“一元一次不等式”知識點

王競進(jìn)

小穎準(zhǔn)備用21元錢買筆和筆記本.已知每支筆3元，每本筆記本2元，她買了4本筆記本，那么她最多還可以買幾支筆？怎么解答這類問題呢？在這個問題中，隱含著買筆和筆記本所花的錢與準(zhǔn)備的錢之間具有不相等的數(shù)量關(guān)系.與方程類似，不等式是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間不等關(guān)系的有效模型.一元一次不等式是表示不等關(guān)系的最基本的工具，是學(xué)習(xí)其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識的工具.學(xué)習(xí)時，應(yīng)關(guān)注以下幾個方面：

一、 正確理解基本概念

1. 不等式解與不等式解集的概念

能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.如：x=3.5、5、6、10.2等大于3的實數(shù)都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的實數(shù)都是x-4<0的解.一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體叫做不等式的解集.因此，不等式的解集包含了不等式的所有解，解集中的任何一個數(shù)都是不等式的一個解.

例1 下列說法中正確的是（ ）.

A. x=2是不等式x+2>3的解 B. x=2是不等式x+2>3的唯一解

C. x=2不是不等式x+2>3的解 D. x=2是不等式x+2>3的解集

【解答】A.

【點評】弄清不等式的解及解集的區(qū)別，是解本題的關(guān)鍵.不等式的解可以有無數(shù)個，一般是某個范圍內(nèi)的所有數(shù).不等式中的未知數(shù)取解集中的任何一個值時，不等式都成立；不等式中的未知數(shù)取解集外的任何一個值時，不等式都不成立.

2. 一元一次不等式的概念

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.這個不等式必須同時滿足3個條件：（1） 只含有一個未知數(shù)；（2） 含未知數(shù)的式子是整式；（3） 未知數(shù)的次數(shù)是1.這3個條件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+2<0、y+■<2都不同時滿足上述的3個條件.反過來，如果（a-1）x+3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則a必須具備的條件是a-1≠0，即a≠1.

3. 一元一次不等式組的概念

小明要制作一個長方形的相片框架，這個框架的長為25 cm，面積不小于500 cm2，試確定這個長方形寬的長度范圍.在這個問題中具有兩個不等關(guān)系：長方形的相片框架的長總大于寬，其面積不小于500，因而可以得到兩個不等式：x<25、25x≥500，再聯(lián)立這兩個不等式，記作x<25，25x≥500，從而組成一個關(guān)于x的不等式組.像這樣，由幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組.根據(jù)概念，可以知道組成一個不等式組的條件有（1） 含有同一個未知數(shù)，（2） 幾個不等式是一次不等式.如：2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，2x+1<3（3-x），■（x-1）-1>x+■都是一元一次不等式組，而x2-4x<5，4（x-1）-3>-2x+1，■-13（x-1）都不是一元一次不等式組.

4. 不等式組的解集概念

我們知道一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體叫做這個不等式的解的集合，簡稱為這個不等式的解集，那么一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，就稱為這個一元一次不等式組的解集.如x<3，x<1中兩個不等式解集的公共部分為x<1，則其解集為x<1；x>3，x>1中兩個不等式解集的公共部分為x>3，則其解集為x>3；x<3，x>1中兩個不等式解集的公共部分為13，x<1中兩個不等式解集的公共部分不存在，則其解集為無解.我們可以用一句口訣來概括其中的規(guī)律：同大取大，同小取??；大小小大取中間，大大小小便無解.

二、 了解不等式解集的表示方法

1. 用不等式表示 一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，它的解為某個范圍，這個范圍可以用一個具體的、簡單的不等式來表示.如：不等式x+3>-1的解集為x>-4；不等式2x+1<3的解集為x<1.

2. 用數(shù)軸來表示 用數(shù)軸可以直觀地表示出一個不等式的解集.表示時，必須注意不等式的類型.小于a則在數(shù)軸上表示a的點的左邊，大于a則在數(shù)軸上表示a的點的右邊，且表示a的點處是一個空心；如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”時，則表示a的點處應(yīng)該是一個實心.

例3 在數(shù)軸上表示下列不等式的解集：

（1） x<3； （2） x≥3.

【解答】（1） 在數(shù)軸上表示x<3為： ；

（2） 在數(shù)軸上表示x≥3為： .

【點評】在數(shù)軸上表示不等式時，首先在數(shù)軸上找到表示不等號右邊數(shù)的點，再根據(jù)“小于向左畫、大于向右畫、無等號畫空心、有等號畫實心”用相應(yīng)的線在數(shù)軸上表示出不等式的解集.

三、 理解不等式的性質(zhì)，掌握一元一次不等式的解法

不等式的性質(zhì)有兩個.不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.其中特別要注意的是：在不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變.

和一元一次方程的解法類似，解一元一次不等式的基本步驟是：（1） 去分母；（2） 去括號；（3） 移項；（4） 合并同類項；（5） 系數(shù)化為1.逐步將不等式轉(zhuǎn)化為x>a（x≥a）或x

四、 掌握解一元一次不等式組的一般步驟

解一元一次不等式組的一般步驟大致為：先分別求得不等式組中各個不等式的解集，再求出這幾個不等式解集的公共部分，從而確定不等式組的解集.

如：解不等式2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，先分別求得不等式2x-4<6的解集為x<5，不等式5（x-2）+3>-3x+1的解集為x>1，再把它們在如圖所示的數(shù)軸上表示出來，因此，這個不等式組的解集為1

五、 正確理解題意，找出不等關(guān)系，列出一元一次不等式，解決實際問題

和列一元一次方程解決實際問題類似，在解答具有不等關(guān)系的實際問題時，往往先列出不等關(guān)系，再用含有未知數(shù)的代數(shù)式分別表示相關(guān)數(shù)量，再根據(jù)不等關(guān)系列出一元一次不等式，進(jìn)而解出不等式，寫出答案.

例4 某單位共有36位工作人員，為改善辦公設(shè)備，提高工作效率.單位準(zhǔn)備為每位工作人員配備一臺手提電腦. 現(xiàn)有A、B兩種型號的手提電腦供選擇.根據(jù)預(yù)算，共需資金145 000元.購買一臺A型電腦和兩臺B型電腦共需資金11 840元；購買兩臺A型電腦和一臺B型電腦共需資金12 040元.

（1） 購買一臺A型電腦和一臺B型電腦所需的資金分別是多少元？

（2） 問該單位最多能購買A型電腦多少臺？

【分析】本題中第（2）題，隱含著一個不等量關(guān)系：購買A、B兩種型號的手提電腦的費用和≤總資金.因此，可以建立關(guān)于所購買商品的價格為未知數(shù)的不等式解決問題.

【解答】（1） 設(shè)A型電腦x臺，B型電腦y臺，根據(jù)題意，列方程組，得：

x+2y=11 840，2x+y=12 040.解得：x=4 080，y=3 880.

答：購買一臺A型電腦和一臺B型電腦所需的資金分別是4 080元和3 880元.

（2） 設(shè)該單位能購買A型電腦a臺，根據(jù)題意，得：

4 080x+3 880（36-a）≤145 000，解得a≤26.6.

所以該單位最多能購買A型電腦26臺.

【點評】本題能夠融二元一次方程組與一元一次不等式的應(yīng)用于一體，考查同學(xué)們分析問題、解決問題的能力.解答這類問題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目的等量關(guān)系和不等量關(guān)系分別列出方程組和不等式組求解.對于問題中出現(xiàn)的“至少”、“至多”、“不少于”等等，往往隱含著不等關(guān)系，需要建立不等式進(jìn)行解答.