多元微積分中方向導數不同定義的分析與探討

劉雄偉

(國防科技大學 理學院，湖南 長沙 410073)

方向導數在實際生活和理論、方法研究中有著十分廣泛的應用。由于在不同的教材和參考書中出現(xiàn)有不同的定義形式和描述形式，很容易讓學生在學習過程中產生困惑。因此，在實際的課堂教學過程中，應該加強不同定義和描述形式的討論與分析，同時加強前后教學內容的聯(lián)系與考慮實際應用的需求，這樣才能讓學生真正、有效地理解和掌握相關的理論與方法，從而激發(fā)他們學習數學、探索數學和應用數學的積極性和主動性，增強學好數學的信心。

1 方向導數的不同定義

定義1［1］設二元函數f(x，y) 在點(x0，y0)的某鄰域內有定義，向量u 對應的單位向量為u°= {cosα，cosβ }，其中α，β 為向量u 的方向角。定義函數f(x，y) 在點(x0，y0) 沿方向u 的方向導數為：

其中，ρ 可正可負。ρ＞0 時，表示自變量從(x0，y0) 沿著方向u 移動的距離，ρ＜0 表示自變量沿方向u 反向移動的距離。

定義2［2］在前提條件與定義1 相同的情況下，定義方向導數為：

其中，ρ 表示自變量從(x0，y0) 沿著方向u 移動的距離。

定義3［3］設二元函數f(x，y) 在點(x0，y0)的某領域內有定義，單位向量u=(a，b) ，定義方向導數為：

以上定義很容易推廣得到n(n≥3) 元函數的方向導數定義。

2 方向導數不同定義的對比與分析

方向導數研究和討論的初衷是為了解和分析多元函數沿著某個方向的變化率，即為了度量事物按照不同變化因素的發(fā)展趨勢。一般來說，就二元函數而言，如果表示的曲面是平滑曲面，則利用三個定義都可以得到函數沿著指定方向u 的變化率。

根據三個定義式，它們的極限值反映的都只是函數沿著方向u 的變化率。雖然定義1和定義3 從數學的角度上，從定義形式上可以很容易地和偏導數的定義聯(lián)系起來，可以認為是偏導數定義的一種推廣，偏導數只是函數沿著兩個特定方向的方向導數。但是，在現(xiàn)實問題中，比如在分析某個有斷崖或者沿著某個方向不平滑過渡的地勢時，這兩個定義會導致問題無法解決，而定義2 則能很好的進行解釋。如要討論表示上錐面的二元函數：

在原點(0，0)沿著不同方向的變化率。利用定義1 和定義3，該二元函數f(x，y)沿著任何方向的方向導數都不存在。但是對于對應現(xiàn)實問題來說，對于連續(xù)的曲面，結論顯然是不對的。而根據定義2，則問題可以得到很好解決。在原點位置，沿著任何方向函數的變化率都可以求出，并且都等于1。只是該定義不能和偏導數的定義很好的結合起來，但是與偏導數只是反應了函數沿著坐標軸正方向的變化率的結論是一致的，而且在現(xiàn)實問題中具有更大的實用價值。因此，就學習數學是用來解決現(xiàn)實問題的目標之一來說，定義2更具有實用價值和符合教學與學習應該貼近生活的認知規(guī)律。因此，下面的討論也是基于定義2進行的。

3 方向導數計算的注意事項

在不同的教材中都以定理的形式給出了多元函數方向導數存在的充分條件與快速計算方法。以二元函數為例，如果函數f(x，y)在(x，y)處可微，則函數在該點處沿著任意方向u 的方向導數存在，并且有：

其中cosα，cosβ 為向量u 的方向余弦。

值得注意的是，使用該公式計算函數的方向導數的前提條件是函數可微。然而，函數即使不可微，甚至兩個偏導數都不存在時，函數的方向導數都可能存在，這個時候方向導數的計算則應該使用定義式進行計算。如二元函數(1)，在原點(0，0)處不可微，兩個偏導數也不存在，但根據定義2 容易驗證該函數在原點處沿著任意方向的方向導數都存在，并且都為1。而函數只要沿某一方向的方向導數不存在，函數就不可微。當然函數不可微，對于方向導數的計算有時候也可以使用(2)來進行計算，如函數［4］：

但該函數在原點處不可微。

函數在某點處沿著任意方向的方向導數存在，函數在該點處不一定連續(xù)。如函數：

在原點(0，0)處沿任意方向的方向導數存在，但通過取兩條不同的路徑，如y=0 和x=y3時，可以判斷該函數當(x，y)→(0，0)的極限不存在，所以函數在原點處不連續(xù)；而函數連續(xù)，函數沿任何方向的方向導數也未必存在。如函數：

在原點(0，0)處連續(xù)，但在原點處除了y=-x 線上外，沿任何方向的方向導數都不存在。

偏導數存在只能得出函數沿著坐標軸方向(正方向的方向導數為對應的偏導數，而負方向為對應偏導數的相反數)的方向導數存在，而不能推出其它方向的方向導數存在，如函數：

除了坐標軸方向的方向導數存在外，沿著其他方向的方向導數都不存在。由該例也可以知道，即使函數在某點處兩個方向導數都存在，也不能使用公式(2)來計算沿著其他方向的方向導數。

［1］朱健民，李建平.高等數學：下冊［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］同濟大學應用數學系.高等數學：下冊［M］.5 版.北京：高等教育出版社，2002.

［3］凱勒姆(McCallum，W.G.).多元微積分［M］.董達英，等，譯.北京：高等教育出版社，2003.

［4］孫家永.方向導數與可微的關系及可微之充要條件［J］.高等數學研究，2012，15(1)：6－7.