邊坡滑面正應(yīng)力構(gòu)成及分布模式選擇

盧坤林 ，朱大勇 ，楊 揚(yáng)

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 安徽省土木工程與材料省級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230009）

1 引 言

極限平衡法一直是邊坡工程中最常用的穩(wěn)定性分析方法，歷經(jīng)多年發(fā)展，到目前已相當(dāng)完善。在整個(gè)發(fā)展的過(guò)程中，學(xué)者們一直將多余未知量的假設(shè)選在條間作用力或作用位置上[1]，直到Bell[2]、朱大勇[3]和鄭宏[4]等將研究視線轉(zhuǎn)到滑面正應(yīng)力的分布模式上來(lái)，他們將滑面正應(yīng)力分布假設(shè)為含兩個(gè)待定參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)整個(gè)滑體的3 個(gè)平衡條件，建立了含安全系數(shù)和兩個(gè)待定參數(shù)的3 個(gè)方程組，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)獲得了安全系數(shù)的顯示解答。該方法與其他嚴(yán)格的條分法相比，求解過(guò)程更便捷、易于編程實(shí)現(xiàn)且不存在收斂性問(wèn)題。

筆者認(rèn)為，恰當(dāng)合理的滑面正應(yīng)力分布模式是獲得安全系數(shù)正確解答的前提，劉華麗[5]和鄭宏[6]等均對(duì)此有過(guò)探討。目前，關(guān)于滑面正應(yīng)力的假定模式，Bell[2]提出的公式為

朱大勇等[3]則提出的公式為

朱大勇等[7]推導(dǎo)出的公式為

楊明成[8]的公式為

鄭宏等[4]的公式為

上述假定模式中的 λ1和 λ2均為待定參數(shù)， xa、xb為滑面兩端點(diǎn)x 坐標(biāo)，其他均為已知函數(shù)(量)，具體意義請(qǐng)查閱對(duì)應(yīng)的參考文獻(xiàn)，此處從略。另外，為了表述統(tǒng)一，符號(hào)也作了調(diào)整。

由于不同學(xué)者采用的假設(shè)模式各異，為了規(guī)范假設(shè)模式，完善此類極限平衡法的理論基礎(chǔ)，還需要對(duì)滑面正應(yīng)力的假設(shè)模式進(jìn)行進(jìn)一步研究。本文首先分析了滑面正應(yīng)力的構(gòu)成以及各組成部分對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)大小，據(jù)此建議了具有理論基礎(chǔ)的滑面正應(yīng)力分布模式。

2 滑面正應(yīng)力修正法的基本過(guò)程

本節(jié)旨在介紹基于滑面正應(yīng)力假定的極限平衡法基本過(guò)程，更詳細(xì)地分析可見(jiàn)朱大勇[3]或鄭宏等[4]的相關(guān)研究論文。

圖1 為具有一般形狀滑動(dòng)面的邊坡，滑面為y = s ( x)，坡面為 y = g ( x)。單位寬度的土條重為w( x )，水平地震慣性力為 kcw( x )， kc為地震影響系數(shù)。坡面上作用有 qx( x )和 qy( x )的水平和豎向荷載?；嫔系恼龖?yīng)力和剪應(yīng)力分別為 σ( x)與τ ( x)，孔隙水壓力為 u ( x )。

在滑面 y = s ( x)上，由摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則：

式中：sF 為安全系數(shù)；c、φ 分別為滑面黏聚力與內(nèi)摩擦角。

根據(jù)滑體的靜力平衡條件，可建立水平、豎向以及繞任意一點(diǎn)（xc，yc）力矩的3 個(gè)平衡方程：

式（7）～（9）構(gòu)成了關(guān)于安全系數(shù)的平衡方程組，若能確定滑面正應(yīng)力 ( )xσ 的分布，求解式（7）～（9）即可得到安全系數(shù)。

3 滑面正應(yīng)力σ (x)的構(gòu)成分析

圖2 為滑體中任一土條的受力分析示意，其中E 和T 分別為條塊間水平和豎向作用力， h 和ht分別為條塊高度和條間力作用點(diǎn)高度，條塊寬度為Δx，其他符號(hào)意義同前。假定條塊的寬度無(wú)限小，兩個(gè)方向的平衡方程分別為

根據(jù)式（6）的摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則，式（10）、（11）改寫為

式中：ψ0= tanφ /Fs， c0= c /Fs。

圖2 普通土條受力分析 Fig.2 Forces acting on a general slice

由式（12）和式（13）可得

由式（14）可見(jiàn)，滑面正應(yīng)力由兩部分組成，一部分為滑體體積力和坡面外力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)（記為0( )xσ ）；另一部分由土條間作用力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)（記為1( )xσ ），則式（14）簡(jiǎn)記為

其中：

由式（16）、（17）可知， σ0( x)在滑面已知前提下屬于已知函數(shù)；因無(wú)法準(zhǔn)確獲得條間作用力的具體分布模式， σ1( x)仍不能準(zhǔn)確得到。目前，極限平衡分析方法中瑞典法假設(shè)所有條間力為0、簡(jiǎn)化Bishop 法假定條塊間作用力為水平、簡(jiǎn)化Janbu法假定條塊間的剪應(yīng)力為0、Spencer 法假定條間力傾角為一個(gè)常數(shù)、Morgenstern-Price 法（簡(jiǎn)稱M-P法）則假定條間法向力和剪切力之間的關(guān)系為T ( x) =λf ( x ) E ( x)。下面以算例來(lái)討論這些條間力分布模式下的滑面正應(yīng)力 σ( x)以及 σ0( x)和 σ1( x)的分布。

所舉算例邊坡如圖3 所示，有兩個(gè)潛在的滑動(dòng)面，即圓弧形和一般形狀滑動(dòng)面。邊坡共有4 個(gè)地層，其物理力學(xué)參數(shù)列于表1。此外，邊坡還受水壓力和地震力作用，地震影響系數(shù)為0.1。

圖3 邊坡剖面圖及滑面 Fig.3 Cross-section of slope and slip surface

表1 邊坡地層參數(shù) Table 1 Properties of slope soils

采用已有的條分法對(duì)條間作用力的假設(shè)，分別計(jì)算了簡(jiǎn)化Bishop 法、簡(jiǎn)化Janbu 法、Sarma 法、Spencer 法、M-P 法和嚴(yán)格Janbu 法共計(jì)6 種模式，根據(jù)每個(gè)土條平衡條件可獲得滑面正應(yīng)力 σ( x)以及兩個(gè)貢獻(xiàn)分量 σ0(x)和σ1(x)的分布，并將每種假設(shè)情況的計(jì)算結(jié)果繪在一張圖中便于比較，如圖4、5 所示。

由圖4、5 可知：①滑體體積力和坡面外力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)(0( )xσ )占主導(dǎo)地位，土條間作用力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)(1( )xσ )是非常有限的。②滑面正應(yīng)力 ( )xσ 以及0( )xσ 和1( )xσ 均為單值、連續(xù)、近似光滑的曲線（尤其是圓弧滑面），所以能夠構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)予以逼近擬合。

4 滑面正應(yīng)力分布對(duì)安全系數(shù)的影響

對(duì)于嚴(yán)格滿足所有平衡條件的極限平衡法，不同條間力的假設(shè)對(duì)安全系數(shù)的影響較小。Duncan[9]指出，對(duì)圓弧滑面安全系數(shù)變化幅度小于5%，任意形狀滑面安全系數(shù)變化幅度也在13%以內(nèi)。換言之，條間力的假設(shè)不同將會(huì)影響滑面正應(yīng)力的分布，由此可間接得到：只要滿足所有平衡條件，滑面正應(yīng)力的分布對(duì)安全系數(shù)的影響也較小。

劉華麗等[10]采用了五點(diǎn)插值的3 次樣條函數(shù)構(gòu)造了不同的滑面正應(yīng)力分布形式，討論了滑面正應(yīng)力分布對(duì)安全系數(shù)的影響。研究結(jié)果表明：滿足全部平衡條件下，滑面正應(yīng)力分布的兩個(gè)極端安全系數(shù)相差在19%以內(nèi)，若再考慮條間力的合理性檢驗(yàn)，則降低到7%?？梢?jiàn)，在滿足平衡條件和合理性的前提下，滑面正應(yīng)力的分布對(duì)安全系數(shù)影響不顯著。

圖4 各條間力假定模式下的滑面正應(yīng)力分布(圓弧滑面) Fig.4 Normal stress distributions of circular slip surface with different calculations

圖5 各條間力假定模式下的滑面正應(yīng)力分布(一般滑面) Fig.5 Normal stress distributions of general slip surface with different calculations

討論上一節(jié)中算例在各種滑面正應(yīng)力分布下的安全系數(shù)，表2 僅給出了滿足所有平衡條件的滑面正應(yīng)力及對(duì)應(yīng)安全系數(shù)。計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，在滿足平衡條件和力學(xué)合理性的前提下，不同的滑面正應(yīng)力模式間的安全系數(shù)最大相差4%以內(nèi)。

某均質(zhì)的、無(wú)體重的、受垂直均布表面荷載的斜坡，其基于塑性力學(xué)的解已經(jīng)得出[11]。如圖6 所示，斜坡高度為10 m，坡角為45°，抗剪強(qiáng)度參數(shù) 分別為c=10 kPa、φ=30°。斜坡頂部的最大垂直超載為111.4 kPa。

表2 不同滑面正應(yīng)力分布下的安全系數(shù) Table 2 Safety factor corresponding to different distributions of normal stresses

圖6 構(gòu)造滑面正應(yīng)力分布與解析解分布對(duì)比 Fig.6 Comparison of normal stress distribution between analytic solution and that of constructed slip surface

滑面正應(yīng)力假設(shè)模式采用式（2）計(jì)算，得出的安全系數(shù)是1.032，與理論分析的結(jié)果(1.000)相比，誤差較小，推力線位置也非常吻合，但滑面正應(yīng)力的分布曲線與理論解答完全不一致，如圖6 所示。再次說(shuō)明只要滿足平衡條件，滑面正應(yīng)力分布對(duì)安全系數(shù)影響不顯著。

綜合前人研究結(jié)論及本節(jié)算例結(jié)果，可以得到如下結(jié)論：在滿足平衡條件和力學(xué)合理性的前提下，安全系數(shù)對(duì)滑面正應(yīng)力分布不甚敏感。當(dāng)然，這一結(jié)論仍是經(jīng)驗(yàn)性的，目前還缺少嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。

5 滑面正應(yīng)力分布函數(shù)的構(gòu)造

為了方程組（7）～（9）能夠求解，必須構(gòu)造滑面正應(yīng)力分布函數(shù)。筆者認(rèn)為，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)應(yīng)該考慮滑面正應(yīng)力分布的力學(xué)構(gòu)成、力學(xué)合理性以及對(duì)安全系數(shù)解的穩(wěn)定性。因此，建議采用以下構(gòu)造函數(shù)：

式中：0( )xσ 由式（16）確定； ( )f x 為逼近函數(shù)，為了式（7）～（9）的求解，可含有兩個(gè)待定參數(shù)。

式（18）中第1 項(xiàng)為滑體體積力和坡面外力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)分量，第2 項(xiàng)為土條間作用力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)分量，因無(wú)法準(zhǔn)確獲得，采用逼近函數(shù) ( )f x 來(lái)近似反映。

前文研究已經(jīng)表明，滑體體積力和坡面外力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)分量占主導(dǎo)地位，土條間作用力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)分量占次要地位，因此，構(gòu)造函數(shù)以占主導(dǎo)地位的0( )xσ 為核心函數(shù)，采用含有兩個(gè)待定參數(shù)的 ( )f x 逼近1( )xσ 是符合實(shí)際力學(xué)構(gòu)成的。

前文研究還得出了安全系數(shù)對(duì)滑面正應(yīng)力的分布不敏感的結(jié)論，同時(shí)逼近函數(shù) ( )f x 對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)是非常有限的。所以，無(wú)需過(guò)分追求 ( )f x 與真實(shí)分布1( )xσ 之間的吻合度，可以選用線性函數(shù)逼近：

筆者所在的課題組曾研究過(guò)[12]，采用線性逼近函數(shù)能夠較好地滿足條間力的合理性檢驗(yàn)，有時(shí)僅在端部小范圍不能滿足，一般通過(guò)設(shè)置拉裂縫予以消除（這也是符合實(shí)際情況的）。

由于安全系數(shù)對(duì)滑面正應(yīng)力的分布不敏感，因此，對(duì)構(gòu)造函數(shù)的微小擾動(dòng)不會(huì)造成安全系數(shù)大幅變化，即式（18）的構(gòu)造函數(shù)還滿足解的穩(wěn)定性要求。

6 討 論

6.1 關(guān)于逼近函數(shù)f(x)的作用

滑面正應(yīng)力分布中的逼近函數(shù)起到了兩方面的作用。一是反映土條間作用力對(duì)滑面正應(yīng)力的貢獻(xiàn)分量；二是調(diào)節(jié)滑面正應(yīng)力的分布，使其滿足所有的平衡方程。

結(jié)合圖6 成果，筆者認(rèn)為，第1 個(gè)作用非常有限，似乎也沒(méi)有必要非常精確逼近；而第2 個(gè)作用則非常必要。已有研究表明，嚴(yán)格極限平衡法得到的安全系數(shù)差別不大，而與不能夠完全滿足所有的平衡條件得到的安全系數(shù)差別卻比較大。為了滿足所有平衡方程，采用 ( )f x 調(diào)節(jié)滑面正應(yīng)力的分布，以便得到準(zhǔn)確度較高的安全系數(shù)，因此， ( )f x 亦可稱為修正函數(shù)。

6.2 關(guān)于σ 0(x)的選擇

朱大勇[7]和劉華麗等[5]分別討論了0( )xσ 的選擇對(duì)安全系數(shù)的影響，結(jié)果表明：0( )xσ 的選擇對(duì)圓弧滑面安全系數(shù)影響為5%以內(nèi)，一般形狀滑面能夠達(dá)到15%。為了消除0( )xσ 的選擇帶來(lái)的不確定性，本文建議采用式（16）來(lái)計(jì)算0( )xσ 的分布。

7 結(jié) 論

（1）滑面正應(yīng)力由滑體體積力（含坡面外力）和土條間作用力這兩部分貢獻(xiàn)分量構(gòu)成。其中，滑體體積力（含坡面外力）貢獻(xiàn)分量占主導(dǎo)地位，而土條間作用力的貢獻(xiàn)分量較小。

（2）在滿足平衡條件和合理性的前提下，安全系數(shù)對(duì)滑面正應(yīng)力分布不敏感。因此，在滑面正應(yīng)力分布函數(shù)的構(gòu)造上無(wú)需過(guò)分追求與真實(shí)分布之間的吻合度，可采用以占主導(dǎo)貢獻(xiàn)地位的滑體體積力（含坡面外力）貢獻(xiàn)分量為核心函數(shù)，選用含兩個(gè)待定參數(shù)的修正函數(shù)來(lái)逼近土條間作用力貢獻(xiàn)分量的分布。

（3）建議了一種滑面正應(yīng)力構(gòu)造函數(shù)的模式，使滑面正應(yīng)力的假設(shè)模式規(guī)范化，避免了不同構(gòu)造函數(shù)對(duì)安全系數(shù)的影響，完善了此類極限平衡法的理論基礎(chǔ)。

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