仿射Nappi-Witten代數(shù)的虛Whittaker模

徐崇斌

(1．溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035；2．華南理工大學(xué)理學(xué)院，廣東廣州 510640)

仿射Nappi-Witten代數(shù)的虛Whittaker模

徐崇斌1,2

(1．溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035；2．華南理工大學(xué)理學(xué)院，廣東廣州 510640)

利用Heisenberg代數(shù)的Whittaker模在仿射Nappi-Witten代數(shù)上定義了一類新模，稱為虛Whittaker模，并且證明了該類模在一定條件下是個(gè)不可約模．

仿射Nappi-Witten代數(shù)；Heisenberg代數(shù)；Whittaker模

仿射Nappi-Witten代數(shù)nw是對(duì)四維Nappi-Witten代數(shù)關(guān)于其上某個(gè)不變雙線性型的仿射化，即對(duì)相應(yīng)的loop代數(shù)的一維中心擴(kuò)張．對(duì)仿射Nappi-Witten代數(shù)的表示的研究最先是由E. Kirisis和C. Kounnas發(fā)起的[1]，最近，姜翠波等人又在文獻(xiàn)[2]中對(duì)它的表示進(jìn)行了非常系統(tǒng)的討論，他們?cè)敿?xì)地研究了該代數(shù)上的Verma模（廣義）與Wakimoto型模，并且構(gòu)造了相應(yīng)的頂點(diǎn)算子代數(shù)．

在文獻(xiàn)[3]中，Kostant在任意有限維半單李代數(shù)g上定義了一類新?！猈hittaker模，并且證明了這些模（在同構(gòu)的意義下）與該代數(shù)的泛包絡(luò)代數(shù)中心的理想之間存在一一對(duì)應(yīng)．此后，許多與Whittaker型模相關(guān)的工作被許多學(xué)者陸續(xù)完成，例如M. Ondrus對(duì)量子包絡(luò)代數(shù)Uq(sl2)的Whittaker模進(jìn)行了分類[4]，G. Benkart研究了廣義Weyl代數(shù)的Whittaker模[5]．實(shí)際上，在李代數(shù)的表示論中Whittaker模型是一類重要的模結(jié)構(gòu)，它的重要性在R. Block對(duì)sl2的不可約模進(jìn)行分類的工作中已經(jīng)得到了充分體現(xiàn)[6]．

最近，K. Christodoulopoulou在Heisenberg代數(shù)上定義了一類Whittaker模[7]，此外，他還利用此類Whittaker型模通過拋物子代數(shù)誘導(dǎo)在無(wú)扭仿射李代數(shù)上定義了一類新的模結(jié)構(gòu)（虛Whittaker模）．雖然仿射Nappi-Witten代數(shù)與經(jīng)典的仿射李代數(shù)有著很大的差別，但兩者都包含一個(gè)同種類型的Heisenberg代數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)代數(shù)在定義無(wú)扭仿射李代數(shù)上的虛Whittaker模時(shí)起到了決定性的作用，所以在仿射Nappi-Witten代數(shù)上定義虛Whittaker模的想法就非常自然了．本文首先通過增加一個(gè)導(dǎo)子和一些李運(yùn)算得到一個(gè)更大的代數(shù)，仍然稱為仿射Nappi-Witten代數(shù)，然后用類似于文獻(xiàn)[7]中的方法定義了該代數(shù)上的一類模，也稱為虛Whittaker模，并給出了該模不可約的一個(gè)充分條件．

1 擴(kuò)張Heisenberg代數(shù)上的Whittaker模

2 仿射Nappi-Witten代數(shù)上的虛Whittaker模

在本小節(jié)里將定義并研究仿射Nappi-Witten代數(shù)上的虛Whittaker模．首先需要回顧一下該代數(shù)的結(jié)構(gòu)．

[1] Kiritsis E, Kounnas C. String propagation in gravitational wave backgrounds [J]. Phys Lett B, 1994, 594: 368-374.

[2] Bao Y X, Jiang C P, Pei Y F. Representations of affne Nappi-Witten algebras [J]. J Alg, 2011, 342(1): 111-133.

[3] Kostant B. On Whittaker vectors and representation theory [J]. Invent Math, 1978, 48: 101-184.

[4] Ondrus M. Whittaker modules for Uq(sl2) [J]. J Alg, 2005, 289: 192-213.

[5] Benkart G, Ondrus M. Whittaker modules for generalized Weyl algebras [EB/OL]. [2012-03-02]. http://arxiv.org/abs/ 0803.3570.

[6] Block R. The irreducible representation of the Lie algebra sl2and of the Weyl algebra [J]. Adv Math, 1981, 39(1): 69-110.

[7] Christodoulopoulou K. Whittaker modules for Heisenberg algebras and imaginary Whittaker modules for affine Lie algebras [J]. J Alg, 2008, 320: 2871-2890.

[8] Kac V G, Raina A K. Bombay Lectures on Higest Weight Representations of Infinite-Dimensional Lie Algebras [M]. Singapore: World Scentific, 1987: 8-10.

Virtual Whittaker Module on Affine Nappi-Witten Algebra

XU Chongbin1,2
(1. School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035; 2. School of Sciences, South China University of Technology, Guangzhou, China 510640)

Based on Whittaker module on Heisenberg algebra, the paper constructs a new kind of module on the affine Nappi-Witten algebra which is called virtual Whittaker module and proves that such sort of module is irreducible under a certain condition.

Affine Nappi-Witten Algebra; Heisenberg Algebra; Whittaker Module

O152.5

A

1674-3563(2013)03-0006-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.03.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2012-05-02

徐崇斌(1977- )，男，湖北黃梅人，講師，碩士，研究方向：代數(shù)學(xué)