大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)相似設(shè)計的基礎(chǔ)理論*

羅 忠 韓清凱 王德友 劉永泉

大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)相似設(shè)計的基礎(chǔ)理論*

羅 忠 韓清凱 王德友 劉永泉

羅 忠 工學(xué)博 士 副教 授 110819 遼寧省 沈陽 市 東 北大 學(xué) 機(jī)械工 程與 自動 化學(xué)院 zhluo@mail.neu.edu.cn

韓清 凱 工學(xué)博 士 教授 116023 遼寧省 大 連市 大連 理工 大學(xué) 機(jī)械 工程 學(xué)院 hanqingkai@dlut.edu.cn 411201 湖南省 湘 潭市 湖南 科技 大學(xué) 湖南 省機(jī) 械裝 備健康 維護(hù) 重點 實驗室

王德 友 工學(xué)博 士 研究 員 110015 遼寧省 沈陽 市 沈 陽發(fā) 動機(jī) 設(shè)計研 究所 wangdy606@163.com

劉永 泉 工學(xué)博 士 研究 員 110015 遼寧省 沈陽 市 沈 陽發(fā) 動機(jī) 設(shè)計研 究所

在中國國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)項目《高端壓縮機(jī)組高效可靠及智能化基礎(chǔ)研究》、中國國家自然科學(xué)基金項目《旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)件模型試驗的動力學(xué)相似理論及其應(yīng)用研究》,中央高校基本科研業(yè)務(wù)費資助教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才培育項目《混合式復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)相似試驗?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計方法研究》的共同資助下,針對大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件,基于相似理論開展動力學(xué)相似設(shè)計理論研究,報告學(xué)術(shù)成果。

大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件受轉(zhuǎn)速、離心力、離心彎矩、恢復(fù)扭矩載荷、陀螺力矩和尺寸效應(yīng)等因素的影響,僅依靠理論解析和數(shù)值模擬,不能徹底解決其動力學(xué)設(shè)計問題,必須增加物理試驗驗證。以彈性薄板為典型結(jié)構(gòu)件,提出大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)相似試驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計方法。

通過分析基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件在結(jié)構(gòu)振動測試試驗中涉及的相似設(shè)計理論和方法,提出動力學(xué)相似定義——模型和原型在工作狀態(tài)下,其動力學(xué)固有特性、模態(tài)振型、動力學(xué)響應(yīng)行為,甚至包括典型故障特征,在一定范圍內(nèi)一致或成固定比例關(guān)系的相似現(xiàn)象。建立了基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)相似設(shè)計的基本理論體系,包括完全相似試驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計準(zhǔn)則及相似關(guān)系的建立方法,畸變模型的設(shè)計方法及畸變模型相似關(guān)系的修正方法。采用理論解析、數(shù)值模擬和試驗驗證相結(jié)合的研究方法,建立了模型與原型的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)、載荷條件和邊界條件成相似比例的映射關(guān)系,得到了4條動力學(xué)相似準(zhǔn)則:相似模型和原型具有相同的模態(tài)主振型;完全幾何相似的縮比模型和原型,其固有頻率與幾何縮比成反比;當(dāng)縮比模型和原型為不同材料時,其固有頻率正比于彈性模量和密度的縮比比值的平方根;通過附加質(zhì)量塊可以調(diào)整結(jié)構(gòu)固有頻率,也可能使模態(tài)次序發(fā)生較大變化。

相似模型試驗可以有效物理模擬動力學(xué)特性及響應(yīng)過程,再現(xiàn)原型的典型故障特征,由模型試驗結(jié)果預(yù)測原型的動力學(xué)參數(shù)和特征。當(dāng)模型參數(shù)和條件不能完全與原型成對應(yīng)比例關(guān)系時,將導(dǎo)致基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件試驗?zāi)Ｐ突?材料畸變和幾何尺寸畸變是模型畸變的成因。從畸變產(chǎn)生機(jī)理出發(fā),提出了模型畸變修正方法,以及模型幾何適用區(qū)間確定方法?；兡Ｐ托拚嬖谝欢ǖ目尚拚齾^(qū)間,動力學(xué)相似模型幾何適用區(qū)間與其誤差控制區(qū)間及振型控制區(qū)間均相關(guān),相似試驗?zāi)Ｐ蛯τ诟唠A動力學(xué)相似的參數(shù)設(shè)計要求更為嚴(yán)格。

以彈性薄板結(jié)構(gòu)件為對象,以簡化相似關(guān)系為目標(biāo),采用量綱分析法,提出彈性薄板完全幾何相似和不完全幾何相似模型(即畸變模型)與原型相似關(guān)系的建立方法。首先,利用解析及數(shù)值方法對彈性薄板固有特性問題進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,得到如下結(jié)論:彈性薄板不同振型對應(yīng)的固有頻率對幾何尺寸變化的敏感性不同;彈性薄板振型中某一點的振幅對幾何參數(shù)的敏感性與其相對位移有關(guān);泊松比影響非常小,可以忽略不計且具有自相似性;材料并不是影響振動特性相似的主要因素,而幾何尺寸是影響動力學(xué)相似的條件。其次,圍繞建構(gòu)畸變試驗?zāi)Ｐ?推導(dǎo)了彈性薄板畸變模型的畸變系數(shù);提出了彈性薄板構(gòu)件畸變模型幾何適用區(qū)間的確定方法;提出了一種基礎(chǔ)單元構(gòu)件的畸變模型修正方法——通過建立過渡模型的數(shù)值修正方程,獲得動力學(xué)特性相似參數(shù)的修正系數(shù),并對模型試驗結(jié)果進(jìn)行修正。研究表明,同種材料相似模型試驗效果要好于異種材料相似模型的試驗結(jié)果,縮比較大的模型,其試驗結(jié)果好于縮比較小的模型的試驗結(jié)果。

通過歸納,提出了動力學(xué)相似設(shè)計普適步驟,建立了大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元構(gòu)件動力學(xué)相似設(shè)計理論框架,獲得了動力學(xué)相似設(shè)計需要遵循的11項科學(xué)結(jié)論。

相似理論 動力學(xué)相似 相似準(zhǔn)則 幾何相似 大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械 基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件 彈性薄板 試驗?zāi)Ｐ突兡Ｐ突冃拚?數(shù)值擬合 模型幾何適用區(qū)間 模型設(shè)計 量綱分析 固有特性 響應(yīng)特性 集中質(zhì)量 模態(tài)調(diào)節(jié)

1 引言

大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械(Large High-speed Rotating Machanical)的基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件(basic components),例如,轉(zhuǎn)子葉片、轉(zhuǎn)盤和轉(zhuǎn)鼓,等等,其動力學(xué)特性及可靠性直接關(guān)系到裝備的性能、壽命以及事故的預(yù)防。

受轉(zhuǎn)速(rotating speed)、離 心 力 (centrifugal force)、離 心 彎 矩 (centrifugal moment)、恢 復(fù) 扭 矩 載 荷(restore torque load)、陀螺力矩(gyroscopic moment)和尺寸效應(yīng)(size effect)等因素的影響,僅靠理論解析和數(shù)值模擬,并不能徹底解決大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)問題。這是 因為理論解析常 是基 于某些假設(shè)開展數(shù)學(xué)推導(dǎo),而數(shù)值模擬往往忽略一些影響因素,因此必須通過物理試驗來進(jìn)一步驗證與考察。

在工程實踐中,直接采用結(jié)構(gòu)原型進(jìn)行試驗,存在幾何尺寸、旋轉(zhuǎn)臺動力、實驗空間、試驗難度、試驗成本等約束,困難較多。采用動力學(xué)相似 模 型試 驗(Dynamic Similitude Test Model),不 僅可 以合理 調(diào)整結(jié) 構(gòu)、材料和工藝,還可以人為控制主要影響因素,剔除次要影響因素,降低試驗難度,縮短試驗周期。

因此,通過相似模型試驗,物理性模擬基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)特性及響應(yīng)過程,復(fù)現(xiàn)基礎(chǔ)單元構(gòu) 件原 型的典型故障特征,再由模型試驗結(jié)果預(yù)測基礎(chǔ)單元構(gòu)件原型的動力學(xué)參數(shù)和特征,具有重要的理論研究價值和工程應(yīng)用價值。

1.1 相似理論的起源

自17世紀(jì)開始,相似理論(Similarity Theory)的研究 和應(yīng) 用已有過許 多先 驅(qū)性的工作。1638 年,伽 利略(Galileo Galilei)在《關(guān) 于 兩 門新科學(xué) 的 對 話》(Mathematical Discourses Concerning Two New Sciences Relating to Mechanicks and Local Motion)中說明[1],威尼斯人在比照相似的小船 而建 造大船時發(fā)現(xiàn),桅 柱如只按幾何尺寸簡單放大則強(qiáng)度不夠;事實上,如果物體尺寸減小,其強(qiáng)度并不按相同比例減小,物體越小其相對強(qiáng)度越大。這一論述已經(jīng)深入到相似理論的實質(zhì)問題,一般認(rèn)為這是相似理論的最早萌芽。

1686年,牛頓(Isaac Newton)在對其第三定律(Newton's Third Law)的表 述和 論證時就完全是 采用 兩個物體作相似運動來說明的;之后,牛頓又提出被稱為牛頓數(shù)(Newton Number)的相似準(zhǔn)數(shù)(Similarity Criterion)[2];1741年前后,英國進(jìn)行炮艦的水池拖拽試驗,這 是相 似理論最早的實 踐應(yīng)用[3-4];1872年,英國 學(xué)者弗洛德(Willian Froude)根據(jù)船模試驗提出相似準(zhǔn)數(shù)[5];1900年,萊特兄弟(Wright brothers)進(jìn)行了風(fēng) 洞試驗[6]。

相似理論和其他科學(xué)理論一樣,都是隨著社會生產(chǎn)需要,基于基礎(chǔ)科學(xué)和有關(guān)相鄰學(xué)科理論,以及觀察、實驗和測量等技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展起來的,許多著名學(xué)者在相似理論領(lǐng)域都創(chuàng)造出了成就。

1.2 相似理論及相似設(shè)計方法研究與發(fā)展

1848年,法國科學(xué)家貝特朗(Bertrand J)定義了相似準(zhǔn)數(shù)這一概念[7]。

【相似準(zhǔn)數(shù)】 由確定物理現(xiàn)象的物理量組成反映現(xiàn)象物理相似數(shù)量特征的無量綱數(shù)群。

之后,以三大基 本定理[8]為基 本框架 和理論 基礎(chǔ),逐 步建立 起經(jīng)典 相似理 論(The Classical Similarity Theory)。

貝特朗于1868年以力學(xué)方程分析為基礎(chǔ),建立了相似第一 定理(The First Similarity Theorem)[9],描述了相似現(xiàn)象的基本特性,把相似現(xiàn)象正式提升到理論高度。

【相似第一定理】 對于相似現(xiàn)象,其相似指標(biāo)等于1,或其相似準(zhǔn)則的數(shù)值相等。

1914年,白金漢(Buchinghan E)[10]提出 了相似 第二 定 理(The Second Similarity Theorem),用以 分 析相似現(xiàn)象中各物理參量的表達(dá)方法。

【相似第二定理】 設(shè)描述一個物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系中包含n個物理量,其中有m個物理量的量綱是相互獨立的,則該現(xiàn)象具有(n-m)個相似準(zhǔn)則,且描述此現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式可表達(dá)成(n-m)個相似準(zhǔn)則間的函數(shù)關(guān)系式。

1931年,前蘇聯(lián)學(xué)者庫克曼(Gukhman AA)提出了相似第 三定理(The Third Similarity Theorem)[11],回答了現(xiàn)象相似的充分必要條件,使相似理論得到進(jìn)一步完善。

【相似第三定理】 對于同一類物理現(xiàn)象,如果單值量相似,而且由單值量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等,則現(xiàn)象相似。

需要指出的是,相似理論三大定理只定義了在什么條件下物理現(xiàn)象相似,或者由物理現(xiàn)象相似可以得出什么樣的相似準(zhǔn)則及其相似關(guān)系,而沒有給出具體的推導(dǎo)方法。

此后,學(xué)者們基于經(jīng)典相似理論對相似理論開展了更加深入的研究,提出了量綱分析法(Dimensional Analysis),方程分析法(Equation Analysis)和定律分析法(Law Analysis)等相似分析方法[12-13]。

對于量綱分析法,Vaschy A在大約1896年得到了π定理(The Theorem ofπ)[14]的基本形式。但直到1914年,白金漢發(fā)表了具有嚴(yán)格意義的π定理后,量綱分析法才逐漸被承認(rèn),在工程領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

1915年,瑞利(Rayleigh J)[15]采用量綱分析法研究兩個相似物理現(xiàn)象,建立起第一個相似試驗?zāi)Ｐ?成為量綱分析法在工程應(yīng)用方面的先驅(qū)。事實上,此后廣泛采用的量綱分析法,均是以Rayleigh提出的物理方程量綱一致性原理(Dimensional Consistency Principle)為基礎(chǔ)發(fā)展起來的。

第一個單值表征基本物理現(xiàn)象的無量綱組合量是雷諾(Reynolds O)引進(jìn)的雷諾數(shù)(Reynolds Number)[16]。雷諾數(shù)是一個重要的相似準(zhǔn)則數(shù),達(dá)到同樣雷諾數(shù)的不同流場性質(zhì)相似。

Goodier[17-18]將相似理論引入結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的研究之中,并系統(tǒng)地研究了利用量綱分析法建立兩個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之間的相似條件。從此以后,許多學(xué)者對相似理論中的量綱分析法不斷進(jìn)行完善與發(fā)展[19-24],使之成為相似理論研究中比較重要的研究方法。

中國學(xué)者談慶明[25]于2005年出版了專著《量綱分析》,介紹了量綱分析法在力學(xué)領(lǐng)域里的應(yīng)用。楊俊杰[26]、徐挺[27]、周美立[28]等學(xué)者也以量綱分析法為基礎(chǔ),針對相似原理在工程中的應(yīng)用出版了各自的著作。

量綱分析法在處理簡單物理現(xiàn)象或簡單結(jié)構(gòu)體時比較簡單方便。在處理復(fù)雜物理現(xiàn)象或復(fù)雜結(jié)構(gòu)體時,正確選擇物理量是非常困難的事情。由于無法建立與其相應(yīng)的量綱方程,很難導(dǎo)出正確的相似條件結(jié)論,并且這種方法的成功應(yīng)用還依賴于分析者選擇無量綱項的技能。

在量綱分析法得到發(fā)展的同時,方程分析法也逐漸得到應(yīng)用。Kline[29]論述了方程分析法的應(yīng)用前景,并將方程分析法應(yīng)用于求解結(jié)構(gòu)振動的相似條件。Szücs[30]將方程分析法應(yīng)用到熱學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)等領(lǐng)域,利用方程分析法得出兩個物理現(xiàn)象之間的相似條件和相似關(guān)系。Qian[31-32]等學(xué)者利用方程分析法得到多層復(fù)合板之間的相似條件,并對加載沖擊力的模型復(fù)合板進(jìn)行了試驗研究,預(yù)測了原型復(fù)合板的特性。

由于方程分析法與量綱分析法各有特點,針對工程問題各自也顯示了其優(yōu)勢,因而在相似性設(shè)計中主要采用這兩種方法。

定律分析法的依據(jù)是支配相似現(xiàn)象的物理定律相同,由分析支配現(xiàn)象的物理定律得出相似準(zhǔn)數(shù)。這種方法要求對所研究的現(xiàn)象運用已掌握的全部物理定律,并能辨別其主次,一旦這個要求得到滿足,解決問題并不困難,而且還可獲得數(shù)量足夠的、反映現(xiàn)象實質(zhì)的π項。但這種方法的缺點是只是就事論事,看不出現(xiàn)象的變化過程和內(nèi)在聯(lián)系,故作為一種方法,缺乏典型意義,再加之由于必須要找出全部物理定律,所以對于未能全部掌握其機(jī)理的、較為復(fù)雜的物理現(xiàn)象,運用這種方法是不可能的,所以其應(yīng)用偏少。

對比相似理論的三大常用分析方法,可以發(fā)現(xiàn)以下特點。

(1)量綱分析法在分析復(fù)雜物理現(xiàn)象或復(fù)雜結(jié)構(gòu)體時,物理量的正確選擇是建立與其相應(yīng)的量綱方程并導(dǎo)出正確相似結(jié)論的關(guān)鍵;由于量綱分析法不能區(qū)別量綱相同但在方程中物理意義不同的量,將會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。

(2)方程分析法結(jié)構(gòu)嚴(yán)密,能夠反映物理現(xiàn)象中最為本質(zhì)的物理定律,結(jié)論可靠,但它需要建立能反映物理現(xiàn)象的微積分方程,要求對所研究的物理現(xiàn)象的機(jī)理有充分的認(rèn)識,故而方程分析法對于研究未知現(xiàn)象的相似關(guān)系存在若干困難。

(3)定律分析法要求了解支配現(xiàn)象的物理定律,而在大多數(shù)情況下,尤其是實際工程中,物理定律的應(yīng)用范圍具有一定的局限性。所以定律分析法不夠靈活,優(yōu)勢不明顯,應(yīng)用不廣泛。

1.3 工程材料及結(jié)構(gòu)的動力學(xué)相似理論研究現(xiàn)狀

相似模型理論和技術(shù)在20世紀(jì)40-70年代期間幾乎失去曾經(jīng)的輝煌,直到20世紀(jì)70年代后期又開始逐漸成為學(xué)者們的研究熱點,重新應(yīng)用于航海試驗、風(fēng)洞試驗、航空應(yīng)用、地震工程和液壓設(shè)備的性能試驗。

從Goodier[17-18]利用量綱分析法建立兩個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之間的振動特性相似條件開始,人們逐步利用相似理論開展結(jié)構(gòu)振動特性的研究。

在板類結(jié)構(gòu)相似模型設(shè)計方面,Morton[33]利用π定理推導(dǎo)沖擊響應(yīng)完全相似關(guān)系,通過放寬厚度相似關(guān)系和應(yīng)變率相似關(guān)系分別對沖擊未破壞和沖擊破壞等情況進(jìn)行實驗驗證。Singhatanadgid[34]等學(xué)者推導(dǎo)了反對稱層合板固有頻率畸變模型的相似關(guān)系。Ungbhakorn[35]等學(xué)者利用平衡方程建立了薄板畸變模型的相似關(guān)系,并對不同畸變條件下相似關(guān)系的預(yù)測準(zhǔn)確性進(jìn)行了研究。Jha[36]等學(xué)者使用量綱分析法進(jìn)行相似性設(shè)計時的重力效應(yīng)及采用附加質(zhì)量對懸臂梁模型的修正方法。Songkhla[37]等學(xué)者對薄板完全相似模型及材料畸變模型的動力特性相似關(guān)系進(jìn)行了實驗驗證,探索不同邊界條件對模型預(yù)測結(jié)果的影響。

在殼類結(jié)構(gòu)相似模型設(shè)計方面,Ungbhakorn[38-39]等學(xué)者報告了對稱及反對稱鋪層復(fù)合材料層合柱殼畸變模型的設(shè)計方法。Kee[40]等學(xué)者基于Reissner-Mindlin假設(shè)建立帶預(yù)扭型的復(fù)合材料層合殼葉片模型,考慮了慣性力、科氏力的影響,通過有限元方法計算了葉片的動力特性。Torkamani[41]等學(xué)者運用平衡方程法建立圓柱筒的相似關(guān)系,對帶筋板的圓柱筒采用等效剛度法建立了相似模型,并通過實驗對相似模型的預(yù)測效果進(jìn)行了驗證。Bijan[42]等學(xué)者討論了單一材料(鋁)與不同鋪層復(fù)合材料層合圓柱殼的等效設(shè)計,針對其塑性變形問題,通過理論分析與實驗給出了材料的等效設(shè)計方法。Murugan[43]等學(xué)者利用量綱分析法分析了不同材料懸臂板的彎曲及動力相似,用ANSYS對核反應(yīng)堆頂板相似關(guān)系進(jìn)行了仿真分析及驗證,并通過有機(jī)玻璃實驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行了驗證。

Krayterman[44]等學(xué)者根據(jù)量綱分析法推導(dǎo)出平板和圓筒的相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系,建立了相似模型,考慮了邊界條件對相似條件的影響,討論了相似方法的精度。Simitses和Rezaeepazhand等學(xué)者[45-52]利用相似理論研究了復(fù)合材料的多層結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)性質(zhì),提出利用相似模型試驗可以預(yù)測原型復(fù)合材料的特性。

Soedel[53]利用方程分析法推導(dǎo)出了振動薄殼的精確相似準(zhǔn)則和近似相似準(zhǔn)則。他通過對薄殼的Love方程進(jìn)行分析,討論了兩種情況下的相似準(zhǔn)則,一是當(dāng)拉伸效應(yīng)占主導(dǎo)作用時,彎曲效應(yīng)可以忽略,圓筒的固有頻率的相似關(guān)系與厚度的相似條件沒有關(guān)系;二是當(dāng)彎曲效應(yīng)占主導(dǎo)地位時,圓筒的固有頻率的相似關(guān)系與圓筒厚度的相似條件成正比。他還對振動響應(yīng)和負(fù)載的相似性進(jìn)行了研究,但是,他在文獻(xiàn)中沒有考慮結(jié)構(gòu)阻尼和流體負(fù)載對于相似關(guān)系和相似條件的影響。

Chouchaoui[54]等學(xué)者研究了圓殼管在拉伸、扭轉(zhuǎn)、彎曲,以及內(nèi)外壓力等作用狀態(tài)下的相似模型,通過相似模型推算其彈性力學(xué)行為和振動響應(yīng)。Wu[55-57]等學(xué)者利用相似理論研究了平板振動響應(yīng)的相似設(shè)計問題,他針對二維全尺寸原型板的動載振動特性,利用相似梁模型進(jìn)行了推算。Wu[58]和Young[59]分別以轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)為對象,針對模型推算全尺寸原型結(jié)構(gòu)問題進(jìn)行了研究,采用量綱分析法和方程分析法相結(jié)合的方法研究了系統(tǒng)質(zhì)量、剛度、阻尼和外載對振動特性影響的相似性推算問題,但并沒有考慮旋轉(zhuǎn)狀態(tài)(轉(zhuǎn)速、陀螺力矩和質(zhì)量效應(yīng),等等)的影響。

在中國,相似理論在土木工程和建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能和模型試驗中應(yīng)用較多,應(yīng)用成果相對也比較成熟。

林皋[60]和遲世春[61]等學(xué)者分別針對評價建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能、地震破壞機(jī)理,以及建筑結(jié)構(gòu)動力模型試驗的相似技巧等問題進(jìn)行了研究,還研究了大型水下地震模擬系統(tǒng)。

1996年,呂西林教授針對高層建筑結(jié)構(gòu)模型抗震試驗,開展了結(jié)構(gòu)模型試驗的動力學(xué)相似理論研究,構(gòu)建了模型結(jié)構(gòu)和原型結(jié)構(gòu)之間在不同變形階段的各種動力學(xué)相似關(guān)系,提出了用模型試驗結(jié)果推算原型結(jié)構(gòu)性能的方法和消除誤差的途徑,研究成果對于結(jié)構(gòu)抗震模型動力試驗和計算分析具有指導(dǎo)意義。

圍繞相似理論在結(jié)構(gòu)振動試驗方面的應(yīng)用,雷正保[62-63]等學(xué)者針對大位移、彈塑性的結(jié)構(gòu)振動等問題,運用量綱分析法導(dǎo)出了動態(tài)大位移大轉(zhuǎn)角彈塑性相似結(jié)構(gòu)的相似關(guān)系,應(yīng)用算例證明了相似理論解決這類問題的可行性。李少華[64]等學(xué)者提出了一種較為實用的復(fù)合材料顫振模型設(shè)計方法,該方法采用部分結(jié)構(gòu)相似顫振模型設(shè)計策略,在動力相似模型的基礎(chǔ)上,增加了對主要受力構(gòu)件和蒙皮的布置及傳力路線的模擬,可以提高模型剛度分布和質(zhì)量分布的模擬精度,進(jìn)而提高振動特性和顫振特性的相似程度。胡培民[65]針對轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動特性相似模型試驗進(jìn)行了基礎(chǔ)性分析,指出對于一個轉(zhuǎn)子,若將其徑向尺寸縮小到原來的(1/Kd),軸向尺寸縮小到原來的(1/KL),按相同或不同的材料制作成相似模型,則相似模型扭轉(zhuǎn)振動的頻率特性曲線和實際轉(zhuǎn)子的頻率特性曲線相似,兩者固有頻率之間具有確定的相似關(guān)系,并且和徑向尺寸縮小的比例Kd無關(guān),兩者的振型完全相同之結(jié)論。

劉爾重[66]針對復(fù)合材料圓柱殼體縮比件進(jìn)行推導(dǎo),得出了相似判據(jù),并通過試驗測量證明了判據(jù)的正確性,說明相似判據(jù)可以用在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件應(yīng)力的實驗分析。晏礪堂[67]和王德友[68]基于航空發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)子碰摩振動特性的研究,設(shè)計了模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng),通過實驗?zāi)M了發(fā)生碰摩故障。通過實測振動特性與理論分析的結(jié)果比較,得到了良好的一致性,說明了相似模型在實驗?zāi)M應(yīng)用的可行性。

1.4 相關(guān)討論與思考

對比國內(nèi)外相似理論及其在結(jié)構(gòu)振動試驗中的應(yīng)用研究現(xiàn)狀,可以得到以下結(jié)果。

(1)相似理論起源雖早在17世紀(jì),但最初只是簡單的大小對比關(guān)系,以及提出一些基礎(chǔ)性概念,并沒有深入細(xì)致研究。直到20世紀(jì)提出了相似第二定律和第三定律,才真正開啟了相似理論的研究。

(2)繼瑞利采用量綱分析法建立起第一個相似試驗?zāi)Ｐ椭?基于相似第二定理的量綱分析法在工程實踐中逐漸開始廣泛應(yīng)用。量綱分析法簡單方便,但是在復(fù)雜情況下,不能建立完整的量綱方程,進(jìn)而導(dǎo)致相似關(guān)系推出不完整性結(jié)論。相對而言,方程分析法因其嚴(yán)密,更能被人們所接受。但由于要求對于所研究對象的工作機(jī)理有充分的認(rèn)識,導(dǎo)致了其應(yīng)用范圍狹小,往往不方便應(yīng)用。

(3)在中國,開始開展動力學(xué)相似研究主要集中在橋梁等大型結(jié)構(gòu),林皋和遲世春等學(xué)者的研究為研究構(gòu)件動力學(xué)相似提供了理論參考。國外學(xué)者在基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件方面進(jìn)行的大量研究并取得了很好的成果。近年來,國內(nèi)學(xué)者也開始將相似理論應(yīng)用到結(jié)構(gòu)件的設(shè)計。郝燕平[69]對葉輪機(jī)葉片特別是壓氣機(jī)葉片所涉及的靜力學(xué)相似、振動特性相似和動力響應(yīng)相似等結(jié)構(gòu)相似性問題進(jìn)行了理論研究,初步研究了在保持氣動相似條件下,模型葉片和原型葉片之間的靜強(qiáng)度、振動特性、振動響應(yīng)的相似性問題,給出了對應(yīng)的相似準(zhǔn)則。

(4)相對于氣動相似理論的普遍應(yīng)用,在大型機(jī)械中,結(jié)構(gòu)相似理論的應(yīng)用研究很少,其主要原因是由于相對于氣動相似而言,結(jié)構(gòu)相似的影響因素要復(fù)雜得多,機(jī)械結(jié)構(gòu)相似難以如同氣動相似那樣可歸結(jié)為統(tǒng)一的相似參數(shù)。

(5)面對越來越高的技術(shù)要求,對于結(jié)構(gòu)振動試驗中的相似設(shè)計理論與方法的研究仍然比較粗略。通過深入研究基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件在振動測試試驗中相似設(shè)計理論和方法,將為建立模型結(jié)構(gòu)推算方法、再現(xiàn)原型結(jié)構(gòu)的振動特性和故障特征、尋找消除誤差的途徑提供重要依據(jù),是目前急需的基礎(chǔ)性工作,有較強(qiáng)的理論和技術(shù)需求。

1.5 研究對象和研究方法

針對大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)相似設(shè)計的要求,考慮到彈性薄板結(jié)構(gòu)的普適性及典型性,以彈性薄板為研究對象,分析其動力學(xué)相似模型的設(shè)計方法。首先通過量綱分析法與方程分析法建立彈性薄板的動力學(xué)完全相似模型,研究通過集中質(zhì)量進(jìn)行模態(tài)調(diào)節(jié)的方法;在此基礎(chǔ)上,對其幾何尺寸、材料不完全相似的畸變模型進(jìn)行分析,運用理論分析和數(shù)值分析討論畸變模型的設(shè)計方法,誤差分析及誤差修正等問題;最后通過實驗對彈性薄板動力學(xué)相似模型的適用性進(jìn)行實驗驗證,并提煉相關(guān)科學(xué)結(jié)論,研究路線見圖1。

圖1 研究路線Fig.1 Chart of research process

2 相似性設(shè)計基本理論

在科學(xué)研究和工程實踐中,物理實驗是一個重要環(huán)節(jié)。物理實驗包括直接實驗法(direct experimentation method)和模型實驗研究法(model test method)等兩類實驗方法。直接采用原型進(jìn)行實驗存在很大的局限性,例如,幾何尺寸的限制、動力和空間的限制、實驗難度的限制、實驗成本的限制,等等。

采用動力學(xué)相似模型(dynamic similarity model)實驗,不僅可以合理調(diào)整結(jié)構(gòu)、材料和工藝,大幅降低實驗成本,而且可以人為控制主要影響因素,剔除次要影響因素,降低實驗難度,縮短實驗周期。這其中,動力學(xué)相似模型設(shè)計至為重要。

2.1 相似模型

【定義1a 原型(prototype)】 需要進(jìn)行相關(guān)測量和分析,并最終在工程中進(jìn)行應(yīng)用的工程結(jié)構(gòu)。

【定義1b 模型(model)】 為便于進(jìn)行實驗而設(shè)計的,能夠通過實驗數(shù)據(jù)對原型進(jìn)行分析預(yù)測的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)。

模型與原型具有如下關(guān)系:

(1)原型通常結(jié)構(gòu)較復(fù)雜或體積較大(較小),難以通過實驗來獲取相關(guān)數(shù)據(jù);模型通常結(jié)構(gòu)簡單,便于實驗。

(2)模型實驗通常不能夠反映原型的所有性能;針對原型分析不同問題,需選擇不同的模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行實驗。

(3)原型與模型的性能實驗數(shù)據(jù),需要通過一定形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式建立聯(lián)系。

【定義1c 相似現(xiàn)象(similar phenomenon)】[70]遵循同一物理方程的兩個同類現(xiàn)象對應(yīng)的物理量成比例。

若物理量y*,x*,X*滿足以下關(guān)系。y*=f(x*,X*)(1)式中,y*為系統(tǒng)輸出物理量;x*為系統(tǒng)輸入物理量;X*為影響系統(tǒng)輸出的系統(tǒng)物理量。

則有

2.1.1 幾何相似

【定義2a 線性長度(linear length)】 物體上兩點之間的直線距離,如直徑、半徑、寬度、深度、高度、中心距,等等。

模型物體與原型物體的幾何尺寸相似包括長度相似、面積相似和體積相似,其直接參數(shù)體現(xiàn)為線性長度。線性長度屬于一維方向的物理量。

【定義2b 長度相似比(length similitude ratio)】 模型物體幾何尺寸的線性長度與原型物體幾何尺寸的線性長度比值。

長度相似比

式中,CL為模型物體與原型物體的長度相似比;Lm為模型物體幾何尺寸的線性長度;Lp為原型物體幾何尺寸的線性長度。

【定義2c 面積(area)】 物體表面或封閉圖形的大小。

【定義2d 面積相似比(area similitude ratio)】 模型物體幾何尺寸與原型物體幾何尺寸的面積比值。

面積相似比

式中,CA為模型物體與原型物體的面積相似比;Am為模型物體某面的幾何尺寸;Ap為原型物體某面的幾何尺寸。

【定義2e 體積(volume)】 物質(zhì)或物體所占據(jù)空間或所占據(jù)容積。

【定義2f 體積相似比(volume similitude ratio)】 模型物體幾何尺寸與原型物體幾何尺寸的體積比值。

體積相似比

式中,CV為模型物體與原型物體的體積相似比;Vm為模型物體幾何體積值;Vp為原型物體幾何體積值。

【定義2 幾何相似(geometric similarity)】 模型物體幾何形狀和原型物體幾何形狀及幾何尺寸相似——模型物體和原型物體的外形完全一致,對應(yīng)長度、面積、體積等幾何特征之比值為一個定值。

2.1.2 運動相似

運動是指物體的運動,而物體的運動需要時間,故此,運動時間在物體運動相似中是一個非常重要的物理參量。

【定義3a 時間相似比(time similitude ratio)】 模型物體運動時間與原型物體運動時間的比值。

式中,Ct為模型物體與原型物體的運動時間相似比;tm為模型物體在運動過程中的時間值;tp為原型物體在運動過程中的時間值。

【定義3b 速度(velocity)】 物體在單位時間內(nèi)的運動距離。

【定義3c 速度相似比(velocity similitude ratio)】 模型物體運動時間與原型物體運動時間的比值。速度相似比

式中,Cv為模型物體與原型物體的速度相似比;vm為模型物體的運動速度;vp為原型物體的運動速度。

【定義3d 加速度(acceleration)】 物體運動速度在單位時間內(nèi)變化量。

【定義3e 加速度相似比(acceleration similitude ratio)】 模型物體運動加速度與原型物體運動加速度的比值。

加速度相似比

式中,Ca為模型物體與原型物體的加速度相似比;am為模型物體的加速度值;ap為原型物體的加速度值。

【定義3 運動相似(kinematic similarity)】 在整體相似現(xiàn)象中,模型物體運動參數(shù)(速度、加速度、位移等)和原型物體運動參數(shù)兩者相比,矢量參數(shù)保持方向一致、大小成比例,標(biāo)量參數(shù)保持大小成比例的相似現(xiàn)象。

2.1.3 動力相似

動力相似中的“動力”應(yīng)理解為物體運動或靜止時的受力,力為矢量,具有大小和方向。

【定義4a 受力相似比(stress similitude ratio)】 模型物體所受外力與原型物體所受外力大小的比值。受力相似比

式中,CF為模型物體與原型物體的受力相似比;F1m,F2m,…,Fn′m為模型物體在各個方向上的受力大小; F1p,F2p,…,Fn′p為原型物體在各個方向上的受力大小。

在討論模型物體與原型物體的受力相似比時,需要保證受力方向相同,才有大小的比值。同時,物體所受合力的大小與同名力(對應(yīng)邊)的比值一致。

【定義4 動力相似(stress similarity)】 在運動相似系統(tǒng)中,模型和原型中對應(yīng)點上作用的各同名力矢量互相平行,且其大小具有同一比值——模型物體和原型物體中任意對應(yīng)點的力多邊形相似,對應(yīng)邊(同名力)成比例(見圖2)。

圖2 動力相似示意Fig.2 Schematic diagram of dynamic similarity

2.1.4 動力學(xué)相似

【定義5a 固有頻率(natural frequency)】 物體做自由振動時,其位移隨時間按正弦規(guī)律變化,振動的頻率與初始條件無關(guān),而與系統(tǒng)的固有特性有關(guān)。

【定義5b 固有頻率相似比(natural frequency similitude ratio)】 模型物體固有頻率與原型物體固有頻率的比值。

式中,Cω為模型物體與原型物體的固有頻率相似比;ωm為模型系統(tǒng)固有頻率;ωp為原型系統(tǒng)固有頻率。

【定義5c 剛度(stiffness)】 彈性體抵抗變形(彎曲、拉伸、壓縮等)的能力。

【定義5d 剛度相似比(stiffness similitude ratio)】 模型物體剛度與原型物體剛度的比值。

式中,CK為模型物體與原型物體的剛度相似比;Km為模型物體剛度;Kp為原型物體剛度。

質(zhì)量是描述物體所含物質(zhì)多少的物理量,質(zhì)量不隨物體的形狀和空間位置的改變而改變,是物質(zhì)的基本屬性之一。

【定義5e 質(zhì)量相似比(mass similitude ratio)】 模型物體質(zhì)量與原型物體質(zhì)量的比值。

式中,CM為模型物體與原型物體的質(zhì)量相似比;Mm為模型物體質(zhì)量;Mp為原型物體質(zhì)量。

對于質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)(見圖3),其自由振動固有頻率相似比

式中,Ksm為模型彈簧剛度;Ksp為原型系統(tǒng)彈簧剛度;Msm為模型彈簧質(zhì)量;Msp為原型彈簧質(zhì)量;CKs為模型物體與原型物體的剛度相似比;CMs為模型物體與原型物體的質(zhì)量相似比。

圖3 質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)Fig.3 Mass-spring system

【定義5 動力學(xué)相似(dynamical similarity)】 為了達(dá)到模型物體和原型物體在工作狀態(tài)下的固有特性、模態(tài)振型、動力學(xué)響應(yīng)行為,甚至包括典型故障特征等在一定范圍內(nèi)一致或形成固定比例關(guān)系,而使建立的模型物體與原型物體的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)、載荷條件和邊界條件成比例映射關(guān)系的相似現(xiàn)象。

需要注意的是,模型和原型的動力學(xué)相似,除了受到以上3個相似條件(幾何相似、運動相似和動力相似)的影響和制約之外,還受到邊界條件和初始條件的影響。

2.2 相似模型設(shè)計

2.2.1 白金漢π定理

【白金漢π定理(BuckinghamπTheorem)】 對于某個物理現(xiàn)象可給出的無量綱綜合數(shù)群(相似準(zhǔn)數(shù))的個數(shù),等于影響該現(xiàn)象的全部物理量的個數(shù)減去用以表達(dá)這些物理量的基本量綱個數(shù)。

如若某個物理現(xiàn)象含有n個具有影響的物理量,則該物理現(xiàn)象可以表示為如下形式。

式中,^x1為影響物理現(xiàn)象的第一個物理量;^x2為影響物理現(xiàn)象的第二個物理量;^xn為影響物理現(xiàn)象的第n個物理量;f(·)為n個物理量的關(guān)系表達(dá)式。

根據(jù)白金漢π定理,如果這n個物理量包含m個基本量綱,則該物理現(xiàn)象可以進(jìn)一步表示為如下形式。

式中,π1為第一個非基本量綱;π2為第二個非基本量綱;πn-m為第(n-m)個非基本量綱;m為基本量綱個數(shù)。

白金漢π定理描述了物理現(xiàn)象中所有物理量與無量綱參數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。一般來說,具有描述物理現(xiàn)象的普遍意義。

2.2.2 相似準(zhǔn)數(shù)

根據(jù)相似理論,在保持幾何相似前提下,兩個規(guī)模不同的運動保持相似的條件是,所有對運動有影響的無量綱組合量必須保持對應(yīng)相等。

這些對運動有影響的無量綱組合量可以看成是一個綜合數(shù)群(comprehensive group)。為此,可以根據(jù)綜合數(shù)群來判斷模型與原型是否相似。

【定義6 相似準(zhǔn)數(shù)(similarity criterion)】 用于判斷模型與原型是否相似,由確定物理現(xiàn)象的物理量組成的反映現(xiàn)象物理相似數(shù)量特征的無量綱數(shù)群體。

對于一個相似模型和原型系統(tǒng)(見圖4),為了滿足保證相似,模型與原型的相應(yīng)物理量之間必須滿足一定的約束條件。

圖4 相似模型和原型示意Fig.4 Schematic diagram of similar model and prototype

以勻速運動為例,原型與模型之間必須滿足以下條件。

式中,vm為模型物體速度;vp為原型物體速度;Cv為速度相似常數(shù);sm為模型物體位移;sp為原型物體位移; Cs為位移相似常數(shù);tm為模型物體運動時間;tp為原型物體運動時間;Ct為時間相似常數(shù)。

根據(jù)勻速運動的特點,若要保證原型與模型之間相似,則必須滿足以下條件。

根據(jù)式(17),要得到運動相似,則需要保證各個運動參量的相似比一定。上述過程中,涉及的各個參量(sm,sp,vm,vp,tm,tp)表征了特定的物理效應(yīng)。

相似準(zhǔn)數(shù)分為兩類,一類是直接地反映某一基本現(xiàn)象的內(nèi)部規(guī)律的,稱為原始準(zhǔn)數(shù)(或基本準(zhǔn)數(shù))(basic number of quasi);另一類是經(jīng)過理論推導(dǎo)獲得,反映了相似模型和原型之間兩個基本現(xiàn)象的相互關(guān)系,稱為關(guān)聯(lián)準(zhǔn)數(shù)(或?qū)С鰷?zhǔn)數(shù))(derivation number of quasi)。

對于復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)的動力學(xué)相似問題,應(yīng)根據(jù)現(xiàn)象本質(zhì)分析,導(dǎo)出其所包含的基本準(zhǔn)數(shù),同時要把其中的某些基本準(zhǔn)數(shù)轉(zhuǎn)化成反映基本現(xiàn)象間相互關(guān)系的導(dǎo)出準(zhǔn)數(shù),繼而獲得描述復(fù)雜現(xiàn)象的一般性準(zhǔn)數(shù)方程,這個準(zhǔn)數(shù)方程即為相似關(guān)系(scaling laws)[71]。

2.2.3 自相似性

【定義7 相似參數(shù)(similarity parameter)】 可以通過描述物理現(xiàn)象的方程式或函數(shù)式,利用相似轉(zhuǎn)換得到各參數(shù)對應(yīng)的相似關(guān)系或相似條件的參數(shù)。

【定義8 非相似參數(shù)(dissimilarity parameter)】 在工程應(yīng)用中,由于受到材料屬性或加工能力等方面的限制,而不能夠滿足模型和原型之間相似關(guān)系的參數(shù)。

非相似參數(shù)對相似理論的應(yīng)用將產(chǎn)生限制,破壞相似條件。例如,在分析機(jī)械結(jié)構(gòu)的模型和原型動力學(xué)相似時,泊松比μ是一個非相似參數(shù),其原因是在滿足其他相似參數(shù)成比例關(guān)系時,要求相似模型材料和原型材料的泊松比μ也成固定比例,這極難做到。

非相似參數(shù)μ的存在,意味著要使原型和模型的現(xiàn)象保持相似,兩者的材料只能相同,即材料相同是相似的必要條件,這就大大限制了模型設(shè)計時材料的選用范圍,使相似理論的應(yīng)用范圍受到了限制。

為了解決由于非相似參數(shù)帶來的不便,需要引入了自相似概念。

【定義9 自相似(self-similar)】 如果任何一個已定相似準(zhǔn)則在其某一數(shù)值范圍內(nèi)變化,而現(xiàn)象的相似性實際并不被破壞的相似現(xiàn)象。

【定義10 自相似性(self-similarity)】 具有自相似現(xiàn)象的結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)。

【定義11 自相似區(qū)(self-similar area)】 在滿足相似準(zhǔn)則條件下,使結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)具有自相似性的相應(yīng)相似參數(shù)的數(shù)值范圍。

對于機(jī)械結(jié)構(gòu)動力學(xué)相似分析,由于不同材料的泊松比數(shù)值相差很小,如絕大多數(shù)材料的泊松比都在0.3左右,故材料參數(shù)泊松比μ具有自相似性,即泊松比在一定范圍內(nèi)變化時,其對動力學(xué)特性的影響不大。

2.2.4 畸變模型

【定義12 畸變(distortion)】 模型外形尺寸、材料、邊界條件,不遵守相似準(zhǔn)則而發(fā)生變化的現(xiàn)象。

【定義12a 畸變模型(distorted model)】[72]在白金漢π定理描述中,當(dāng)相似模型和原型的所有π項中有一個或幾個起支配作用的模型設(shè)計條件不能被滿足時,所得到的相似模型。

由白金漢π定理可得如下判別準(zhǔn)則。

【判別準(zhǔn)則1】 未發(fā)生畸變的模型(完全相似模型)和原型,滿足以下判別準(zhǔn)則。

【判別準(zhǔn)則2】 發(fā)生了畸變的相似模型,滿足以下判別準(zhǔn)則。

在進(jìn)行相似模型設(shè)計時,常常會有一些物理量不能滿足相似關(guān)系要求,如進(jìn)行轉(zhuǎn)子葉片試驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計時,其幾何尺寸(長度、寬度和厚度)的縮比將不盡相同——發(fā)生了畸變,此時利用模型試驗結(jié)果來預(yù)測原型特性時,需要進(jìn)行畸變修正。

如若引入畸變修正系數(shù)φk,則判別準(zhǔn)則需滿足以下形式。

一般來說,產(chǎn)生模型畸變有以下原因[73]。

(1)尺寸畸變 由于設(shè)計試驗?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)要求或強(qiáng)度要求等因素造成的尺寸畸變。例如,原來模型的長寬比滿足的相似關(guān)系是一個比例常數(shù),但由于模型結(jié)構(gòu)設(shè)計需要在加工過程中使得長寬比不等于原設(shè)計的常數(shù)。

(2)載荷畸變 一是載荷不能按模型設(shè)計條件所要求的比例增加;二是加載前模型與原型在幾何上是相似的,但加載后由于構(gòu)件的變形情況不同,使二者在幾何參量上失去相似性。

(3)材料畸變 在相似模型和原型的泊松比不同的情況下,材料將在彈性上產(chǎn)生畸變,這一點對沿軸向應(yīng)力來說沒有影響,但對切向應(yīng)力的影響較大。

2.3 相似關(guān)系的建立方法

建立相似關(guān)系的方法主要有量綱分析法(dimensional analysis)、方程分析法(equation analysis)和定律分析法(law analysis)等3種。

量綱分析法的主要理論依據(jù)是相似理論第二定理,即由分析影響現(xiàn)象的主要物理量的量綱得出相似準(zhǔn)數(shù)。它對相關(guān)物理量的因次(量綱)進(jìn)行分析,得到為數(shù)較少的無量綱參數(shù)群之間關(guān)系。

方程分析法的理論依據(jù)是相似現(xiàn)象的物理方程相同,由分析描述現(xiàn)象的方程得出相似準(zhǔn)數(shù)。

定律分析法的理論依據(jù)是支配相似現(xiàn)象的物理定律相同,由分析支配現(xiàn)象的物理定律得出相似準(zhǔn)數(shù)。

實際應(yīng)用中,常用的是量綱分析法和方程分析法,定律分析法應(yīng)用很少。系統(tǒng)相似關(guān)系建立流程見圖5。

圖5 相似關(guān)系確定流程Fig.5 Flow chart of determination of scaling laws

2.3.1 基于量綱分析法建立相似關(guān)系

量綱分析法是對有關(guān)過程物理量的量綱進(jìn)行分析,得到較少數(shù)量的無量綱參數(shù)間關(guān)系,其理論依據(jù)是白金漢π定理。其具體應(yīng)用步驟如下。

【step 1】 列出與研究問題相關(guān)的全部物理量(包括有量綱量、無量綱量和量綱常數(shù)),計算其總數(shù)量n。

【step 2】 列出n個物理量中每一個物理量的基本量綱,求出基本量綱總數(shù)量m和基本物理量數(shù)量j,選出j個基本物理量。

根據(jù)白金漢π定理,在選取基本物理量的過程中,基本物理量的數(shù)量要求在滿足涵蓋基本量綱的同時,保證數(shù)量最少?；疚锢砹窟x擇準(zhǔn)則如下。

[基本物理量選擇準(zhǔn)則之一] 基本物理量必須包括所有基本量綱。

[基本物理量選擇準(zhǔn)則之二] 基本物理量的量綱必須彼此獨立,自身不能形成一個無量綱組合。

[基本物理量選擇準(zhǔn)則之三] 不能選擇所研究的非獨立變量作為基本物理量。

[基本物理量選擇準(zhǔn)則之四] 不能選擇無量綱量作為基本物理量。

[基本物理量選擇準(zhǔn)則之五] 盡量選擇量綱常數(shù)而不是量綱參數(shù)作為基本物理量。

[基本物理量選擇準(zhǔn)則之六] 盡量選擇簡單參數(shù)而不是復(fù)雜參數(shù)作為基本物理量。

[基本物理量選擇準(zhǔn)則之七] 盡量選擇常見參數(shù)作為基本物理量。

【step 3】 根據(jù)白金漢π定理計算π的個數(shù)i。

式中,n為全部物理量總數(shù);j為基本物理量數(shù)。

【step 4】 將i個物理量分別與j個基本物理量構(gòu)造i個無量綱量π并作必要處理。在處理過程中,應(yīng)根據(jù)相似準(zhǔn)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行。

[相似準(zhǔn)數(shù)性質(zhì)之一] 相似準(zhǔn)數(shù)的n次方仍是相似準(zhǔn)數(shù)。

[相似準(zhǔn)數(shù)性質(zhì)之二] 相似準(zhǔn)數(shù)的乘積仍是相似準(zhǔn)數(shù)。

[相似準(zhǔn)數(shù)性質(zhì)之三] 相似準(zhǔn)數(shù)乘以無量綱數(shù)仍是相似準(zhǔn)數(shù)。

[相似準(zhǔn)數(shù)性質(zhì)之四] 相似準(zhǔn)數(shù)的和與差仍是相似準(zhǔn)數(shù)。

[相似準(zhǔn)數(shù)性質(zhì)之五] 相似準(zhǔn)數(shù)中任一物理量用其差值形式代替仍是相似準(zhǔn)數(shù)。

【step 5】 寫出最終函數(shù)關(guān)系式并進(jìn)行檢查。

2.3.2 基于方程分析法建立相似關(guān)系

量綱分析法雖然能夠得到試驗所需的縮比關(guān)系式,但存在以下不足。

(1)有可能遺漏表征現(xiàn)象特征的重要物理量,或者選入一些次要的,或者對現(xiàn)象來說關(guān)系不大的物理量,甚至是錯誤的物理量。

(2)難以區(qū)別量綱相同,但物理意義不同的物理量(例如,壓力、應(yīng)力、彈性模量等的量綱均為[M-L-T],但意義卻不同),從而無法顯示現(xiàn)象的內(nèi)部結(jié)構(gòu),尋找其中規(guī)律。

(3)難以控制量綱為零的物理量(如摩擦系數(shù),阻尼比等),盡管這些物理量具有自身的物理意義,但置入與否并不影響其余相似準(zhǔn)則的形成,很容易將其忽略,給分析模型的制作造成困難,限制了縮比關(guān)系式的應(yīng)用范圍。

方程分析法以相似現(xiàn)象的物理方程相同為依據(jù),由分析描述現(xiàn)象的方程得出相似準(zhǔn)數(shù),其應(yīng)用步驟如下。

【step 1】 寫出描述物理現(xiàn)象的基本方程和單值條件。

【step 2】 寫出方程中各參數(shù)的相似常數(shù)。

【step 3】 進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換(根據(jù)相似現(xiàn)象中各物理量保持相同比例),將描述原型各方程中的物理量用模型中的量和相似常數(shù)進(jìn)行表示。

【step 4】 將原型的基本方程與模型的基本方程對照,方程各對應(yīng)項依次相等,得出各項系數(shù)(即相似常數(shù))間的關(guān)系式。

【step 5】 對各項系數(shù)進(jìn)行整理,得出各個參數(shù)相似常數(shù)間的關(guān)系——保證完全相似的相似關(guān)系。

3 彈性薄板的動力學(xué)相似理論

在工程實踐中,對于大型機(jī)械系統(tǒng),直接采用真實結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行試驗存在很大局限性,例如,試驗成本高、影響因素多、試驗難度大,甚至難以實現(xiàn),等等,需要通過縮尺動力學(xué)相似模型開展試驗研究;同時,有些微尺寸系統(tǒng)也很復(fù)雜,無法直接采用原型完成試驗研究,需通過放大尺寸相似模型開展試驗研究。動力學(xué)相似理論研究,其核心價值在于通過相似試驗?zāi)Ｐ?縮尺模型或放尺模型)研究復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)特性及其故障產(chǎn)生機(jī)理。

無論是采用縮尺相似模型或是大尺相似模型展開動力學(xué)相似研究,其立足點有二,一是可以合理調(diào)整結(jié)構(gòu)、材料和工藝,大幅降低試驗成本,如對于大型高速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),通過動力學(xué)相似,不僅可以減小模型幾何尺寸,而且還可以降低試驗?zāi)Ｐ偷呐R界轉(zhuǎn)速;二是可以人為控制主要影響因素,剔除次要影響因素,簡化試驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu),降低試驗難度,縮短試驗周期。這其中,所設(shè)計試驗?zāi)Ｐ团c原型的動力學(xué)相似是首要條件。

所謂復(fù)雜系統(tǒng)模型試驗的動力學(xué)相似設(shè)計,是指為了達(dá)到讓試驗?zāi)Ｐ团c真實結(jié)構(gòu)(原型系統(tǒng))的動力學(xué)固有特性、動力學(xué)響應(yīng)行為、甚至包括典型故障特征等在一定范圍內(nèi)一致或成固定比例關(guān)系,而建立起模型與原型的結(jié)構(gòu)參數(shù)(幾何尺寸、結(jié)構(gòu)形狀)、材料參數(shù)(密度、彈性模量、泊松比、剛度和阻尼)、載荷條件(激勵大小、方向和位置)、連接方式(套齒連接、螺栓連接或焊接,等等)、支承條件(剛度、阻尼)和邊界條件(轉(zhuǎn)速、結(jié)構(gòu)耦合作用形式)成比例映射關(guān)系的方法。

復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型試驗涉及系統(tǒng)動力學(xué)特性問題,不僅受到每個結(jié)構(gòu)件動力學(xué)特性的影響,更受到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)件之間結(jié)構(gòu)耦合非線性特征(如葉片-輪盤結(jié)構(gòu)特征、軸承-支承結(jié)構(gòu)特征、套齒聯(lián)軸器結(jié)構(gòu)特征、氣體封嚴(yán)和潤滑密封,等等)和動力學(xué)非線性特性耦合(如各結(jié)構(gòu)件間的連接方式,各結(jié)構(gòu)件間的能量傳遞,等等)的影響。故此,在建立復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)相似關(guān)系時,考慮結(jié)構(gòu)件間的耦合作用及各結(jié)構(gòu)件畸變對于整個模型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)特性的影響,具有關(guān)鍵意義。但是,由于復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式和工作承載情況非常復(fù)雜,試驗?zāi)Ｐ蜐M足動力學(xué)相似關(guān)系,存在一系列尚待解決的科學(xué)問題和工程問題。

目前,復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)相似模型的研究尚處于初創(chuàng)階段,筆者試圖先從結(jié)構(gòu)件入手開展研究,然后考慮系統(tǒng)耦合因素等問題,逐次上升到系統(tǒng)級,最終建構(gòu)復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)相似設(shè)計方案。為簡化說明機(jī)械結(jié)構(gòu)動力學(xué)相似設(shè)計的基本理論與方法,本文以大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)中常見的彈性薄板構(gòu)件為例,加以闡述。

3.1 彈性薄板的基本理論

在彈性力學(xué)中,兩個平行面與垂直于它們的柱面或棱面所圍成的物體,當(dāng)其高度小于底面尺寸時稱為板(plate),兩平行面稱為板面(surface),柱面或棱柱面稱為板邊(flank),兩平行平面之間的距離稱為板厚(thickness),平分板厚的平面稱為中面(middle surface)(見圖6)。

圖6 彈性薄板及單元示意Fig.6 Schematic diagram of elastic plate and element

圖6 中,當(dāng)全部載荷作用于中面時屬于平面應(yīng)力問題;當(dāng)全部載荷垂直于中面時主要發(fā)生彎曲變形,中面由彎曲變?yōu)榍?稱為撓曲面(deflection surface)[74]。

【定義13 特征尺寸(eigen size)】 表征物體幾何特征的尺寸。

【定義14 最小特征尺寸(minimum teature size)】 長度值最小的特征尺寸。

【定義15 薄板(thin plate)】 當(dāng)板厚與板面內(nèi)的最小特征尺寸之比

【定義16 彈性薄板(elastic thin plate)】 變形行為符合胡克定律的薄板。

3.1.1 基本方程

薄板小撓度彎曲理論是基于以下3個計算假定的[75]。

【假定1】 垂直于中面方向的正應(yīng)變εz極其微小,可以忽略不計。

【推論1】 根據(jù)“假定1”,在中面的任一法線上,薄板的全厚度內(nèi),所有點具有相同的位移。

【假定2】 τxz,τyz和σz遠(yuǎn)小于σx,σy,τxy。其所引起的應(yīng)變可以忽略不計。

【推論2】 根據(jù)“假定2”,中面的法線在薄板彎曲時保持不伸縮,成為彈性曲面的法線。

【假定3】 薄板中面內(nèi)的各點沒有平行于中面的位移。

【推論3】 根據(jù)“假定3”,中面內(nèi)的任何一部分雖然彎曲成為曲面的一部分,但在xy面內(nèi)的投影保持不變。

(1)位移函數(shù) 根據(jù)“假定1”,可以得到如下關(guān)系。

式中,εz為z方向應(yīng)變。

撓曲面行為可以表示為如下形式。

根據(jù)“假定2”,薄板彎曲后,板的法線與彈性曲面在x方向和y方向的切線都保持互相垂直,沒有剪應(yīng)變,故而

式中,γyz為yz面內(nèi)的剪應(yīng)變;γxz為xz面內(nèi)的剪應(yīng)變。

由式(24)可以推知

式(25)對z積分,當(dāng)注意到w與z無關(guān)時,可以得到如下關(guān)系。

式中,f1(x,y)和f2(x,y)為任意函數(shù)。

根據(jù)“假定3”,可以得到如下關(guān)系。

由式(26a)和式(26b)可知,當(dāng)f1(x,y)=f2(x,y)=0,則板上任意一點沿x,y,z等3個方向的位移

可見,當(dāng)薄板小撓度彎曲問題被簡化為中面彎曲問題時,只要中面撓度w確定,任何點的位移都可確定。

(2)幾何方程 根據(jù)上述分析,由式(28),薄板的幾何方程可以表示為如下形式。

式中,εx為x方向應(yīng)變;εy為y方向應(yīng)變;γxy為x y面剪應(yīng)變。

(3)本構(gòu)方程 根據(jù)“假定2”,若在本構(gòu)方程中不考慮τxz,τyz和σz,則薄板彎曲問題的本構(gòu)方程(應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系)如下。

式中,μ為泊松比;E為彈性模量;G為剪切模量。

(4)平衡方程 雖然在本構(gòu)方程分析中不考慮τxz,τyz和σz的影響,但它們是構(gòu)建平衡方程所必需的。對薄板微元體進(jìn)行受力分析,由于各個方向受力平衡,可以得到薄板的平衡方程[76]。

式中,Fx為x方向上的外力;Fy為y方向上的外力;Fz為z方向上的外力。

在x軸方向的彎矩Mx,繞x軸的扭矩Mxy,剪力Qx可以表述為如下形式。

式中,D為板的彎曲剛度;?2為Laplace算子。

在y軸方向的彎矩My,繞y軸的扭矩Myx,剪力Qy可以表述為如下形式。

同理,可以得出薄板各個截面上的應(yīng)力分量與彎矩、扭矩、剪力、載荷的關(guān)系。

式中,q為勻布載荷大小。

(5)邊界條件 薄板的內(nèi)力、撓度、應(yīng)力等變量應(yīng)結(jié)合邊界條件進(jìn)行求解,不同的邊界條件需滿足不同的關(guān)系。

對于固支邊,沿約束邊緣的撓度與轉(zhuǎn)角均為0,其邊界條件如下。

對于簡支邊,沿約束邊緣的撓度及轉(zhuǎn)矩均為0,其邊界條件如下。

對于自由邊,邊界沒有限制撓度和轉(zhuǎn)角的約束,其邊界條件如下。

式中,Vx為當(dāng)x=a時,邊緣上等效橫向剪力。

3.1.2 矩形薄板的自由振動方程

設(shè)薄板在振動過程中任何一瞬時時刻t的撓度為w=w(x,y,t)(不從平面位置量起,而從平衡位置量起),將式(34)代入式(31),則薄板每單位面積在該瞬時所受的彈性力大小為D?4w,而可以將慣性力寫成如下形式。

式中,qi為單位面積慣性力為薄板單位面積質(zhì)量。

將彈性力與其慣性力qi相平衡,可得其自由振動方程。3.2 相似關(guān)系

按照量綱分析法作業(yè)步驟,建立彈性薄板動力學(xué)相似關(guān)系。

【step 1】 列出與所要研究問題相關(guān)的全部物理量,計算其總量n。

影響彈性薄板結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的主要因素來源見表1。

表1 影響彈性薄板結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的因素及其表征Tab.1 Parameters affecting the dynamic characteristics of thin plate

由表1可知,影響彈性薄板結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的相關(guān)物理量總數(shù)n=16。

【step 2】 列出n個物理量中每一個物理量的基本量綱。

采用[M][L][T]量綱系統(tǒng)([M]為質(zhì)量量綱,[L]為長度量綱,[T]為時間量綱)作為基本量綱,可得彈性薄板的量綱關(guān)系(見表2)。

表2 量綱關(guān)系Tab.2 Dimension relationship

設(shè)α1～α16分別代表各相關(guān)物理量的冪次,可得彈性薄板的量綱關(guān)系(見表3)。

表3 變換后的量綱關(guān)系表Tab.3 Dimension relationship after transformation

【step 3】 根據(jù)白金漢π定理計算π的個數(shù)i。

物理參數(shù)的數(shù)量為16,采用[M][L][T]量綱系統(tǒng),基本量綱數(shù)j為3,則獨立π數(shù)的個數(shù)

【step 4】 將i個物理量分別與j個基本物理量構(gòu)造i個無量綱量π,并作必要處理。

彈性薄板受諧波激振力作用產(chǎn)生振動,各主要物理參數(shù)之間的關(guān)系一般形式如下[76]。

對于彈性薄板,將π項理解為16個物理參數(shù)的函數(shù)關(guān)系。

式(42)為彈性薄板的相似準(zhǔn)數(shù)一般形式。

根據(jù)量綱分析方法,可得3個線性齊次代數(shù)方程。

求解式(43),可得

由白金漢π定理出發(fā),將式(44)改寫為如下形式。

根據(jù)式(45),對于16個冪次指數(shù)αi,有如下形式。

根據(jù)式(46),可得各物理參數(shù)的指數(shù)π矩陣(見表4)。

表4 指數(shù)π矩陣Tab.4 Matrix ofπ

【step 5】 寫出最終函數(shù)關(guān)系式并進(jìn)行檢查。

對表4進(jìn)行整理,可得如下關(guān)系。

在彈性薄板相似模型設(shè)計中,相似模型和原型對應(yīng)的物理量應(yīng)成比例,故而有如下形式。

式中,tm模型時間;tp為原型時間;Ct為原型與模型時間相似比;Fm為模型載荷;Fp為原型載荷;CF為原型與模型載荷相似比;ωfm為模型激振頻率;ωfp為原型激振頻率;Cωf為原型與模型激振頻率相似比;Em為模型彈性模量;Ep為原型彈性模量;CE為原型與模型彈性模量相似比;ρm為模型密度;ρp為原型密度;Cρ為原型與模型密度相似比;am為原型長度;ap為模型長度;Ca為原型與模型長度相似比;bm為原型寬度;bp為模型寬度;Cb為原型與模型寬度相似比;hm為原型厚度;hp為模型厚度;Ch為原型與模型厚度相似比;gm為模型重力加速度;gp為原型重力加速度;Cg為原型與模型重力加速度相似比;ωm為模型固有頻率;ωp為原型固有頻率;Cω為原型與模型固有頻率相似比;ζm為模型阻尼比;ζp為原型阻尼比;Cζ為原型與模型阻尼比相似比;φm為模型振型;φp為原型振型;Cφ為原型與模型振型相似比;xm為模型位移;xp為原型位移;Cx為原型與模型位移相似比;vm為模型速度;vp為原型速度;Cv為原型與模型速度相似比;aam為模型加速度;aap為原型加速度;Caa為原型與模型加速度相似比。

將式(48)代入式(47),經(jīng)簡化可得彈性薄板相似模型應(yīng)滿足的相似條件。

式(49)中的13個相似條件包含16個相似常數(shù),故有3個相似常數(shù)需要預(yù)先確定。

【先定規(guī)則1】 在實際設(shè)計中,模型材料要先行選定,故而CE和Cρ可以預(yù)先確定。

【先定規(guī)則2】 因為模型為縮尺寸比例模型,故而Ca可以根據(jù)要求預(yù)先確定。

根據(jù)式(49),可以得到彈性薄板動力相似關(guān)系的相關(guān)規(guī)則。

【相似規(guī)則1】 在縮比模型的設(shè)計中,如果長、寬、厚等3個幾何參數(shù)以相同比例數(shù)變化,則Ca,Cb和Ch可用同一個量綱表示。

【相似規(guī)則2】 相似模型和原型本征方程相同,具有相同的模態(tài)主振型,并且對于幾何相似的縮比模型和原型,其固有頻率與幾何縮比成反比。

【相似規(guī)則3】 當(dāng)縮比模型和原型為不同材料時,其固有頻率正比于彈性模量和密度的縮比比值的平方根。

3.3 彈性薄板模態(tài)調(diào)節(jié)方法

3.3.1 帶集中質(zhì)量塊的薄板振動理論

根據(jù)薄板小撓度理論假定,均勻質(zhì)量薄板受迫振動微分方程可以表示為如下形式[77-81]。

式中,w(x,y,t)為任意一點瞬時t的撓度;(x,y)為薄板任意一點的坐標(biāo)。

當(dāng)薄板帶有集中質(zhì)量塊(concentrate mass)時,由式(50)可得其振動微分方程。

式中,M′為集中質(zhì)量塊的質(zhì)量;(s,k)為集中質(zhì)量塊在xy平面上的位置。

若不考慮剪切變形的影響,則其最大應(yīng)變能

若不考慮轉(zhuǎn)動慣量的影響,則其最大動能

綜合式(46)～式(49),可以得到帶單一質(zhì)量塊薄板的固有頻率。

式中,ωS為帶單一質(zhì)量塊薄板的固有頻率。

當(dāng)考慮質(zhì)量塊分布面積時,其自由振動微分方程可表述為如下形式。

式中,mρ為質(zhì)量塊單位面積的質(zhì)量;A為質(zhì)量塊質(zhì)量的分布面積。

由式(50)和式(51),可得考慮質(zhì)量塊分布時的薄板固有頻率。

根據(jù)式(56),集中質(zhì)量塊的質(zhì)量、在薄板上的位置、質(zhì)量塊數(shù)量和分布面積,對薄板振動頻率和振型均有影響。

在不同的邊界條件下,均勻薄板各點位移的表達(dá)式w(x,y,t)也不同,若知道任意邊界條件的均勻薄板的模態(tài)函數(shù),就可求得相應(yīng)邊界條件下帶附加集中質(zhì)量薄板的固有頻率及對應(yīng)振型。

3.3.2 集中質(zhì)量塊對振動模態(tài)的影響

由文獻(xiàn)[82]的研究得知,相對于其他影響因素,質(zhì)量塊在薄板上的位置和質(zhì)量(相同體積下表現(xiàn)為材料)對薄板振動特性的影響更為顯著,故本文考慮這兩個影響因素。

為便于說明,設(shè)薄板的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)見表5。采用solid95單元類型進(jìn)行有限元建模,邊界條件為一邊為固支邊,其余三邊為自由邊。

表5 薄板材料參數(shù)表Tab.5 Material parameters of thin plate

(1)質(zhì)量塊位置對薄板特性的影響 為了研究質(zhì)量塊在薄板上的不同位置對頻率的影響規(guī)律,質(zhì)量塊的位置采用比值坐標(biāo)形式表示。

設(shè)質(zhì)量塊的長、寬、高相等,即a′=b′=h′=6 mm。質(zhì)量塊的材質(zhì)與薄板相同。質(zhì)量塊的位置比值坐標(biāo)分別為(1,1),(1,2),…,(5,5),共25種情況(見圖7)。

考慮到對稱性,分別計算質(zhì)量塊比值坐標(biāo)為(x,y)(x=1,2,…,5;y=1,2,3)時的各階固有頻率(見圖8)。由圖8出發(fā),可以得到以下判讀。

【判讀1】 在圖8(a)中,固有頻率變化折線隨著集中質(zhì)量塊位置沿x軸變化呈現(xiàn)非線性變化,影響逐步增大;沿y軸的變化不明顯,變化幅度更為平均,更接近于線性變化(不考慮邊界點)。

【判讀2】 在圖8(b)中,固有頻率變化折線呈現(xiàn)出周期性變化;隨著集中質(zhì)量塊位置沿x軸移動呈下降趨勢,沿y軸移動呈上升趨勢。

【判讀3】 在圖8(c)中,固有頻率變化折線在集中質(zhì)量塊位置在x=2和x=3時的影響較為顯著。

圖7 薄板的比值坐標(biāo)系Fig.7 Ratio coordinate chart of thin plate

圖8 集中質(zhì)量塊位置對固有頻率的影響Fig.8 Effect of the position of concentrated mass on natural frequency

【判讀4】 在圖8(d)中,固有頻率變化折線在集中質(zhì)量塊位置在x=2和x=3處波動較大。

由此,可以得到如下結(jié)論。

【結(jié)論1】 附加集中質(zhì)量塊后,在絕大部分位置上薄板的固有頻率降低,僅有個別位置上薄板的固有頻率略有升高,起到了增強(qiáng)剛度的作用。

【結(jié)論2】 集中質(zhì)量塊的位置與薄板某一階振型中的節(jié)線位置距離越遠(yuǎn),對薄板的該階固有頻率影響越大,即敏感性越強(qiáng)。

這也可以由未加質(zhì)量塊時懸臂薄板的前四階振型(見圖9)得知。

圖9 薄板的前4階振型Fig.9 Plate vibration in the first four orders

(2)質(zhì)量塊材料對彈性薄板特性的影響 當(dāng)將質(zhì)量塊置于比值坐標(biāo)(3,1)時,對薄板的前4階固有頻率的影響均較為顯著,因此,在分析質(zhì)量塊材料對彈性薄板固有特性影響時,質(zhì)量塊的坐標(biāo)位置選為(3,1),質(zhì)量塊幾何尺寸為a′=b′=h′=6 mm,彈性薄板材料為鈦合金,質(zhì)量塊選普通鋼、鋁鎂合金和鈦合金等3種材料(材料參數(shù)見表6)。

表6 質(zhì)量塊材料參數(shù)Tab.6 Three material parameters of concentrated mass

圖10為質(zhì)量塊材料與彈性薄板材料不同時前十階固有頻率差值。橫坐標(biāo)為不同階次,縱坐標(biāo)為頻率差值。

圖10 質(zhì)量塊材料對固有頻率的影響Fig.10 The effect of mass material on natural frequency

由圖9出發(fā),可以得到以下判讀。

【判讀5】 當(dāng)質(zhì)量塊材料為比鈦合金密度大的普通鋼時,質(zhì)量塊使彈性薄板的固有頻率增大,各階固有頻率的增大量不是線性的,這與質(zhì)量塊所在彈性薄板上的位置、各階固有頻率對應(yīng)的振型以及邊界條件均有關(guān)系;

【判讀6】 當(dāng)質(zhì)量塊材料為比鈦合金密度小的鋁合金時,質(zhì)量塊使彈性薄板的固有頻率降低,其對各階固有頻率的影響規(guī)律同前者。

綜合質(zhì)量塊在彈性薄板上的位置以及材料對薄板頻率的影響規(guī)律,可得出如下結(jié)論。

【結(jié)論3】 用集中質(zhì)量塊可調(diào)整結(jié)構(gòu)的固有頻率,且應(yīng)將質(zhì)量塊置于振型中心,同時質(zhì)量塊的材料對其也有加大影響。

【結(jié)論4】 在調(diào)整不同階次下的固有頻率時,由于有時振動會出現(xiàn)多個峰值的現(xiàn)象,只將質(zhì)量塊放置于一個波峰處時,對固有頻率的改變量小于將質(zhì)量塊分散到所有峰值點時的固有頻率改變量。這一點對于高階模態(tài)的調(diào)整更有效。

因此,在進(jìn)行彈性薄板的動力學(xué)相似試驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計時,可依據(jù)以上結(jié)論,根據(jù)試驗內(nèi)容可在保證模態(tài)振型與原型一致的條件下,有目的的進(jìn)行固有頻率調(diào)節(jié);也可根據(jù)需要調(diào)整振型,實現(xiàn)人為控制相似模型試驗的主要影響因素,使試驗更有針對性。

3.4 彈性薄板類結(jié)構(gòu)動力學(xué)相似設(shè)計方法實例

由彈性薄板集中質(zhì)量的分析可知,通過調(diào)整薄板表面集中質(zhì)量的施加方式可以對薄板固有頻率進(jìn)行調(diào)節(jié),通常由于測試條件的限制,需要在模型設(shè)計時降低相應(yīng)的固有頻率,并能夠避免共振頻率,通過相似設(shè)計方法與對質(zhì)量塊影響的分析,采用彈性薄板實例對設(shè)計方法進(jìn)行論述。

3.4.1 降低固有頻率的相似設(shè)計方法

在工程應(yīng)用中,薄板類結(jié)構(gòu)件極為常見。設(shè)計時,因需滿足不同的設(shè)計要求,需對原有結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)?shù)南嗨圃O(shè)計。根據(jù)薄板相似設(shè)計方法,提出彈性薄板類結(jié)構(gòu)件(見圖11)相似設(shè)計設(shè)計實例。

圖11 薄板類結(jié)構(gòu)件Fig.11 Schematic diagram of thin plate member

原型構(gòu)件的材料和幾何參數(shù)見表7。

表7 原型構(gòu)件的相關(guān)參數(shù)Tab.7 Parameters of prototype structure

為了實現(xiàn)對其固有特性的預(yù)測,可將邊界條件簡化為四邊固支。利用有限元分析軟件,得到其各階固有頻率及陣型圖(見表8)

表8 各階固有頻率及振型Tab.8 Natural frequencies and vibration models of each order

【任務(wù)要求】 降低上述結(jié)構(gòu)件的各階固有頻率,使之為原固有頻率的50%。

【方案1 采用同一種材料】 當(dāng)采用同一種材料時,構(gòu)件的材料參數(shù)不發(fā)生變化,即材料參數(shù)的相似縮比系數(shù)為1,只考慮幾何參數(shù)的影響。

根據(jù)薄板相似縮比關(guān)系

可知,在完全幾何相似條件下,固有頻率降低為原固有頻率的50%,需將幾何尺寸擴(kuò)大為原來的2倍。相似模型m1的相關(guān)參數(shù)見表9。

表9 相似模型M1的相關(guān)參數(shù)Tab.9 Parameters of model M1

利用有限元分析軟件,得到其各階固有頻率及振型圖(見表10)。

表10 相似模型M1的各階固有頻率及振型Tab.10 Natural frequencies and vibration models of model M1

根據(jù)以上仿真結(jié)果可知,所得到的模型M1的所有固有特性均滿足設(shè)計要求。

【方案2 采用不同種材料】 當(dāng)采用材料不同時,構(gòu)件的材料參數(shù)將會發(fā)生變化,這導(dǎo)致材料參數(shù)的相似縮比系數(shù)和幾何參數(shù)的影響需均衡考慮,故而需要首先確定模型M2的材料參數(shù)。假設(shè)將原型材料由45 #鋼板改為鈦合金板,其材料參數(shù)見表11。

表11 原型構(gòu)件的各項參數(shù)Tab.11 Parameters of prototype

根據(jù)薄板相似縮比關(guān)系式

可知,須先計算系數(shù)值。

在完全幾何相似的條件下,固有頻率降為原來的50%,需將幾何尺寸擴(kuò)大為原來的1.886倍,相似模型M2的相關(guān)參數(shù)見表12。

表12 相似模型M2的相關(guān)參數(shù)Tab.12 Parameters of model M2

利用有限元分析軟件,得到其各階固有頻率及振型圖(見表13)。根據(jù)仿真結(jié)果可知,所得到的模型M2的所有固有特性均滿足設(shè)計要求。

表13 相似模型M2的各階固有頻率及振型Tab.13 Natural frequencies and vibration models of model M2

續(xù)表

通過以上實例可以發(fā)現(xiàn),依據(jù)動力學(xué)相似進(jìn)行相似設(shè)計,在保證振型一致的前提下調(diào)整了頻率,很好地滿足了需要。

3.4.2 基于集中質(zhì)量塊的模型模態(tài)調(diào)節(jié)方法應(yīng)用驗證

在某類葉片振動特性試驗中,相似縮尺寸模型的參數(shù)見表14,試驗激勵是頻率為3 000 Hz的法向激勵[83]。未加質(zhì)量塊前,模型的第2、第3和第4階固有頻率及相應(yīng)的振型分別見表10和表13。其中,模型的第3階固有頻率為2 889.8 Hz,故在試驗過程中,激振力極易引起共振,這是本試驗不允許的,故而需采用附加集中質(zhì)量塊調(diào)頻方法進(jìn)行調(diào)整。

表14 某葉片縮尺模型參數(shù)Tab.14 Parameters of one scale-down blade model

由表15和表16可知,附加質(zhì)量塊可調(diào)整固有頻率,但也可能使模態(tài)次序發(fā)生較大變化。而本試驗要求使第3階固有頻率偏離3 000 Hz的同時,要保證第2階,第4階的頻率沒有較大變化,且不能改變結(jié)構(gòu)的模態(tài)次序?；诖?從以上得出的質(zhì)量塊參數(shù)對薄板固有頻率的影響規(guī)律可知,加兩個質(zhì)量塊,并且選擇質(zhì)量塊的質(zhì)量與葉片的質(zhì)量比為0.1。質(zhì)量塊應(yīng)該盡可能放置于第3階模態(tài)的波峰處,放置于第2、第4階模態(tài)的波節(jié)處,質(zhì)量塊分布方法見圖12,附加質(zhì)量塊后的固有頻率和振型見表15和表16。

由表15知,加質(zhì)量塊后葉片的第3階固有頻率已偏離激振力的頻段,比原來降低了約12.21%,而對相鄰第2階和第4階的固有頻率值的影響甚小,分別為0.08%和0.56%,并且各階模態(tài)振型沒有被改變,滿足試驗要求。

表15 加集中質(zhì)量塊前后模型的固有頻率Tab.15 Natural frequencies of model before and after adding concentrated mass

表16 加集中質(zhì)量塊前后模型的振型Tab.16 Vibration model of model before and after adding concentrated mass

圖12 各階振型簡圖及質(zhì)量塊位置Fig.12 Diagram of vibration model and the position of mass

4 彈性薄板動力學(xué)不完全幾何相似設(shè)計方法與驗證

在動力學(xué)相似設(shè)計中,往往需要考慮不完全幾何相似模型的設(shè)計問題。筆者在完全幾何相似設(shè)計方法的基礎(chǔ)上,通過敏感性分析和區(qū)間分析,討論彈性薄板動力學(xué)不完全幾何相似模型設(shè)計方法。

4.1 彈性薄板固有特性敏感性分析

【定義17 不完全幾何相似(incomplete geometric similarity)】 結(jié)構(gòu)體幾何特征尺寸相似比不相等的相似現(xiàn)象,亦稱幾何畸變相似(distorted geometric similarity)。

模型和原型對應(yīng)參數(shù)間的相似關(guān)系和相似條件,對模型設(shè)計有著嚴(yán)格要求,特別是對于變量較多的原型系統(tǒng),從某種意義上講,相似關(guān)系和相似條件限制了模型的設(shè)計。

為了解決上述問題,可以采用敏感性分析方法(sensitivity analysis method),在眾多特征參數(shù)中,找到對于振動特性起主要作用的特征參數(shù),忽略次要參數(shù)。

特征敏感性(characteristic sensitivity)[84]是根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征參數(shù)(特征值λ和特征矢量φ)對結(jié)構(gòu)參數(shù)p的改變率,定義特征值敏感性?λ/?p和特征矢量敏感性?φ/?p。

敏感性分析物理概念明確,可用直接求導(dǎo)法(direct derivation)推導(dǎo)(見圖13)。

圖13 基于敏感性分析建立相似關(guān)系流程Fig.13 Flow chart of establishing scaling laws based on sensitivity analysis

幾何參數(shù)和材料參數(shù)對于彈性薄板固有特性的影響,可使用理論分析法(theoretical analysis method)和數(shù)值分析法(numerical analysis method),對固有特性敏感性進(jìn)行分析對比,突出主要因素,忽略次要因素,擴(kuò)大彈性薄板材料的選擇范圍,降低加工難度和精度要求,提高實驗可行性。

4.1.1 基于理論分析法的敏感性分析

結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的運動方程可以表述為如下形式。

式中,M為質(zhì)量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;w0為位移。

若方程的解可以表述為如下形式

式中,λj為方程特征值;φj為特征函數(shù);t為時間。

則可將式(61)代入式(60),得到如下結(jié)果。

另有

聯(lián)立式(63)和式(62),可得如下結(jié)果。

式(64)可簡寫為如下形式。

式(62)對結(jié)構(gòu)參數(shù)p求導(dǎo),可以得到如下結(jié)果。

由正交條件,可知

即

求導(dǎo)后,可得如下結(jié)果。

聯(lián)立式(69)和式(70),可得如下結(jié)果。

式(71)可以簡寫為如下形式。

從而得到如下結(jié)果。

如果特征值λ是m次重根,對應(yīng)m個振型,結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化時,振型的變化要對應(yīng)與m個不同的模態(tài),否則振型就會發(fā)生跳躍。

基于文獻(xiàn)[87],振動結(jié)構(gòu)的運動方程可表現(xiàn)為如下形式。

式中,Φm為特征值λm的特征向量矩陣;Im為單位矩陣。在重特征值情況下

對Φm進(jìn)行正交變換

式中,T為正交變換矩陣。

式(76)可以變換為如下形式。

對p進(jìn)行求導(dǎo),可得

式(78)左右兩邊同乘以ΦTm,并將式(76)代入,可得

將式(75)兩端對參數(shù)p求導(dǎo),可得

式(81)可簡寫為如下形式。

故而

4.1.2 基于理論分析法的敏感性分析算例

利用敏感性分析的理論表達(dá)式對彈性薄板特征參數(shù)進(jìn)行分析,以指導(dǎo)不完全相似模型的設(shè)計。

【任務(wù)要求】 通過矩形彈性薄板實例,對其長度,寬度,厚度及泊松比的敏感性,運用基于理論分析法的敏感性分析進(jìn)行分析。

在無阻尼的情況下,即阻尼比矩陣C=0,對于懸臂矩形板,運用MATLAB編制程序,進(jìn)行敏感性分析。使用平面矩形單元和矩形彎曲單元組成的復(fù)合單元建立了彈性薄板的有限元模型(見圖14),共有100個單元,每個單元有5個自由度(沿x方向的位移u,沿y方向的位移v,沿z方向的位移w,以及繞x軸的轉(zhuǎn)角θx,繞y軸的轉(zhuǎn)角θy),共有605個自由度。

圖14 彈性懸臂薄板的有限元模型Fig.14 Finite element model of elastic cantilever thin plate

彈性薄板的幾何參數(shù)和材料參數(shù)見表17,邊界條件為一端固定一端自由。分別分析特征值對幾何參數(shù)和泊松比的敏感性。

表17 彈性薄板的材料及尺寸參數(shù)Tab.17 Material and size parameters of thin plate

表18給出了彈性薄板固有頻率的MATLAB計算值和ANSYS計算值。分析表明,二者相差很少,說明在求解固有頻率的問題上,程序是完全正確的。

表18 懸臂板的固有頻率Tab.18 The natural frequency of cantilever plate

根據(jù)式(73)與式(83)對薄板敏感性進(jìn)行計算,得出了前六階固有頻率對厚度、長度、寬度、泊松比的敏感性(見表19)。

表19 結(jié)構(gòu)參數(shù)對模態(tài)固有頻率的敏感性Tab.19 The sensitivity of structural parameters to the modal natural frequency

從表19中可以進(jìn)行如下判讀。

【判讀7】 彈性薄板的固有頻率對厚度的變化最敏感,隨著厚度的增加固有頻率逐漸增加,且隨著階次的提高,數(shù)值的增幅變大。

【判讀8】 彈性薄板的固有頻率對泊松比的變化最不敏感。

【判讀9】 在彎曲和扭轉(zhuǎn)振動時,固有頻率對長度的敏感性要高于對寬度的敏感性,隨著這兩個參數(shù)的增加,固有頻率減小,減小的幅度隨著階次的增加而逐漸變大。

【判讀10】 在弦向振動時,固有頻率對寬度的敏感性要高于對長度的敏感性。

主振型對幾何參數(shù)和物理參數(shù)的敏感性,可以用一個多維向量表示,但維數(shù)太高往往無法表示,例如,圖15中的敏感性向量高達(dá)605維,不易表示。

為了清楚地表示出主振型,可以在振型向量前乘以一個很大的系數(shù)。由此思路出發(fā),提出了前六階主振型對長度的敏感性曲面(見圖15)。

0主振型對厚度的敏感性Fig.15 Sensitivity of main modes to thickness

對比薄板振型與敏感性曲面,二者的圖像完全相同。可知彈性薄板上某一點振幅對幾何參數(shù)的敏感性與其相對位移有關(guān),相對位移越大敏感性越高,這與文獻(xiàn)[88]的結(jié)論相符。

4.1.3 基于數(shù)理統(tǒng)計的敏感性分析

敏感性分析除采用理論分析法外,還可采用統(tǒng)計方法。

【假定4】 輸入?yún)?shù)是具有真實分布的隨機(jī)變量,將按參數(shù)的每一個取值進(jìn)行一次模擬計算,在足夠多的模擬后,綜合考慮輸入?yún)?shù)的變化對結(jié)果的影響。

文獻(xiàn)[89]介紹了ANSYS的PDS(Probabilistic Design System,概率設(shè)計系統(tǒng))模塊的基本原理。

【定義18】 有樣本x1,x2,…,xn,將樣本單元從小到大排列成x(1),x(2),…,x(n)。若xi=x(Ri),則稱xi(i=1,2,…,n)在樣本x1,x2,…,xn中的秩為Ri,Ri=1,2,…,n。

由“定義18”出發(fā),可以看出,xi的秩Ri即為xi在整個樣本序列中按從小到大順序排列的位次號。

【定義19】 若有數(shù)據(jù)對{x1,y1}T,{x2,y2}T,…,{xn,yn}T,則yi(i=1,2,…,n)在樣本y1,y2,…,yn中的秩為Qi,Qi=1,2,…,n。

【定義21】 Spearman秩相關(guān)系數(shù)

Spearman秩相關(guān)系數(shù)檢驗法是非參數(shù)統(tǒng)計中用來檢驗變量之間相關(guān)程度的重要方法,其秩相關(guān)系數(shù)取值范圍為[-1,1],有以下特征。

【特征1】 當(dāng)兩變量之間存在單調(diào)遞增關(guān)系時,相關(guān)系數(shù)為正(+1.00表示完全正相關(guān))。

【特征2】 當(dāng)兩變量之間存在單調(diào)遞減關(guān)系時,相關(guān)系數(shù)為負(fù)(-1.00表示完全負(fù)相關(guān))。

【特征3】 當(dāng)兩變量之間沒有關(guān)系時,相關(guān)系數(shù)為0。

【特征4】 相關(guān)系數(shù)絕對值越大,表明兩變量的相關(guān)性越大。

ANSYS的PDS設(shè)計模塊分析中,分析輸入?yún)?shù)的不確定性對于系統(tǒng)輸出的變量的影響程度的常用概率分析方法有蒙特卡羅法(Monte Carlo method)和響應(yīng)面法(response surface method),關(guān)于它們的詳細(xì)介紹可參考文獻(xiàn)[90-92]。ANSYS敏感性表示方法采用Spearman秩相關(guān)系數(shù)。

4.1.4 基于數(shù)理統(tǒng)計的敏感性分析算例

利用敏感性分析的統(tǒng)計分析方法,可以對彈性薄板特征參數(shù)進(jìn)行分析,指導(dǎo)不完全相似模型的設(shè)計?！救蝿?wù)要求】 對圖11所示矩形板,對其長度,寬度,厚度及泊松比的敏感性,運用統(tǒng)計方法進(jìn)行分析。

彈性薄板的支承方式為懸臂形式,長度a服從均勻分布U(105 mm,155 mm),寬度b服從均勻分布U(90 mm,130 mm),厚度h服從均勻分布U(0.5 mm,2.5 mm),泊松比服從均勻分布U(0.2,0.3),討論以上參數(shù)對前六階模態(tài)的影響,取樣次數(shù)為10 000次。

由ANSYS的PDS設(shè)計模塊分析,圖16中的4個圖像清楚地表示厚度h,長度a,寬度b,泊松比μ的抽樣分布情況,均接近均勻分布,表明抽樣次數(shù)足夠多,抽樣試驗是有效的。

圖16 結(jié)構(gòu)參數(shù)的抽樣柱狀圖Fig.16 Sampling histogram of structural parameters

表20列出了前6階固有頻率的敏感性,可以看出固有頻率隨著彈性薄板厚度h的增加而迅速增加,隨著長度a的增加而減少,隨著寬度b的增加而減少。在上述參數(shù)中,厚度h對固有頻率的影響最大,泊松比μ的影響最小,跟其他變量相比差一個數(shù)量級,可以忽略不計,寬度a和長度b對固有頻率均有不同程度影響,在設(shè)計模型時需要考慮它們的影響。

表20 固有頻率對結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性Tab.20 The sensitivity of structural parameters to the modal natural frequency

針對彈性薄板的固有頻率和主振型對幾何參數(shù)和材料參數(shù)的敏感性進(jìn)行分析對比,可以發(fā)現(xiàn):

【判讀11】 固有頻率均隨著厚度h的增加而迅速增加,隨著長度a的增加而減少,隨著寬度b的增加而減少;厚度h的影響最大,泊松比μ的影響最小,長度a和寬度b的影響不可忽略。

【判讀12】 理論分析方法與統(tǒng)計分析方法的結(jié)果也存在不同點,數(shù)值分析各敏感性值并不是隨著參數(shù)的增加而迅速增加,這是由于Spearman秩相關(guān)系數(shù)是一個定性的比值,并不能如理論分析的那樣定量表示出在幾何參數(shù)發(fā)生變化時,明確地表示固有頻率的變化量。

【判讀13】 在分析固有頻率對泊松比的敏感性時,出現(xiàn)的不一致,是由于數(shù)值很小,數(shù)值分析誤差造成的。

從理論分析和數(shù)值分析出發(fā),通過分析固有頻率和主振型對幾何參數(shù)和材料參數(shù)的敏感性,并進(jìn)行對比,可以得出以下結(jié)論。

【結(jié)論5】 彈性薄板固有頻率對厚度的變化最為敏感,隨著薄板厚度的增加固有頻率逐漸增加,且隨著階次提高,數(shù)值的增幅也增加;而對泊松比的變化最不敏感。

【結(jié)論6】 彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動對長度的敏感性要高于對于寬度的敏感性,隨著這兩個參數(shù)的增加,固有頻率減小,減小幅度隨著階次的增加而逐漸變大。

【結(jié)論7】 在弦向振動時,對于寬度的敏感性要高于對于長度的敏感性。厚度的影響最大,泊松比的影響非常小,可以忽略不計,長度和寬度的影響較小,但是不可忽略。

【結(jié)論8】 彈性薄板的振型中某一點的振幅對于幾何參數(shù)的敏感性與其相對位移有關(guān),相對位移越大敏感性越高,每階敏感性曲面與其主振型是相同的。

【結(jié)論9】 泊松比對于預(yù)測的精度相比其他的參數(shù)非常小,進(jìn)一步驗證了泊松比具有自相似性。

【結(jié)論10】 彈性模量和密度等參量已在相關(guān)數(shù)學(xué)模型算式中得到反映,材料并不是影響振動相似的因素,而幾何相似是影響動力學(xué)相似的條件。

由上述結(jié)論可得以下相似規(guī)則。

【相似規(guī)則4】 在模型的設(shè)計和制造過程中,應(yīng)控制厚度的制造誤差,保證其加工精度,針對不同的模態(tài),對寬度和長度進(jìn)行取舍。

4.2 畸變修正基本理論

在實際模型設(shè)計時,常常會因為一些物理量滿足不了相似關(guān)系要求而產(chǎn)生畸變。為了利用畸變模型(distorted model)的試驗結(jié)果預(yù)測原型特性,往往需要進(jìn)行修正。

4.2.1 畸變修正

畸變的存在對于預(yù)測原型的動力學(xué)特性會產(chǎn)生很重要的影響,因此,畸變修正顯得非常重要。

【定義22 基準(zhǔn)模型(basic model)】 以主導(dǎo)參數(shù)(如重要幾何參數(shù))的縮比為相似關(guān)系,建立的與原型完全幾何相似的模型。

【任務(wù)要求】 以彈性薄板模型與原型的長度縮比為相似關(guān)系,建立基準(zhǔn)模型;以基準(zhǔn)模型為媒介,再進(jìn)行基準(zhǔn)模型和實際模型畸變分析,最終獲得畸變模型和原型之間的畸變系數(shù)和預(yù)測系數(shù)的函數(shù)關(guān)系。以預(yù)測彈性薄板的固有頻率為例,具體步驟如下。

【step 1】 定義畸變模型和原型的固有頻率畸變系數(shù)。

式中,δj為畸變模型與原型的固有頻率畸變系數(shù);ωim為模型板第i階固有頻率;ωip為原型板第i階固有頻率;j為模態(tài)階次。

【step 2】 對幾何尺寸進(jìn)行歸一化處理。

式(85)可以簡寫為如下形式。

式中,xm為模型的長厚比;xp為原型的長厚比;yhm為模型的寬厚比;yhp為原型的寬厚比;g,r,l和k為系數(shù)。

【step 3】 采用數(shù)值仿真通過多項式擬合得到系數(shù)g,r,l和k,計算固有頻率相似比。

根據(jù)以上論述,可以建構(gòu)畸變修正基本流程框架(見圖17)。

圖17 原型與模型關(guān)系Fig.17 Relationship between prototype and models

4.2.2 算例

【任務(wù)要求】 利用數(shù)值分析方法分析基準(zhǔn)模型與畸變模型的頻率變化關(guān)系,建立頻率變化方程,對原型固有頻率進(jìn)行預(yù)測。

【設(shè)定】 彈性薄板畸變模型,其薄板厚度均為2 mm,彈性模量為212 GPa,泊松比為0.3,密度為7 870 kg/m3;其長厚比x-和寬厚比y-在20～100范圍內(nèi)變化。

為了簡化說明圖17的應(yīng)用方法,選取4種常見模態(tài)進(jìn)行分析。利用ANSYS仿真分析分別計算不同x-,y-時的薄板固有頻率值,通過二元多項式擬合得到4種模態(tài)多項式形式的表達(dá)式。

【模態(tài)1】 對于一階彎曲振動固有頻率ωB1。

其擬合曲面見圖18。

圖18 不同長厚比和寬厚比時,一階彎曲振動的固有頻率擬合曲面Fig.18 Natural frequency fitting surface of the first order bending vibration with different slenderness ratio and width-to-thickness ratio

【模態(tài)2】 對于二階彎曲振動固有頻率ωB2。

其擬合曲面見圖19。

圖19 不同長厚比和寬厚比時,二階彎曲振動的固有頻率擬合曲面Fig.19 Natural frequency fitting sur face of second-order bending vibration with different slenderness ratio and width-to-thickness ratio

【模態(tài)3】 對于一階扭轉(zhuǎn)振動固有頻率ωT1。

其擬合曲面見圖20。

圖20 不同長厚比和寬厚比下,一階扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率擬合曲面Fig.20 Natural frequency fitting surface of first-order torsional vibration with different slenderness ratio and width-to-thickness ratio

【模態(tài)4】 對于二階扭轉(zhuǎn)振動固有頻率ωT2。

其擬合曲面見圖21。

圖21 不同長厚比和寬厚比下,二階扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率擬合曲面Fig.21 Natural frequency fitting surface of second-order torsional vibration with different slenderness ratio and width-to-thickness ratio

由式(49)可知,與原型完全相似的基準(zhǔn)模型和原型固有頻率有如下關(guān)系。

式中,ω0p為與原型完全相似的基準(zhǔn)模型的固有頻率;ωp為原型的固有頻率;h0p為與原型完全相似的基準(zhǔn)模型的厚度;hp為原型的厚度;E0p為與原型完全相似的基準(zhǔn)模型的彈性模量;Ep為原型的彈性模量;ρ0p為與原型完全相似的基準(zhǔn)模型的密度;ρp為原型的密度。

與畸變模型完全相似的基準(zhǔn)模型和畸變模型的固有頻率有如下關(guān)系。

式中,ω0m為與畸變模型完全相似的基準(zhǔn)模型的固有頻率;ωjm為畸變模型的固有頻率。

將式(91)和式(92)左右兩端相除,某一模態(tài)的固有頻率畸變系數(shù)可寫為如下形式。

式中,j為模態(tài)階次。

至此,已經(jīng)完全建立起δj與xm,xp,ym,yp的關(guān)系,只要知道畸變模型和原型的寬厚比、長厚比和材料參數(shù),就可以通過式(93)求出對應(yīng)的預(yù)測系數(shù)δj,實現(xiàn)對原型的模態(tài)預(yù)測。

4.3 彈性薄板幾何適用區(qū)間的確定方法

4.3.1 薄板畸變修正的范圍區(qū)間的確定

在實際操作中滿足所有的相似條件,是十分困難的甚至是不可能的,局部相似畸變模型顯得更為實用。通過量綱分析法可求得全部的相似判據(jù),在這些相似判據(jù)中,有些可以通過實驗條件滿足,有些則不能夠滿足,將這些不能滿足實驗條件的相似判據(jù)用其他能夠滿足實驗條件的數(shù)值代替——不完全相似,就會造成相似關(guān)系的缺失,進(jìn)而導(dǎo)致模型畸變。對于畸變的模型,為了使其能夠滿足預(yù)期的固有特性,必須對其進(jìn)行畸變修正。有些時候由于畸變程度不大,可以使其與原型很好的相吻合;有些時候則可能超出預(yù)設(shè)的修正范圍。為此,畸變修正區(qū)間的確定顯得尤為重要。

筆者以四周簡支的彈性薄板為例,對畸變模型的理論依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo),探討不同情況下的修正區(qū)間問題,以驗證理論模型的正確性。

對于四周簡支的薄板,施加面勻布載荷q(見圖22)。

圖22 各向同性彈性薄板Fig.22 The isotropic thin

由薄板小撓度彎曲理論可知

x=0與x=a處邊界條件如下。

y=0與y=a處邊界條件如下。

若存在以下的相似比關(guān)系。

式中,λv為相似關(guān)系,v為各物理量的符號,如v=a,b,E,等等。考慮原型與模型材料相同,有λE=1。由相似原理可得

令式(98)的前3個表達(dá)式分別與第4表達(dá)式相等,可得

在完全相似模型中,λx=λy,式(99b)、式(99c)和式(99d)等3個表達(dá)式是等價的,但如果因為實驗條件導(dǎo)致不能滿足λx=λy,則這3個表達(dá)式不等價。對于不同的畸變模型,需要找出究竟哪個相似關(guān)系能夠準(zhǔn)確預(yù)測原型的行為。

保證λE=λμ=λq=1,令λy=Cλx,C＞0,式(99a),式(99b)和式(99c)可寫為如下形式。

以具體實例,探討式(99b),式(99c)和式(99d)的適用性。

給定用于驗證上述理論所應(yīng)用的彈性薄板原型(見表21)及模型的尺寸參數(shù)(見表22)。

表21 3種原型薄板的尺寸參數(shù)Tab.21 size parameters of three prototype thin plates

表22 相應(yīng)模型薄板的尺寸參數(shù)Tab.22 size parameters of model thin plates

根據(jù)薄板小撓度彎曲理論,薄板受面勻布載荷撓度模型見下式。薄板撓度理論值與實驗值見圖23。

式中,q0為勻布載荷。

圖23 完全相似(C=1)時,板撓度理論值與實驗值Fig.23 The predicted and theoretical deflection of plate when complete similarity is C=1

圖24 以式(99c)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值＞1,C=0.01Fig.24 The predicted and theoretical deflection of plate based on Eq(99c),＞1,C=0.01

圖25 以式(99c)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,＞1,C=0.1pFig.25 The predicted and theoretical deflection of plate based on Eq(99c),＞1,C=0.1

圖26 以式(99c)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,＞1,C=1.5Fig.26 The predicted and theoretical deflection of plate based on Eq(99c),＞1,C=1.5p

圖27 以式(99a)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,＞1,C=2Fig.27 The predicted and theoretical deflection of plate based on Eq(99a)＞1,C=2

圖28 以式(99b)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,＞1,C=2Fig.28 The predicted and theoretical deflection of plate based on Eq(99b)＞1,C=2

由圖24～圖28可知,在“情況1”時,C越大,式(85c)的預(yù)測值越好;當(dāng)C→0.01時,式(100c)的預(yù)測不準(zhǔn)確;在“情況1”下,式(100a)和式(100b)都不適用。

圖29 以式(99c)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,=1,C=0.1Fig.29 The predicted and theoretical deflection of plate based on Eq(99c),=1,C=0.1

圖30 以式(99c)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值=1,C=1.1Fig.30 The predicted and theoretical deflection of plate based on Eq(99c),=1,C=1.1

圖31 以式(99b)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,=1,C=1.1Fig.31 The predicted and theoretical deflection of plate based on Eq(99b)=1,C=1.1

圖32 以式(99b)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,＜1,C=2Fig.32 The predicted and theoretical deflection of plate,Eq(99b),＜1,C=2

圖33 以式(99a)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值＜1,C=0.75Fig.33 The predicted and theoretical deflection of plate,Eq(99a),＜1,C=0.75

圖34 以式(99c)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,＜1,C=0.75Fig.34 The predicted and theoretical deflection of plate,Eq(99c),＜1,C=0.75

圖35 以式(99a)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值,＜1,C=4Fig.35 The predicted and theoretical deflection of plate,Eq(99a),＜1,C=4

圖36 以式(99c)為判據(jù)的理論值與模型預(yù)測值＜1,C=4Fig.36 The predicted and theoretical deflection of plate,Eq(99c),＜1,C=4

在“情況3”下,式(100b)給出了很好的預(yù)測值,而式(100c)和式(100a)則不再適用。

【結(jié)論11】 當(dāng)薄板的幾何尺寸發(fā)生變化后,應(yīng)該根據(jù)具體的畸變形狀,來確定所選取的相似判據(jù)。當(dāng)薄板形狀為矩形時,C越大,式(100c)的預(yù)測值越好,但C→0.01時,式(100d)的預(yù)測不準(zhǔn)確,在“情況1”時,式(100c)和式(100b)都不適用。

【結(jié)論12】 當(dāng)薄板形狀為正方形時,當(dāng)模型的長寬比為0.83＜＜1.2時,式(100b)和式(100a)均有良好的預(yù)測效果,但當(dāng)C→10C→10或C→0.01時,3個判別式的預(yù)測都不準(zhǔn)確。

【結(jié)論13】 當(dāng)薄板形狀為逆矩形時,式(100b)給出了很好的預(yù)測值,而式(100c)和式(100d)則不再適用。4.3.2 薄板動力畸變模型幾何適用區(qū)間的確定

對于彈性模量為E,泊松比為μ,長為a,寬為b,厚度為h的彈性薄板(見圖37)。

圖37 四邊簡支的薄板Fig.37 Plate simply supported on four sides

由Kirchhoff假設(shè)可知,薄板平衡方程如下。

設(shè)板上各點的振型函數(shù)為W(x,y),板撓度

式中,A、B為待定常數(shù);ω為固有頻率;t為時間。

將式(103)代入式(102),得到振型微分方程。

由對應(yīng)相似系數(shù)相等,可得

式中,λD為剛度相似比;λW為振型函數(shù)相似比;λa為長度相似比;λb為寬度相似比;λρ為密度相似比;λω為固有頻率相似比。

式中,λh為厚度相似比。

將式(106)代入式(105),可以得到四邊簡支彈性薄板固有頻率的完全相似關(guān)系。

對于不完全幾何相似模型,λa≠λb≠λh,則λω≠λ-1b,需要確立新的相似關(guān)系。設(shè)λa=Cλb,C為常數(shù),則相似關(guān)系

原型薄板的參數(shù)見表23。

表23 原型薄板主要參數(shù)Tab.23 Main parameters of prototype plate

為確定式(108a)～式(108c)各相似關(guān)系的幾何區(qū)間,按表23進(jìn)行分析,以判斷幾何區(qū)間的大致范圍,即明確C的大致取值范圍(假設(shè)模型材料與原型保持相同)。

經(jīng)過計算,得知原型板的一階固有頻率為17.369 Hz。現(xiàn)分別用5種模型板(見表24),分別通過式(108a)、式(108b)、式(108c)預(yù)測原型固有頻率,并計算預(yù)測誤差。一般地,若誤差η≤10%,則認(rèn)為該預(yù)測結(jié)果是可用的[11],其結(jié)果見表25。

表24 部分模型尺寸參數(shù)Tab.24 Size parameters of the model

表25 相似關(guān)系下得到的理論值、預(yù)測值及其誤差Tab.25 The theoretical value,predicted value and errors under each scaling laws

對比表25各組數(shù)據(jù),得知式(108b)具有較準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果,可作為彈性薄板固有頻率預(yù)測的不完全相似關(guān)系,同時可知在M2～M4之間存在幾何適用區(qū)間。

在材料和邊界條件相同的條件下,彈性薄板不完全相似的變量為長度a、寬度b和厚度為h。

四邊簡支彈性薄板的固有頻率

式中,ρ0為薄板密度;m*為板長方向的半波數(shù);n*為板寬方向的半波數(shù)。

由振型相同的模型與原型的關(guān)系,得到以下關(guān)系。

模型板頻率解可以表述為以下形式。

式(111)左右兩邊同乘以式(108b),得到固有頻率預(yù)測值

對于不完全幾何相似預(yù)測誤差

將式(111)和式(112)代入式(113),經(jīng)化簡可得

觀察式(114)可得到如下結(jié)論。

【結(jié)論14】 λh是獨立的,λh的選擇對幾何不完全相似關(guān)系預(yù)測誤差沒有影響。

【結(jié)論15】 影響不完全幾何相似預(yù)測誤差的是C=(λa/λb),λb對幾何不完全相似關(guān)系的固有頻率預(yù)測誤差沒有影響。

【結(jié)論16】 原型尺寸a、b的具體值對幾何不完全相似的幾何適用區(qū)間選取沒有影響,而影響其區(qū)間取值及各階振型形狀的是Γ=(a/b)。

由以上結(jié)論可知,分析四邊簡支彈性薄板的幾何適用區(qū)間,即為以式(108b)為相似關(guān)系,不同Γ值下的C的取值范圍。

(1)薄板畸變相似模型幾何適用區(qū)間的確定

選取a=Γb,b=10 m,h=0.5 m的原型板,若λb=λh=20,材料屬性與表23所給原型板相同。

分別選取C=[0.6,0.7,0.95,1.3,1.65,1.95],得到對應(yīng)的一階頻率預(yù)測值在MATLAB中對得到的6個離散預(yù)測值采用四階多項式進(jìn)行插值運算,得到擬合方程

以0.05為步長,選取更多的離散值對式(112)的適用性進(jìn)行驗證,得到擬合曲線(見圖38)。

圖38 四階多項式擬合結(jié)果驗證Fig.38 Verification of fourth-order polynomial fitting results

由圖38可知,在C∈[0.6,1.95]范圍內(nèi),式(115)具有準(zhǔn)確的擬合效果。

由η≤10%,將式(116)代入式(114),得到

在C∈[0.6,1.95]范圍內(nèi),解得Cmin=0.675,Cmax=1.646

(2)一階固有頻率幾何適用區(qū)間邊界函數(shù)的確定

利用上述方法分別計算Γ=[1,1.1,1.15,1.225]對應(yīng)的Cmin及Cmax值(見表26),其對應(yīng)的擬合曲線見圖39～圖42。取Γ的最大邊界值為1.225,是由于高階頻率預(yù)測振型控制區(qū)間的限制。

表26 不同Γ對應(yīng)區(qū)間邊界值表Tab.26 Interval boundary value with differentΓ

圖39 Γ=1.0擬合曲線Fig.39 Fitting curve ofΓ=1.0

圖40 Γ=1.1擬合曲線Fig.40 Fitting curve ofΓ=1.1

圖41 Γ=1.15擬合曲線Fig.41 Fitting curve ofΓ=1.15

圖42 Γ=1.225擬合曲線Fig.42 Fitting curve ofΓ=1.225

由Γ=1.05的邊界值和表26得到的結(jié)果,可知

對所得區(qū)間邊界值采用三階多項式進(jìn)行插值擬合,得到

式(118)和式(119)的函數(shù)圖像見圖43。

圖43 幾何適用區(qū)間邊界值圖像Fig.43 Boundary values of applicable geometric interval

圖43 中上下兩條曲線間的區(qū)域即為?！?1,1.225)范圍內(nèi)四邊簡支彈性薄板一階固有頻率的幾何適用區(qū)間。

(3)其他階次固有特性幾何區(qū)間邊界函數(shù)確定

由于幾何尺寸畸變會導(dǎo)致模型薄板振型跳躍,對于文中所述原型板,使其前j階具有相同振型的尺寸范圍?！?1,Γj],計算得到各階尺寸范圍(見表27)。

表27 各階尺寸范圍Tab.27 Size intervals of each order

由λb=Cλa,任意模型板的長寬比

在滿足模型板的高階固有頻率預(yù)測值精度的同時,還需要保證模型板與原型板振型相同,則模型尺寸選取應(yīng)滿足以下條件。

式中,j為固有頻率階數(shù)。

由式(120)和式(121)可知,高階固有頻率的畸變模型幾何適用區(qū)間如下。

根據(jù)實際需要,Γ范圍在選取時依據(jù)的原則不同,得到的各組尺寸范圍也有所不同,本文以前8階振型相同為原則選取振型控制區(qū)間,故有Γ8=1.225。

與一階固有頻率不同,彈性薄板高階固有頻率的振型會隨著C值的改變而發(fā)生變化,其Cjmin(Γ)和Cjmax(Γ)很難用低階多項式進(jìn)行擬合,考慮到最終的幾何適用區(qū)間邊界值是由高階頻率預(yù)測區(qū)間和振型控制區(qū)間相交得到的,故在應(yīng)用數(shù)值法進(jìn)行高階頻率幾何區(qū)間分析時,所選擇的模型板的C值均滿足C∈[Γ/Γj,Γ)。根據(jù)表28所列原型板參數(shù),求解第5階固有頻率的模型幾何適用區(qū)間。

表28 Γ離散點的區(qū)間邊界值Tab.28 Interval boundary values discreteΓ

整理表28所得數(shù)據(jù)

對所得區(qū)間邊界值采用三階多項式進(jìn)行插值擬合,得到

式(124)和式(125)的函數(shù)圖像見圖44。

圖44 5階固有頻率幾何適用區(qū)間邊界值圖像Fig.44 The 5th-order boundary values of applicable geometric intervals

以某一振型下四邊簡支彈性薄板為例,得到由式(118)和式(119),式(120)和式(121)定義的不同階次下幾何區(qū)間邊界值Cmin,Cmax。由此可以提出復(fù)合材料層合板相似模型幾何適用區(qū)間的確定方法流程(見圖45)。

圖45 幾何適用區(qū)間邊界值確定流程Fig.45 Flow chart of determination of applicable geometric intervals

4.4 數(shù)值驗證和試驗驗證

4.4.1 完全幾何相似關(guān)系的數(shù)值驗證

為了驗證相似關(guān)系的正確性,通過實例對所得關(guān)系式進(jìn)行驗證。所選薄板的原型幾何尺寸和材料參數(shù)見表29。

表29 薄板原型的幾何尺寸和材料參數(shù)Tab.29 Size and material parameters of prototype thin plate

對以上彈性薄板原型及模型進(jìn)行模態(tài)分析,計算結(jié)果見表30。

表30 彈性薄板各階模態(tài)的固有頻率Tab.30 Natural frequencies of elastic thin plate model in each order/Hz

表30結(jié)果表明,與根據(jù)量綱分析法所得到的比例系數(shù)方程求得的Cω的值一致,驗證了量綱分析和方程分析所得到的相似關(guān)系的正確性。

4.4.2 畸變模型相似關(guān)系的試驗驗證

為了驗證理論推導(dǎo)得到的相似關(guān)系,根據(jù)相似理論的要求,同時模擬加工的局限性,模型均發(fā)生畸變,厚度沒發(fā)生變化。試驗采用了不同尺寸的板(見表31)。

表31 懸臂板的尺寸Tab.31 Size of cantilever thin plate

原型板P、模型板M1和模型板M2的長寬比均為1.13,原型板P、模型板M1和模板M3的材料均為鈦合金,模型板M2的材料為625合金(見圖46)。

圖46 原型板和模型板Fig.46 Prototype and model

(1)厚度或材料畸變 任何物理現(xiàn)象的相似是以完全幾何相似為前提的。在模態(tài)測試中,表現(xiàn)為模型和原型的固有頻率滿足確定的縮比關(guān)系,同時主振型是完全對應(yīng)的。鑒于完全幾何相似的簡單性,筆者僅研究畸變情況下薄板的固有特性的試驗預(yù)測。由于薄板相對于殼體振動的特殊性,平面內(nèi)的變形和彎曲變形可以認(rèn)為互不影響,從而可以在厚度畸變時,通過模型準(zhǔn)確預(yù)測原型的固有特性。當(dāng)寬度和長度的某一個或者同時發(fā)生畸變時,只有通過預(yù)測系數(shù)進(jìn)行畸變的修正。

在經(jīng)過模態(tài)分析后,得到3塊懸臂板的固有頻率和模態(tài)振型(見圖47,圖48和圖49)。雖然在尺寸發(fā)生畸變的情況下,振型一般會發(fā)生跳躍,但是在試驗中,振型是保持對應(yīng)的。

圖47 原型板的主振型Fig.47 Main vibration mode of prototype

圖48 模型板M1的主振型Fig.48 Main vibration mode of model M1

圖49 模型板M2的主振型Fig.49 Main vibration mode of model M2

表32和表33列出了原型板P、模型板M1和模型板M2的模態(tài)振型的固有頻率,并對原型板P的頻率進(jìn)行了預(yù)測,分析了誤差。

表32 原型板P和模型板M1的對比Tab.32 Comparison of prototype P and model M1

表33 原型板P和模型板M2的對比Tab.33 Comparison of prototype P and model M2

根據(jù)以上所得的結(jié)果數(shù)據(jù),繪制模態(tài)相似關(guān)系(見圖50～圖52)。

圖50 原型板P與模型板M1的模態(tài)相似關(guān)系Fig.50 Modal similarity relationship between prototype P and model M1

圖51 原型板P與模型板M2的模態(tài)相似關(guān)系Fig.51 Modal similarity relationship between prototype P and model M2

圖52 模型板M1與模型板M2的誤差Fig.52 Error between model M1and model M2

【數(shù)據(jù)分析1】 模型M1的理論值通過彎曲振動的縮比關(guān)系式預(yù)測原型的固有頻率,誤差較小;模型M2的理論值通過彎曲振動的縮比關(guān)系式預(yù)測原型的固有頻率,誤差也很小,說明了理論推導(dǎo)得到的縮比關(guān)系式的正確性。雖然理論上的預(yù)測誤差非常小,但是實驗中存在系統(tǒng)誤差和偶然誤差,甚至過失誤差,所以就會出現(xiàn)不可忽略的誤差,影響試驗的準(zhǔn)確性。

【數(shù)據(jù)分析2】 通過模型M1的試驗值預(yù)測原型板的固有頻率,分別與原型板的試驗值與理論值對比,可以發(fā)現(xiàn),在預(yù)測理論值方面,誤差介于6%～16%之間,比較均勻,在預(yù)測試驗值方面,前7階介于1%～10%之間,但是第8階的誤差較大,所以只對低階的固有頻率預(yù)測有效;通過模型M2的試驗值預(yù)測原型板的固有頻率,分別與原型板的試驗值與理論值對比,可以發(fā)現(xiàn)在預(yù)測理論值方面,誤差介于0%～10%之間,比較均勻,在預(yù)測試驗值方面,介于0%～15%之間。

【數(shù)據(jù)分析3】 綜合4條誤差曲線,模型M1在預(yù)測試驗值方面誤差是最小的,不同階次的誤差差別較大。綜合以上分析,模型板M2的材料在預(yù)測原型板的固有頻率方面比模型板M1的材料更具有優(yōu)勢。

(2)長度或?qū)挾然?上述試驗對原型板的固有頻率的預(yù)測是通過縮比關(guān)系式直接得出,易于計算,但這只針對厚度或材料發(fā)生畸變、模型和原型的長寬比相同的情況下的預(yù)測。一但寬度、長度的某一個或者同時發(fā)生畸變時,縮比關(guān)系[見式(107)]將不再適用。試驗件選用表29中的模型板M3,為了實現(xiàn)不同材料時模型對原型的固有頻率的預(yù)測,以模型板M2作為本試驗的原型。

試驗測出模型板和原型板的前四階固有頻率后,按圖17的流程進(jìn)行修正,圖53和表34表述了修正后的結(jié)果,誤差均在10%以內(nèi),這表明實驗結(jié)果和畸變修正理論結(jié)果一致,即當(dāng)模型的幾何參數(shù)發(fā)生畸變時,可以采用數(shù)值仿真進(jìn)行畸變修正的方法來對原型的振動進(jìn)行預(yù)測。

圖53 試驗中模態(tài)主振型Fig.53 Main vibration modal shape during experiment

表34 模型板M3和模型板M2的對比Tab.34 Comparison of model M3and model M2

綜合兩種不同情況下的試驗和不同的試驗?zāi)Ｐ团c實驗材料對比,得到如下結(jié)論。

【結(jié)論17】 同種材料之間的模型試驗效果要好于異種材料之間的試驗結(jié)果。

【結(jié)論18】 縮比較大的模型的試驗結(jié)果好于縮比較小的模型的試驗結(jié)果。

5 結(jié)論與展望

5.1 研究內(nèi)容

本文研究目的是,針對大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)設(shè)計問題,通過創(chuàng)建動力學(xué)相似理論,研究其基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件在完全幾何相似和不完全幾何相似(即畸變)條件下的動力學(xué)相似模型設(shè)計及修正方法。

本文研究方法是,以彈性薄板作為大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械典型基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件,通過平衡方程法和量綱分析法建立彈性薄板結(jié)構(gòu)件完全幾何相似的動力學(xué)相似關(guān)系;針對模型試驗中的頻率調(diào)節(jié)問題,討論附加質(zhì)量法在相似試驗?zāi)Ｐ皖l率調(diào)節(jié)中的應(yīng)用方法;針對畸變試驗?zāi)Ｐ蛦栴},從畸變產(chǎn)生機(jī)理出發(fā),提出一種基于數(shù)值擬合的畸變修正理論與方法;基于解析法和統(tǒng)計法,分析薄板構(gòu)件的結(jié)構(gòu)振動行為敏感性,指導(dǎo)畸變試驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計;利用數(shù)值分析法確定幾何適用區(qū)間范圍,提出動力學(xué)相似設(shè)計幾何適用區(qū)間的確定準(zhǔn)則。

圍繞上述研究任務(wù),本文完成了以下研究工作。

【研究內(nèi)容1】 對比國內(nèi)外相似理論及其在結(jié)構(gòu)振動試驗的研究現(xiàn)狀,分析基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件在振動測試試驗中涉及的相似設(shè)計理論和方法,建立系統(tǒng)級模型結(jié)構(gòu)推算和再現(xiàn)原型結(jié)構(gòu)振動特性和故障特征的方法,以及消除誤差的理論基礎(chǔ)。

【研究內(nèi)容2】 針對基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)相似試驗?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計,根據(jù)相似理論,基于基本力學(xué)方程,通過組合量綱分析法、方程分析法和定量分析法,推導(dǎo)相似準(zhǔn)則和條件。

【研究內(nèi)容3】 采用附加集中質(zhì)量方法研究降低固有頻率的相似設(shè)計方法,分析不同材料質(zhì)量塊對于薄板模型固有頻率的影響。

【研究內(nèi)容4】 針對相似模型存在的畸變問題,分析畸變產(chǎn)生的原因,提出基于數(shù)值擬合的畸變修正方法,通過實例研究進(jìn)行驗證分析。

【研究內(nèi)容5】 通過材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)等特征參數(shù)對于動力學(xué)特性的敏感性分析,尋找影響動力學(xué)特性的主要特征參數(shù),在忽略次要參數(shù)的前提下,對主要參數(shù)進(jìn)行分析、推導(dǎo)、仿真和試驗。

【研究內(nèi)容6】 提出動力學(xué)相似模型幾何適用區(qū)間的確定方法,以四周簡支薄板為例,對畸變模型的理論依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo),探討修正區(qū)間問題,并進(jìn)行相關(guān)實驗。

5.2 研究結(jié)論

通過理論研究、試驗驗證和科學(xué)歸納,筆者得到動力學(xué)相似設(shè)計的普適流程——“完全相似設(shè)計→過渡模型修正→幾何適用區(qū)間設(shè)計→畸變模型→結(jié)果修正”,組建起由動力學(xué)相似設(shè)計概念、動力學(xué)相似試驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計方法,以及試驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)果處理方法共同組成的大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)相似設(shè)計的基本理論體系。

根據(jù)上述理論研究,得到在大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)單元結(jié)構(gòu)件動力學(xué)相似設(shè)計中,需要遵循的相關(guān)科學(xué)結(jié)論。

【結(jié)論1】 動力學(xué)相似是指模型和原型在工作狀態(tài)下,其動力學(xué)固有特性、模態(tài)振型、動力學(xué)響應(yīng)行為、甚至包括典型故障特征等,在一定范圍內(nèi)一致或成固定比例關(guān)系的相似現(xiàn)象。

【Conclusion 1】 Dynamic similitude is the phenomenon that the model and the prototype,under theworking condition,have the same or the fixed proportion dynamic characteristics,vibration shapes, dynamic responses and even typical fault features.

【結(jié)論2】 相似模型和原型的本征方程相同,具有相同的模態(tài)主振型;對于幾何相似的縮比模型和原型,其固有頻率與幾何縮比成反比;當(dāng)縮比模型和原型為不同材料時,其固有頻率正比于彈性模量和密度的縮比比值的平方根。

【Conclusion 2】 The model and prototype have the same governing equation and the same main vibration shapes.When the scaled model is geometry similitude,the scaling laws of frequencies are the reciprocal of the length scaling law.When the model and prototype have different materials,the frequencies are proportional to the square root of the ratio of Young’s modulus and density.

【結(jié)論3】 附加質(zhì)量塊可調(diào)整固有頻率,也可能使模態(tài)次序發(fā)生較大變化。加載質(zhì)量塊后,薄板的待測量階次固有頻率將偏離激振力的頻段,對相鄰各階固有頻率值的影響很小,各階模態(tài)振型將不被改變。

【Conclusion 3】 An additional mass can justify natural frequencies,and change the order of the vibration shape as well.After adding the mass,the natural frequency of the thin plate to be measured would deviate from the excitation frequency range,which has slight effect on the adjacent orders and the vibration model of each order would not change.

【Conclusion 4】 The distortion coefficient of the elastic thin plate isexample indicates that not all distorted models can be corrected,and are applicable intervals in the correction of distorted models.

【結(jié)論5】 彈性薄板固有頻率對厚度的變化最敏感,隨著薄板厚度增加,固有頻率將逐漸增大,且隨著階次提高,數(shù)值增幅也將增加。

【Conclusion 5】 The natural frequencies of elastic thin plates are the most sensitive to the change of thickness,and as the thickness increases,the frequencies increase.In addition,the increasing amplitude grows as the order increases.

【結(jié)論6】 彎曲和扭轉(zhuǎn)振動對長度的敏感性高于對寬度的敏感性,隨著這兩個參數(shù)的增加,固有頻率減小,減小幅度將隨著階次增加而逐漸變大。

【Conclusion 6】 The sensitivity to length of both flexural vibrations and torsional vibrations are higher than their sensitivity to width.As these two parameters increase,the natural frequencies decrease, and the decreasing amplitude grows as the order increases.

【結(jié)論7】 弦向振動對寬度的敏感性要高于對長度的敏感性;泊松比影響非常小,可以忽略不計,長度和寬度影響較小,但不可被忽略。

【Conclusion 7】 The sensitivity to width of chordwise vibrations are higher than their sensitivity to length.The Poisson’s rate exerts negligible effect.However,though the change of the length and the width has slight effect on the natural frequencies,they cannot be neglected.

【結(jié)論8】 彈性薄板振型中某一點的振幅對幾何參數(shù)的敏感性與其相對位移有關(guān);相對位移越大,敏感性越高;每階敏感性曲面與其主振型是相同的。

【Conclusion 8】 The geometry sensitivities of each point in the elastic thin plate’s vibration shape are related to their relative displacements.The larger the relative displacements,the higher sensitivities they have.The sensitivity surface is the same to the main vibration shape.

【結(jié)論9】 泊松比具有自相似性,彈性模量和密度可以在模型相似關(guān)系中得到反映;材料并不是影響振動相似的因素,幾何相似是影響動力學(xué)相似的條件。

【Conclusion 9】 The Poisson’s rate has the characteristic of self-similitude.The Young’s modulus and the density are reflected in the scaling law.Materials are not the factor to affect the similitude of vibration,but the geometry parameters are.

【結(jié)論10】 動力學(xué)相似模型幾何適用區(qū)間與誤差控制區(qū)間及振型控制區(qū)間均相關(guān);振動階次越高,其幾何適用區(qū)間范圍越小,對于高階動力學(xué)相似模型的參數(shù)設(shè)計要求更為嚴(yán)格。

【Conclusion 10】 The structure size applicable intervals are related to the vibration shape control intervals and the error range.The higher the vibration order is,the narrow the applicable interval will be, thus it becomes more restrict in the design of high order dynamic similitude test models.

【結(jié)論11】 同種材料相似模型試驗效果要好于異種材料相似模型的試驗結(jié)果,縮比較大的模型的試驗結(jié)果要好于縮比較小的模型的試驗結(jié)果。

【Conclusion 11】 The predicted results of the test model with the same material to the prototype are better than that with different materials.The predicted results of bigger similitude ratio are better than that of smaller similitude ratio.

5.3 展望

(1)本文僅考慮了以彈性薄板結(jié)構(gòu)件為對象的動力學(xué)相似設(shè)計研究,對于更復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng),還須進(jìn)行更深入的研究。

(2)本文對于畸變模型的相似關(guān)系僅從數(shù)值分析角度給出了選擇標(biāo)準(zhǔn),未從理論建模角度給出更可靠的相似關(guān)系選擇方法;畸變模型動力學(xué)相似關(guān)系應(yīng)當(dāng)從動力平衡方程中推導(dǎo)得到,或從其他更精確的解析方法獲取,這將是進(jìn)一步研究的方向。

(3)本文提出的動力學(xué)畸變相似模型均建立于原型與模型同階振型的基礎(chǔ)之上,為工程實踐帶來很大方便,但同時也限制了畸變模型的適用范圍;對于不要求振型一致的場合,應(yīng)當(dāng)建立新的研究方法。

(4)本文僅分析了結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)對于彈性薄板不同振型下固有頻率的敏感性,并得到“結(jié)論6”～“結(jié)論9”;然而在動力學(xué)畸變相似模型設(shè)計中,各結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)的獨立性,本文沒有進(jìn)行深入討論,例如,厚度敏感性雖高,但在彈性薄板的固有頻率分析中,其與材料參數(shù)一樣具有很強(qiáng)的獨立性,這一點對放寬相似模型厚度尺寸的要求十分重要。

綜上所述,關(guān)于相似理論在大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械動力學(xué)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)件試驗中的應(yīng)用研究,筆者認(rèn)為未來的工作可以從以下3個方面展開。

(1)以大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)件為研究對象,考慮邊界條件、載荷條件、尺寸效應(yīng)和畸變修正等綜合因素下的動力學(xué)響應(yīng)特性模擬和故障特征再現(xiàn)方法,實施由理論研究到工程設(shè)計的中間試驗應(yīng)用研究。

(2)動力學(xué)相似模型及其輸出結(jié)果和特征的相似度評價,以及提高相似度的理論與技術(shù)研究。在工程應(yīng)用中,必須解決和回答應(yīng)用相似理論的可靠度有多大,相似理論對原型特性的預(yù)測是否可以達(dá)到所要求的精度等問題;必須解決和回答如果可靠度和相似度不滿足要求,采用什么理論方法和技術(shù)提高等問題。

(3)對于由基礎(chǔ)構(gòu)件組成的大型高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械復(fù)雜系統(tǒng),其動力學(xué)相似試驗研究需借助計算機(jī)輔助技術(shù),因此,動力學(xué)相似物理模型試驗和計算機(jī)技術(shù)的融合技術(shù)研究也將是重要的工作之一。

[1]Galilei G,Weston J.Mathematical Discourses Concerning Two new Sciences Relating to Mechanicks and Local Motion:in Four Dialogues.I.of the Resistance of Solids Against Fractions.II.of the Cause of their Coherence.III. of Local Motion,Viz.Equable,and Naturally Accelerate.IV.of Violent Motion,or of Projects.J.Hooke,at the Flower-de-Luce,over-against St.Dunstan's Church in Fleet-Street.,1730.

[2]Harris H G,Sabnis G.Structural Modeling and Experimental Techniques.London:CRC Press,1999.

[3]Jha Anshuman.Dynamic Testing of Structures Using Scale Models[Master Thesis].Montreal,Quebec,Canada: Concordia University,2004.

[4]黃 翀.基于虛擬儀器的大型拖曳水池試驗系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)[博士學(xué)位論文].無錫:江南大學(xué),2009. Huang Chong.Design and Implementation of Towing Tank Test System Based on Virtual Instrument[Ph.D Thesis].Wuxi:Jiangnan University,2009.

[5]Froude W.On the Rolling of Ships.Institution of Naval Architects,1861.

[6]Kelly F C.The Wright brothers:a Biography.DoverPublications.com,1989.

[7]Bertrand J.Démonstration d'un théorème de M.Gauss.Journal de Mathématiques Pures et Appliquées,1848,13(2):80-82.

[8]Stull R B.Similarity Theory.Berlin:Springer Netherlands,1988.

[9]Bertrand J.Réponsea la note de M.Helmholtz.CR Acad.Sci.Paris,1868,67(3):773-775.

[10]Buckinghan E.On Physically Similar Systems,Illustrations of the Use of Dimensional Equations.Physical Review, 1914,4(4):345-376.

[11]Kirpichev M V,Gukhman A A.Application of Similarity Theory of the Experiment.Trudy Leningr.Obl NIl Teplotekhn.In-ta,1931,1(1):11-23.

[12]Dieterich J Schuring.Scale Models in Engineering Fundamental and Applications.Oxford:Pergamon Press,1977.

[13]Birkhoff G.Mathematics for Engineers—III:Dimensional Analysis of Partial Differential Equations.Electrical Engineering,1948,67(12):1185-1188.

[14]Vaschy A.Théorie de l'électricité:Exposédes Phénomènesélectriques et Magnétiques FondéUniquement sur l' expérience et le Raisonnement.Librairie Polytechnique,Baudry et Cie,1896.

[15]Rayleigh L.The Principle of Similitude.Nature,1915,95(66):591.

[16]Reynolds O.An Experimental Investigation of the Circumstances which Determine Whether the Motion of Water Shall be Direct or Sinuous,and of the Law of Resistance in Parallel Channels.Proceedings of the Royal Society of London,1883,35(224-226):84-99.

[17]Goodier J N,Thomson W T.Applicability of Similarity of Principles to Structural Models.NACA Tech. Note993,1944.

[18]Goodier J N.Dimensional Analysis(First Edition).New York:John Wiley&Sons,1950:1035-1045.

[19]Langhaar H L.Dimensionless Analysis and Theory of Models(First Edition).New York:John Wiley&Sons,1951. [20]Pankhust R C.Dimensional Analysis and Scale Factors(First Edition).London:Chapman&Hall,1964.

[21]Macagno E O.Historico-Critical Review of Dimensional Analysis.Journal of the Franklin Institute,1971,292(6): 391-402.

[22]Szues E.Similitude and Modeling.Mathematics and Computers in Simulation,1980,22(4):382.

[23]David F W,Butterworths N H.Experimental Modeling in Engineering.Journal of Mechanical Working Technology, 1983,8(4):374-375.

[24]列茲尼亞科夫A B,著,王成斌,譯.相似方法(第一版).北京:科學(xué)出版社,1964.

[25]談慶明.量綱分析.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2005. Tan Qingming.Dimensional Analysis.Hefei:China University of Science and Technology Press,2005.

[26]楊俊杰.相似理論與結(jié)構(gòu)模型試驗.武漢:武漢理工大學(xué)出版社,2005. Yang Junjie.The Similarity Theory and Structural Model Test.Wuhan:Wuhan University of Technology Press,2005.

[27]徐 挺.相似理論與模擬實驗(第一版).北京:中國農(nóng)業(yè)機(jī)械出版社,1982. Xu Ting.The Similarity Theory and Simulation Experiments(First Edition).Beijing:China Agriculture Machinery Press,1982.

[28]周美立.相似工程學(xué).北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1998. Zhou Meili.Similar Engineering.Beijing:Machinery Industry Press,1998.

[29]Kiine SJ.Similitude and Approximation Theory(First Edition).New York:McGraW-Hill,1965.

[30]Szücs E.Fundamental Studies in Engineering(II),Similitude and Modeling.Elsevier Scientific Publishing Co, Amsterdam,Netherlands,1980:138.

[31]Qian Y,Swanson SR,Nuismer RJ,et al.An Experimental Study of Scaling Rules for Impact Damage in Fiber Composites.Journal of Composite Material,1990,24(5):559-570.

[32]Qian Y,Swanson S R.Experimental Measurement of Impact Response in Carbon/Epoxy Plates.AIAA Journal, 1990,28(6):1069-1074.

[33]Morton J.Scaling of Impact-Loaded Carbon-Fiber Composites.AIAA Journal,1988,26(8):989-994.

[34]Singhatanadgid P,Ungbhakornt V.Scaling Laws for Vibration Response of Anti-Symmetrically Laminated Plates. Structural Engineering and Mechanics,2002,14(3):345-364.

[35]Ungbhakorn V,Singhatanadgid P.Similitude Invariants and Scaling Laws for Buckling Experiments on Anti-Symmetrically Laminated Plates Subjected to Biaxial Loading.Composite Structure,2003,59(4):455-465.

[36]Jha A,Sedaghati R,Bhat R.Dynamic Testing of Structures Using Scale Models//Proceedings of the 46th AIAA/ ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics and Materials Conference,Austin,Texas,2005:85-100.

[37]Songkhla A N,Singhatanadgid P.Accuracy of the Scaling Law for Experimental Natural Frequencies of Rectangular thin Plates//The 19th Conference of Mechanical Engineering Network of Thailand,Thailand,2005:19-21.

[38]Ungbhakorn V,Singhatanadgid P.Similitude and Physical Modeling for Buckling and Vibration of Symmetric Cross-Ply Laminated Circular Cylindrical Shells.Journal of Composite Materials,2003,37(19):1697-1712.

[39]Ungbhakorn V,Wattanasakulpong N.Structural Similitude and Scaling Laws of Anti-symmetric Cross-Ply Laminated Cylindrical Shells for Buckling and Vibration Experiments.International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2007,7(4):609-627.

[40]Kee Y J,Kim J H.Vibration Characteristics of Initially Twisted Rotating Shell Type Composite Blades.Composite Structures,2004,64(2):151-159.

[41]Torkamani S,Navazi H M,Jafari A A,et al.Structural Similitude in free Vibration of Orthogonally Stiffened Cylindrical Shells.Thin-Walled Structures,2009,47(11):1316-1330.

[42]Bijan D,Suong H,Mehdi H.Similitude Study on Bending Stiffness and Behavior of Composite Tubes.Journal of Composite Materials,2012,46(21):2695-2710.

[43]Murugan R,Prabhu R V,Thyla P R.Establishment of Structural Similitude for Elastic Models and Validation of Scaling Laws.Ksce Journal of Civil Engineering,2013,17(1):139-144.

[44]Krayterman B,Gajanan M,Sabnis M,et al.Similitude Theory:Plates and Shells Analysis.Journal of Engineering Mechanics,1984,110(9):1247-1263.

[45]Simitses GJ,Rezaeepazhand J.Structural Similitude and Scaling Laws for Laminated Beam-Plates.American Society of Mechanical Engineers,Aerospace Division AD,1992,26(1):37-45.

[46]Rezaeepazhand J,Simitses G J,Starnes J H.Use of Scaled-down Models for Predicting Vibration Response of Laminated Plates.Composite Structure,1995,30(4):419-426.

[47]Simitses G J,Starnes J H,Rezaeepazhand J.Structural Similitude and Scaling Laws for Plates and Shells:a Review//AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC 41st Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference and Exhibit,2000,1(1-3):393-403.

[48]Rezaeepazhand J,Wisnom M R.Scaled Models for Predicting Buckling of Delaminated Orthotropic Beam-Plates. Composite Structure,2009,90(1):87-91.

[49]Rezaeepazhand J,Simitses G J,Starnes J H.Scale Models for Laminated Cylindrical Shells Subjected to Axial Compression.Composite Structure,1996,34(4):371-379.

[50]Rezaeepazhand J,Simitses G J,Starnes J H.Design of Scaled down Models for Predicting Phell Vibration Response. Journal of Sound and Vibration,1996,195(2):301-311.

[51]Rezaeepazhand J,Simitses G J.Structural Similitude for Vibration Response of Laminated Cylindrical Shells with Double Curvature.Composites(Part B-Engineering),1997,28(3):195-200.

[52]Simitses G J.Structural Similitude for Flat Laminated Surfaces.Composite Sturctures,2001,51(2):191-194.

[53]Soedel W.Similitude Approximations for Vibrating Thin Shells.The Journal of the Acoustical Society of America, 1971,49(5):1535-1541.

[54]Chouchaoui C S,Parks P,Ochoa O O.Similitude Study for a Laminated Cylindrical Tube under Tension,Torsion, Bending,Internal and External Pressure(Part II):Scale Models.Composite Structures,1999,44(4):231-236.

[55]Wu J J,Cartmell M P,Whittaker A R.Prediction of the Vibration Characteristics of a full-Size Structure from those of a Scale Model.Computers and Structures,2002,80:1461-1472.

[56]Wu J J.Dynamic Analysis of a Rectangular Plate under a Moving Line Load Using Scale Beams and Scaling Laws. Computers and Structures,2005,83(19):1646-1658.

[57]Wu J J.Prediction of the Dynamic Characteristics of an Elastically Supported full-Size Fat Plate from those of its Complete Similitude Scale Model.Computers and Structures,2006,84:102-114.

[58]Wu J J.Prediction of Lateral Vibration Characteristics of a full-Size Rotor-Bearing System by Using those of its Scale Models.Finite Elements in Analysis and Design,2007,43(10):803-816.

[59]Young Y L.Dynamic Hydroelastic Scaling of self-Adaptive Composite Marine Rotors.Composite Structures,2010, 92(1):97-106.

[60]林 皋,朱 彤,林 蓓.結(jié)構(gòu)動力模型試驗的相似技巧.大連理工大學(xué)學(xué)報,2000,40(1):1-8. Lin Gao,Zhu Tong,Lin Bei.Similarity Technique for Dynamic Structural Model Test.Journal of Dalian University of Technology,2000,40(1):1-8.

[61]遲世春,林少書.結(jié)構(gòu)動力模型試驗相似理論及其驗證.世界地震工程,2004,20(4):11-20. Chi Shichun,Lam Siushu.Validation of Similitude Laws for Dynamic Structural Model Test.World Information on Earthquake Engineering,2004,20(4):11-20.

[62]雷正保,鐘志華.動態(tài)大位移大轉(zhuǎn)角大變形彈塑性相似結(jié)構(gòu)的相似比.機(jī)械工程學(xué)報,1999,35(2):6-9. Lei Zhengbao,Zhong Zhihua.Similitude Ratios of Elastic Plastic Similitude Structure with Large Displacements and Large Deformations for Dynamic System.Chinese Journal of Mechanical Engineering,1999,35(2):6-9.

[63]雷正保,劉振聞,鐘志華.相似結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的外推方法及精密特性.振動與沖擊,1999,18(2):17-22. Lei Zhengbao,Liu Zhenwen,Zhong Zhihua.Extrapolation of Dynamic Response Resulting from Fem and it’s Accuracy for Structure with Elastic Plastic Materials and Large Displacements&Deformations.Journal of Vibration and Shock,1999,18(2):17-22.

[64]李少華,楊智春,谷迎松.一種復(fù)合材料跨聲速顫振模型的部分結(jié)構(gòu)相似設(shè)計方法.機(jī)械強(qiáng)度,2009,31(2): 339-343. Li Shaohua,Yang Zhichun,Gu Yingsong.Partial Structure Similarity Method to Design Composite Transonic Flutter Model.Journal of Mechanical Strength,2009,31(2):339-343.

[65]胡培民.轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動的相似模型試驗分析.機(jī)械科學(xué)與技術(shù),1997,16(6):1084-1087. Hu Peimin.Analysis of Similarity Model Testing for Torsional Vibration of Rotor.Mechanical Science and Technology,1997,16(6):1084-1087.

[66]劉爾重.相似定理在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件上的應(yīng)用.航空發(fā)動機(jī),1999,2(2):50-53. Liu Erzhong.The Application of Similarity Theorem in Composite Material Structures.Aeroengine,1999,2(2): 50-53.

[67]晏礪堂,王德友.航空雙轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)動靜件碰摩振動特征研究.航空動力學(xué)報,1998,13(2):173-221. Yan Litang,Wang Deyou.Vibration Features from Rubbing Between Rotor and Casing for a Dual-Shaft Aeroengine.Journal of Aerospace Power,1998,13(2):173-221.

[68]王德友.發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)靜件碰摩振動特征的提取與理論研究[博士學(xué)位論文].北京:北京航空航天大學(xué),1995. Wang Deyou.Extraction and theory research of Vibration Features from Rubbing Between Rotor and Casing[Ph.D Thesis].Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics,1995.

[69]郝燕平.葉輪機(jī)葉片結(jié)構(gòu)相似性問題的理論研究//中國航空學(xué)會第六屆動力年會論文集,南京,2006:CSAA06-P-084. Hao Yanping.Theoretical study of similar problems in turbomachine blade structure//China Aviation Society Sixth Dynamic Annual Meeting Proceedings,Nanjing,2006:CSAA06-P-084.

[70]Higgins T J.Electroanalogic Methods.Applied Mechanics Reviews,1957,10(8):331-335.

[71]沈自求.相似理論中若干問題的討論.科學(xué)通報,1962(8):29-35. Shen Ziqiu.The Discussion on Several Problems of Similarity Theory.Chinese Science Bulletin,1962(8):29-35.

[72]夏曉東.土壤–機(jī)械系統(tǒng)的系列畸變模型實驗技術(shù)研究.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報,1983(4):10-26. Xia Xiaodong.Study of Test Technique of A Series of Distorted Model of Soil Machine Systems.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,1983(4):10-26.

[73]Gukhman A A.Introduction to the Theory of Similarity.New York:Academic Press,1965:185-235.

[74]吳家龍.彈性力學(xué).北京:高等教育出版社,2001:317-343. Wu Jialong.Elasticity.Beijing:Higher Education Press,2001:317-343.

[75]徐芝綸.彈性力學(xué)(下).北京:科學(xué)出版社,1988:1-12. Xu Zhilun.Elasticity(II).Beijing:Science Press,1988:1-12.

[76]韓清凱,孫 偉.彈性力學(xué)及有限元法基礎(chǔ)教程.沈陽:東北大學(xué)出版社,2009. Han Qingkai,Sun Wei.A First Course in Elasticity Theory and Finite Element Method.Shenyang:Northeastern U-niversity Press,2009.

[77]李明強(qiáng).直升機(jī)機(jī)體動力學(xué)相似模型設(shè)計與結(jié)構(gòu)響應(yīng)主動控制[博士學(xué)位論文].南京:南京航空航天大學(xué),2008. Li Mingqiang,Dynamic Design and Active Control of Structural Response of Helicopter Airframe Analogous Model[Ph.D Thesis].Nanjing:Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2008.

[78]Cremer L,Heckl M,Petersson B A T.Structure-Borne Sound:Structural Vibrations and Sound Radiation at Audio Frequencies.Berlin,Germany:Springer,2005.

[79]向建華,廖日東,蒲大宇.帶集中質(zhì)量塊薄板的移頻數(shù)值仿真.西安交通大學(xué)學(xué)報,2010,44(11):82-86. Xiang Jianhua,Liao Ridong,Pu Dayu.Numerical Simulation on Frequency Shift of Thin Plate with Lumped Mass Block.Journal of Xi’an Jiaotong University,2010,44(11):82-86.

[80]Amabili M,Carra S.Experiments and Simulations for large-Amplitude Vibrations of Rectangular Plates Carrying Concentrated Masses.Journal of Sound and Vibration,2012,331(1):155-166.

[81]Boay C G.Free Vibration of Rectangular Isotropic Plates with and without a Concentrated Mass.Computers& Structures,1993,48(3):529-533.

[82]Rosa S D,Franco F,Capasso D,et al.The Effect of Concentrated Masses on the Response of a Plate under a Turbulent Boundary Layer Excitation.Mechanical Systems and Signal Processing,2011,25(4):1192-1203.

[83]羅 忠,張海軍,張 凱,等.基于集中質(zhì)量塊法的葉片試驗?zāi)Ｐ偷哪B(tài)調(diào)節(jié)方法.東北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012,33(10):1319-1321. Luo Zhong,Zhang Haijun,Zhang Kai,et al.Modal Adjustment Method Based on Lumped Mass for Test Model of Blade.Journal of Northeastern University(Natural Science),2012,33(10):1319-1321.

[84]許本文,焦群英.機(jī)械振動與模態(tài)分析基礎(chǔ).北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1998. Xu Benwen,Jiao Qunying.Fundamentals of Mechanical Vibation and Modal Analysis.Beijing:China Machine Press,1998.

[85]Lee I W,Kim D O.Natural Frequency and Mode Shape Sensitivities of Damped Systems(Part1):Distinct Natural Frequencies.Journal of Sound and Vibration,1999,223(3):399-412.

[86]Lee I W,Jung G H.An Efficient Algebraic Method for Computation of Natural Frequency and Mode Shape Sensitivities(Part I):Distinct Natural Frequencies.Computers and Structures,1997,629(3):429-435.

[87]Luo Z,Han Q K,Qin G M,et al.Dynamic Similarity Analysis on Scaled-down Model of a thin Plate with Concentrated Mass//14th Asia Pacific Vibration Conference,Hong Kong,2011:623-630.

[88]Lee I W,Jung G H.An Efficient Algebraic Method for Computation of Natural Frequency and Mode Shape Sensitivities(PartⅡ):Multiple Natural Frequencies.Computers and Structures,1997,62(3):437-443.

[89]楊大彬,張毅剛,吳金志.基于ANSYS的靈敏度分析及其在單層網(wǎng)殼中的應(yīng)用.世界地震工程,2009,25(4):87-91. Yang Dabin,Zhang Yigang,Wu Jinzhi.Sensitivity Analysis based on ANSYS and Its Application to Single-Layer Reticulated Shell.World Earthquake Engineering,2009,25(4):87-91.

[90]Kurt Binder,Heermann Dieter W.Monte Carlo Simulation in Statistical Physics-an Introduction.Berlin/ Heidelberg:Springer,1997.

[91]Fang K T,Wang Y.Number Theoretic Methods in Statistics.New York:Chapman and Hall,1994.

[92]Myers R H,Anderson-Cook C M.Response Surface Methodology:Process and Product Optimization Using Designed Experiments.Wiley.com,2009.

* 中國國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)項目《高端壓縮機(jī)組高效可靠及智能化基礎(chǔ)研究》(No.2012CB026000),中國國家自然科學(xué)基金資助項目《旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)件模型試驗的動力學(xué)相似理論及其應(yīng)用研究》(No.51105064),中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費資助教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才培育項目《混合式復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)相似試驗?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計方法研究》(No.N1305030011)