，此時(shí)等腰三角形可以為銳角三角形，如圖2，此時(shí)由勾股定理易得AD=4，故CD=1.

在△BCD中由勾股定理易得BC=；

若一邊上的高是該等腰三角形腰上的高，此時(shí)等腰三角形可以為鈍角三角形，如圖3，此時(shí)由勾股定理易得AD=4，故BD=9. 在△BCD中由勾股定理易得BC=3.

故答案為8或或3.

圖1

圖2

圖3

點(diǎn)評(píng)：由于本題沒有圖形，因此答案不唯一，合理進(jìn)行分類才能避免漏解或多解.