3 圓弧滑面極限分析上限法

3 圓弧滑面極限分析上限法

3.1 圓弧滑面垂直條分法平移破壞機制

土坡塑性極限分析條分法是以極限分析上限定理作為理論基礎的一種穩(wěn)定性分析評價方法，因此，選擇滿足機動許可速度場的破壞機制就顯得十分重要。根據所選擇的破壞機制就可以建立虛功率方程，從而可推導穩(wěn)定系數計算公式。

傳統(tǒng)的條分法（剛體極限平衡理論）沒有考慮土體的應力—應變關系，也不滿足巖土材料遵循的相關聯法則。相比較而言，土坡塑性極限分析條分法則在一定程度上克服了上述的缺點。同時，該方法在建立塑性極限破壞機制的過程中，采用了傳統(tǒng)的條分法分條的思想，從而使得該方法的計算結果與條分法的計算結果具有較好的可比性。

土坡塑性極限分析條分法平移破壞機制的滑面或潛在滑面采用光滑曲線，該曲線可以為一般的圓弧、拋物線或其他擬合得到的光滑曲線。這樣對滑面的假定是允許的，可以滿足土坡穩(wěn)定性分析評價的要求。陳惠發(fā)在其著作《極限分析與土體塑性》中指出：“在土坡穩(wěn)定分析中，完整的分析方法應當考慮到所有可能的滑動面形狀，并且滿足一定的條件，因此，當然沒有理由認為可以從這些條件導得一個能給出臨界穩(wěn)定條件的唯一解。顯然，這是一個最優(yōu)化問題?！保惢莅l(fā)，1995；龔曉南，1997）。根據陳惠發(fā)的研究結果可以得到結論，即在選擇滑面形狀時，應根據具體的工程地質條件和以往的研究成果，針對不同的情況合理地選用。

除了上述對滑面的假定外，塑性極限分析條分法平移破壞機制將土條視為剛體，而將滑面（潛在滑面）和條間接觸帶視為塑性體。當土坡產生滑動時，各土條合理的運動方向是向下的，且相關聯流動法則要求滑面速度方向與滑面處有一夾角φ（見圖3-1）。

圖3-1 土坡塑性極限分析條分法平移破壞機制（王根龍，等，2002）

根據條分法平移破壞機制土條為剛體的假定可知，在土條內部將不存在應力、應變，因此土條內部就沒有內能的耗散（王根龍，2002）。在坡體內部，能量的耗散主要集中在滑面與豎向速度間斷面上，因此，虛功率方程式可進一步簡化為如下的形式

式中：Γ*為滑面和各豎向速度間斷面；D為速度間斷面上單位長度內能的耗散率；v*為機動許可的速度場；W為土重；T為作用在坡體上的外荷載。其中，間斷面上的單位長度內能耗散率D公式為

相關聯流動法則要求土條的速度v與速度間斷面成φ角。相鄰土條的滑面速度vi、vi-1與相鄰土條間的豎向速度間斷面速度[v]i,i-1，三矢量有閉合關系（見圖3-2）。根據相鄰土條的幾何關系與矢量閉合關系，便可推導得出vi,vi-1,[v]i,i-1三者的速度遞推關系公式（王根龍，2007）。

式中：[v]i,i-1為相鄰土條間豎向速度間斷面的相對速度；[φ]i,i-1為相鄰土條間豎向速度間斷面的內摩擦角；αi，αi-1為第i個土條與第i-1個土條滑面位置的傾角；φi，φi-1為第i個土條與第i-1個土條滑面位置的內摩擦角；vi，vi-1為第i個土條與第i-1個土條滑面位置的速度。

圖3-2 速度矢量圖

對于均質土坡，內摩擦角取恒定的φ值，此時速度矢量vi若從同一點引出，則可發(fā)現各豎向間斷面的速度矢量[v]i,i-1位于同一條直線上，如圖3-3（a）所示。由多層土組成的非均質土坡，各豎向速度間斷面的內摩擦角[φ]i,i-1取不同的值，則相應的速度矢量[v]i,i-1不在同一條直線上。但上述兩種情況下速度遞推公式（3-3）、式（3-4）仍然成立。

圖3-3 均質土坡速度矢量圖

3.2 圓弧滑面垂直條分法塑性極限分析穩(wěn)定系數

為了得到土坡穩(wěn)定性塑性極限分析條分法平移破壞機制的穩(wěn)定系數計算公式，需根據作用于坡體上的外荷載和土體自重所做的外功率與塑性變形區(qū)的內部能量耗損率相等的條件建立起虛功率方程。由于已經假設土條為剛體，因此，坡體內部的能量耗損只發(fā)生在滑面和豎向速度間斷面上。內部能量耗損率計算公式為

式中：等號右端第一項表示沿滑面的內能耗損率，其中l(wèi)i為第i個土條滑裂面長度，ci為第i個土條在滑裂面處的黏聚力；第二項表示豎向速度間斷面的內能耗損率，其中[h]i,i-1為相鄰的土條交線高度，[c]i,i-1為相鄰土條交線處的黏聚力；其他符號意義同上。

當不考慮孔隙水壓力及外部作用荷載產生的附加水平向荷載時，由土體自重和外部作用荷載產生的附加鉛直向荷載所做的外功率計算公式為

式中：Wi為第i個土條的自重；Ti為外部作用荷載分配給第i個土條的鉛直向附加荷載；其他符號意義同上。當土坡處于極限破壞狀態(tài)時，根據內外功率相等的條件（D內=W外），即可建立虛功率方程。但應當注意，在虛功率方程中的力學參數c，φ并不是土坡正常工作狀態(tài)時的值（或者說并不是由室內土工試驗提供的試驗參數），而應該是用來維持內外功率相等的巖土材料強度儲備cd，φd值。

將式（3-5）代入式（3-6）中，再代入虛功率方程（D內=W外）中，整理后可得到土坡塑性極限分析條分法穩(wěn)定系數的上限解計算公式

式中：φdi=tan-1(tanφi/K)；[φ]d(i,i-1)=tan-1(tan[φ]i,i-1/K)。

可以發(fā)現，式（3-7）等號右端的分子、分母中均含有速度矢量vi，vi-1和[v]i,i-1。因為上式是在土坡處于極限破壞狀態(tài)條件下推導得出的，所以相應的速度矢量vi，vi-1，[v]i,i-1之間的遞推式（3-3）、式（3-4）也應該取φdi，[φ]d(i,i-1)。在實際計算中，可以根據速度矢量vi、vi-1和[v]i,i-1之間的遞推關系，將vi、vi-1和[v]i,i-1分別表示為第一個土條v1的關系式，進而可以消掉穩(wěn)定系數計算公式中的所有速度項。由于該公式左右兩端均含有K項，因此在計算時需要進行迭代。

當土坡為均質體時，速度遞推公式（3-3）、式（3-4）可簡化為

將式（3-8）、式（3-9）代入式（3-7），可得到均質土坡的穩(wěn)定系數上限解計算公式：

式中：φd=tan-1(tanφ/K)。該公式同樣需要迭代計算，一般是給K賦以初值K0，求出K0對應的cd，φd值，然后將cd，φd代入式（3-10）的右端，求出第一次迭代計算結果值K1，再求出K1對應的cd，φd值，重復上述的計算步驟求得第二次迭代計算結果值K2。給定一個閥值來結束迭代計算，則最后一次迭代計算得到的結果為土坡穩(wěn)定性塑性極限分析條分法穩(wěn)定系數最終解。根據這一迭代計算原理，由筆者編制了相應的Fortran電算程序，程序流程如圖3-4所示。

圖3-4 均質土坡穩(wěn)定性計算流程圖

如果不考慮土條間豎向速度間斷面上能量的耗散，即[c]i,i-1，[φ]i,i-1均為零時，則[v]i,i-1是與計算無關的量。在這種簡化條件下，速度遞推關系公式為

相應的穩(wěn)定系數計算公式也可簡化為

3.3 有孔隙壓力影響情況下的穩(wěn)定系數

在土坡穩(wěn)定性分析中，孔隙壓力作為一種特殊的外部作用荷載，其影響也是一個很重要的因素（見圖3-5）。如果片面地忽略孔隙壓力的作用，則將會導致穩(wěn)定系數偏于安全。這也將會給土坡的穩(wěn)定性分析評價及治理工作造成一定的影響（王根龍，2002）。

圖3-5 孔隙壓力對土坡穩(wěn)定的影響

孔隙壓力有兩種情況。一種是坡體內有地下水做穩(wěn)定或不穩(wěn)定的滲流。這時孔隙內即存在孔隙壓力，可稱為滲流壓力。另一種是坡體內存在著未消散的超靜孔隙壓力，可稱為超靜壓力。當坡體內有地下水的滲流作用，或部分浸在水下，或有超靜孔隙壓力作用時，都必須在穩(wěn)定性分析中考慮孔隙壓力的影響。

孔隙應力是由于孔隙水壓力引起的，因此，孔隙應力也屬于外部作用荷載產生的一種應力。反映在土坡穩(wěn)定性塑性極限分析條分法的虛功率方程（W外=D內）中，則表現為孔隙應力對土粒骨架結構的作用所產生的孔隙應力功率，其功率表達式為

當把式（3-13）引入到土坡穩(wěn)定性塑性極限分析條分法平移破壞機制中時，考慮到土條為剛體的假定，因此，在土條內部沒有應力—應變，或者說孔隙應力在土條內部沒有產生外功率。根據以上的分析可知，孔隙應力在條分法平移破壞機制中所做的外功率主要集中在滑面和豎向速度間斷面上，其公式為

式中：φdi=tan-1(tanφi/K)；[φ]d(i,i-1)=tan-1(tan[φ]i,i-1/K)。vi、vi-1和[v]i,i-1三者之間的速度遞推關系由式（3-3）和式（3-4）確定?？梢园l(fā)現該式中的K仍是以隱式出現，因此計算時須利用迭代的方法實現。

當忽略條間的內外功率時（[c]i,i-1=0，[φ]i,i-1=0），上式可簡化為

3.4 圓弧滑面徑向分條模式上限解

土質邊坡穩(wěn)定性分析計算通常采用垂直分條的方法（Fellenius，1927），這是一種平動的變形破壞模式，但是從運動學方面來看，土體在滑動時是做平面運動的，既有平動，也有轉動，而基于剛體極限平衡理論的垂直條分法不能很好地體現轉動的特點。薩爾瑪（1973）、Donald 和 陳祖煜（1997）分別從剛體極限平衡理論和塑性極限分析理論提出了斜分條法，實現了對垂直條分法的改進?？苋彰鳎?998）從剛體極限平衡理論出發(fā)，嘗試做過徑向條分法的研究工作，但缺點是計算公式繁瑣，很難被工程應用。筆者從極限分析上限定理出發(fā)，在參考了滑移線場理論、垂直分條法和斜分條法之后，提出了一種新的土質邊坡穩(wěn)定性分析計算方法——極限分析徑向條分法（王根龍，2007），并建立了極限分析徑向條分法的破壞模式，推導得到了穩(wěn)定系數計算公式。關于垂直分條、斜分條及徑向分條三種方法的比較如表3-1所示。

滑移線法對于徑向分條模式的提出有很大的指導作用。首先回顧一下滑移線理論（Drucker和Prager，1952），當材料處于塑性狀態(tài)時，每一點都存在兩個剪切破壞面。把各點的剪切破壞面（或稱滑移面）連續(xù)地聯結起來，可以得到兩組曲線，稱為滑移線。滑移線法就是根據由平衡方程和屈服條件得到的基本方程，采用求解偏微分方程的滑移線理論得到特征線方程，其特征線η和ξ恰好是滿足摩爾-庫侖強度準則的滑裂面。因此建立在特征線上的求解方法也稱為滑移線法，而最終獲得的η和ξ線，即為處于極限狀態(tài)的塑性區(qū)的滑裂面?；凭€上一點的切線方向就是相應點的滑移面方向。

表3-1 三種條分法的對比

（續(xù)表）

圖3-6 三種條分法的典型圖示

根據該理論可以得到破壞土體內兩組代表剪切破壞的滑移線，這兩組線恰好是徑向分條法中的滑裂面和傾斜條塊界面，因此可以發(fā)現，建立徑向條分法時用到的圓弧速度間斷面（滑面）可以采用滑移線場理論的滑裂面，而徑向分條形成的傾斜速度間斷面可以采用滑移線場理論的傾斜條塊界面。這就為極限分析徑向條分法找到了一個理論上可行的依據，根據這種徑向分條法分析邊坡穩(wěn)定性，一般可以得到與實際比較接近的邊坡破壞模式，這一點是剛體極限平衡方法做不到的。從另外一個角度考慮，實際上極限分析上限解和滑移線理論解是一致的，同屬于一個理論體系。若能建立與滑移線場對應的速度場，而且滿足機動場的要求，則極限分析上限解就是滑移線法解。

根據極限分析上限定理，在土質邊坡中存在兩組速度間斷線，第一組是圓弧滑線，第二組是徑向分條后土條間速度間斷線。當考慮庫侖材料為剛塑性體時，邊坡便可以分為剛體和速度間斷兩部分。土條內部被定義為剛體，因為剛體在受力時，不發(fā)生變形，或者說沒有應力、應變產生，所以土條內沒有內能的耗散；圓弧滑線和土條間過渡帶被定義為速度間斷線，由于速度在條間過渡帶內發(fā)生急劇而連續(xù)的變化，因此，在該薄層塑性變形區(qū)內將有內能的耗散。根據正交法則，速度向量必須以內摩擦角φ傾斜于速度間斷面。這種間斷面可以被認為是連續(xù)速度場的極限情況。在這種情況下，速度分量（一個或多個）在跨越窄過渡層時變化很快，因而為了方便起見，可以用間斷面來代替。間斷速度場不僅提供了方便，而且往往還可獲得實際的破壞模式或破壞機制。

為了使由n個條塊組成的機構（見圖3-7）位移是協(xié)調的，就要求相鄰兩個條塊的移動不能導致它們重疊或分離，或者說要求相鄰條塊（以第i和第i-1條塊為例）底面的速度vi，vi-1與徑向條塊間垂直界面的相對速度vi,i-1組成的速度矢量要閉合（見圖3-8）。根據矢量閉合的幾何關系，便可以得到速度關系公式

式中：θi，θi-1，θi,i-1為速度與x軸的夾角，均定義為從正方向開始逆時針旋轉為正，同時，0≤θ≤2π。

式中：αi，αi-1為第i和第i-1個徑向土條底滑面與水平方向的傾角。將式（3-19）和式（3-20）代入式（3-17）和（3-18）中，整理后可以得到

式中：δ為圓弧滑面經過徑向等分條后，每段滑弧對應的圓心角，當滑面和分條數n確定后，δ也為定值，其公式為δ=αi-1-αi。由此看見，B為常數，或者說徑向土條底滑面對應速度{vi}（i=1,2,…,n）是公比為常數B的等比數列。對于式（3-22）也可以得到同樣的結論。根據等比數列的通項公式，vi與vi,i-1可以表示為第1個徑向條塊速度v1的關系式。

圖3-7 徑向分條法極限分析破壞機制

圖3-8 徑向條分法速度向量

為了得到土質邊坡極限分析穩(wěn)定系數上限解，需要根據外部作用荷載和土體自重所做的外功率與塑性變形區(qū)的內部能量耗損相等的條件建立虛功率方程。因為徑向土條被視為剛體，因此土條內沒有能量損失，但徑向土條之間和圓弧滑面是速度間斷面，在這些間斷面上將會產生能量的耗損，其大小為:

式中：l為土條底滑面長度（m）；c為均質土體的內黏聚力（kPa）；φ為均質土體的內摩擦角（弧度）；ri' 為第i個徑向土條長度，ri'=R-ri（m）。

虛功率方程右側代表外部作用荷載和自重荷載產生的外功率。當不考慮地震慣性力、坡體上外荷載和孔隙水作用時，僅僅考慮徑向土條的土體自重所做的外功率時，其大小為

式中：Wi為第i個徑向土條的重量（kN·m-1）。在計算Wi時，將每個土條面積作為兩個扇形之差，外半徑為R，內半徑為rai=(ri+ri-1)/2，對于第1個徑向土條和第n個徑向土條，內半徑分別為(R+r1)/2和(rn-1+R)/2，從而有

虛功率方程是建立在邊坡臨界極限狀態(tài)條件下的，為了使邊坡處于臨界破壞狀態(tài)，可以采用材料強度折減法的概念。其定義是：沿某一滑面的實際工作狀態(tài)的力學參數c，tanφ與用來維持邊坡內外功率相等的換算力學參數clim，tanφlim之比，關系表達式為K=c/clim=tanφ/tanφlim。根據式（3-23）、式（3-24）、式（3-25）和式（3-26），可以得到徑向條分法的土質邊坡極限分析法穩(wěn)定系數上限解公式為

式中：φlim=tan-1(tanφ/K)，該公式需要迭代計算，一般是給K賦以初值K0，求出K0對應的clim，φlim值，然后將結果代入式（3-28）的右端，求出第一次迭代計算結果值K1，再求出K1對應的clim，φlim值，重復上述的計算步驟求得第二次迭代計算結果值K2。通過給定一個閥值來結束迭代計算，一般取相鄰兩次穩(wěn)定系數差的絕對值小于10-6，則最后一次迭代計算得到的結果為穩(wěn)定系數解。

以某一均質土坡為例，高12.2m，坡面坡度為1∶2，土的內摩擦角φ=20°，黏聚力c=29kPa，容重γ = 18.8kN·m-3。根據瑞典圓弧法對這個邊坡進行最危險滑面搜索，得到了如圖3-9的圓弧滑面，對應穩(wěn)定系數K=2.08。采用極限分析徑向條分法對搜索到的最危險滑面進行計算，分條數n=10，每個徑向土條對應圓心角δ和弧長l分別為0.169Rad和4.13m，滑弧半徑R為24.4m。通過式（3-23）和式（3-24）計算得到常數Α=0.2057，B=1.1529，其他數據見表3-2。將數據代入穩(wěn)定系數計算公式（3-28）中得到K=2.05，與瑞典圓弧法計算結果很接近。為了對比極限分析徑向條分法與瑞典圓弧法，筆者又用其他一些算例進行了比較，其誤差都不超過5%。

圖3-9 徑向條分法計算實例

表3-2 徑向條分法計算剖面數據