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    關(guān)于一類退化型運(yùn)輸問題求解的研究

    2013-05-26 07:15:36
    關(guān)鍵詞:運(yùn)量調(diào)運(yùn)空格

    朱 翔

    (無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,江蘇 無錫 214121)

    運(yùn)輸問題[1]是運(yùn)籌學(xué)中一類重要的線性規(guī)劃問題,它的一般模型如下:

    由于運(yùn)輸問題模型的特殊性,常用表上作業(yè)法[1]來求解該問題。在通過最小元素法確定初始調(diào)運(yùn)方案(初始可行基)時(shí),有時(shí)會(huì)出現(xiàn)基變量數(shù)小于m+n-1的情況,從而產(chǎn)生退化解(在這里我們稱之為退化型運(yùn)輸問題),這給后面用閉回路法和位勢(shì)法繼續(xù)迭代帶來了困難,下面通過一道實(shí)例來說明該類問題的求解方法。

    1 實(shí)例及求解

    已知某運(yùn)輸問題的產(chǎn)銷平衡表及單位運(yùn)價(jià)資料(見表1),試確定最優(yōu)的運(yùn)輸方案。

    表1 產(chǎn)銷及運(yùn)價(jià)表

    利用最小元素法得到如下的初始方案(見表2),我們發(fā)現(xiàn)在此題中m+n-1=4+6-1=9,而數(shù)字格只有8個(gè),屬于退化情形。

    表2 初始調(diào)運(yùn)方案

    為了保證基變量個(gè)數(shù),此時(shí)必須在空格處添加一個(gè)“0”。但是0運(yùn)量添加的位置并不是任意的,有如下命題:

    命題1[2]用表上作業(yè)法給出運(yùn)輸問題初始方案時(shí),遇到退化解的情形,0運(yùn)量應(yīng)添在不與其他數(shù)字格構(gòu)成閉回路的格子里。

    故此題中,0運(yùn)量只能添加在A1行或B2列的空格處,下面討論兩種不同的初始方案。

    情況Ⅰ:x11=0(見表3、表4)

    表3 調(diào)運(yùn)方案1.1

    表4 空格檢驗(yàn)數(shù)2.1

    由于檢驗(yàn)數(shù)x45=-1<0,故不是最優(yōu)解,需調(diào)整。表3中,x34,x35,x45,x44組成閉回路,取△=min{x35,x43}=10,則

    x34=9+△=19,x35=10-△=0(成為非基變量空格),x45=△=10,x44=31-△=21,調(diào)整后的方案如下(見表5、表6):

    表5 調(diào)運(yùn)方案1.2

    此時(shí)檢驗(yàn)數(shù)λ22=-1<0,同上做法繼續(xù)調(diào)整。

    考慮閉回路:x11-x12-x22-x25-x45-x44-x34-x31-x11,調(diào)整量△=20,調(diào)整后的方案如下(見表7、表8):

    表6 空格檢驗(yàn)數(shù)2.2

    表7 調(diào)運(yùn)方案1.3

    表8 空格檢驗(yàn)數(shù)2.3

    此時(shí),所有空格的檢驗(yàn)數(shù)均大于0,從而當(dāng)前方案為最優(yōu)運(yùn)輸方案。

    情況Ⅱ:x22=0

    類似上述方法,可得到與表7一致的最優(yōu)運(yùn)輸方案。

    2 關(guān)于此類問題的求解

    本題中“0”可以添在A1行或B2列空格的任一位置,但本文僅討論了兩種不同的初始方案,看似“不太全面”。事實(shí)上,其余的添加方案都會(huì)最終歸結(jié)為這兩種情況。對(duì)于A1行其他位置的空格,不妨設(shè)x13=0,這時(shí)考慮閉回路:x11-x13-x23-x25-x35-x31-x11這時(shí)調(diào)整運(yùn)量△=0,表面上看數(shù)值無變化,但是x11由空格變成了數(shù)字格0,而x13由數(shù)字格0變成了空格,也就是說,基變量發(fā)生了變化,完成了一次換基迭代。這時(shí)正好就變成了情況Ⅰ。不難驗(yàn)證,A1行空格處添加“0”后都可轉(zhuǎn)化為情況Ⅰ,B2列空格處添加“0”后都可轉(zhuǎn)化為情況Ⅱ。而這個(gè)結(jié)論具有一般性,下面給出證明。

    命題2[3]運(yùn)輸問題列向量線性無關(guān)向量對(duì)應(yīng)格集中不含閉回路

    引理在退化型運(yùn)輸問題(僅一個(gè)退化解)的初始調(diào)運(yùn)方案表中,同一行(列)上不與其他數(shù)字格構(gòu)成閉回路的任意兩個(gè)空格之間一定存在閉回路。

    證明設(shè)xik和xij是第i行上不與其他數(shù)字格構(gòu)成閉回路的任意兩個(gè)空格。令xik=0,此時(shí)xik從空格變成了數(shù)字格,從而變成了基變量,此時(shí)基變量數(shù)與運(yùn)輸問題約束矩陣的秩相同(等于m+n-1)。xij作為非基變量,其對(duì)應(yīng)列向量可由基向量組線性表示,又空格xij不與其他數(shù)字格構(gòu)成閉回路,由命題2易推出,xij與xik之間一定存在閉回路。對(duì)于同一列的情況類似可證。

    定理對(duì)于僅一個(gè)退化解的退化型運(yùn)輸問題,在利用添加0運(yùn)量的方法保證基變量數(shù)時(shí),在同一行(列)可添加0運(yùn)量的任一空格處添加0運(yùn)量的方案彼此等價(jià)。

    證明設(shè)xik和xij是第i行可添加0運(yùn)量的任意兩個(gè)空格,選擇在xik處添加0稱為方案Ⅰ,選擇在xij處添加0稱為方案Ⅱ,下面證明這兩個(gè)方案等價(jià)。

    對(duì)于方案Ⅰ,因?yàn)閤ik和xij是可添加0運(yùn)量的空格,根據(jù)命題1,xik和xij不與其他數(shù)字格構(gòu)成閉回路。從而由引理可知,必存在通過xik和xij的一條閉回路,且xik與xij是相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。此時(shí)作運(yùn)量調(diào)整△=0,則xij從空格變成了0數(shù)字格,而相鄰節(jié)點(diǎn)xik從0數(shù)字格變成了空格,其余數(shù)字格的數(shù)值不變,這時(shí)候即為方案Ⅱ。同理,方案Ⅱ也可以轉(zhuǎn)化為方案Ⅰ,從而這兩種方案是等價(jià)的。同一列的情況類似可證。

    3 結(jié)束語

    在利用表上作業(yè)法求解運(yùn)輸問題時(shí),一定要始終考察其數(shù)字格是否為m+n-1個(gè)。當(dāng)出現(xiàn)退化解時(shí),可利用本文提出的添加“0”的辦法來解決。特別地,對(duì)于僅有一個(gè)退化解的運(yùn)輸問題,所有可行的添加0運(yùn)量方案都是等價(jià)的,因此我們只需任意選擇其中一種方案。

    [1]《運(yùn)籌學(xué)》教材編寫組.運(yùn)籌學(xué)[M].3版.北京:清華大學(xué)出版社,2005.

    [2]唐文廣.運(yùn)輸問題的退化解及表解中0元的添加[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(1):160-166.

    [3]高旅端.線性規(guī)劃[M].北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,1989.

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