矩陣特征值與特征向量的又一種求法

魏裕博

(陜西學(xué)前師范學(xué)院數(shù)學(xué)系， 陜西西安 710100)

大多數(shù)代數(shù)教材中，對于求一個n階矩陣A的特征值與特征向量，所講授的方法是通過求解矩陣A的特征方程|λE-A|=0與相應(yīng)的齊次線性方程組(λiE-A)X=0來實現(xiàn)的。這里給出了利用矩陣多項式和種子向量來求解的另一種方法。

命題1A是一個n階矩陣，u∈Rn且u≠0，設(shè)k是使u,Au,A2u,…Aku線性相關(guān)的最小正整數(shù)，則存在k次實系數(shù)多項式f(x)，若λ0是其一個根，那么f(x)=(x-λ0)q(x)，這時q(A)u就是矩陣A的屬于特征值λ0的特征向量。(u稱為種子向量，Au,A2u,…Aku稱為由u生成的向量)。

證明：∵k是使u,Au,A2u,…Aku線性相關(guān)的最小正整數(shù)，

∴ 存在不全為零的數(shù)a0,a1, … ,ak∈R, 使a0u+a1Au+…+akAku=0.

(1)

令f(x)=a0+a1x+…+akxk(由k的最小性，ak≠0) ，

(2)

若λ0是f(x)的一個根，則存在k-1次多項式q(x), 滿足f(x)=(x-λ0)q(x)

將矩陣A代入上式，且由(1)式可得

f(A)u=(A-λ0E)q(A)u=0，

即

A(q(A)u)=λ0(q(A)u

由k的最小性，q(A)u≠0，因此q(A)u是A的屬于特征值λ0的一個特征向量。

令f(x)=x-2，則2是其一個根。則f(A)u=(A-2E)u=0，

由例1看到，取不同的種子向量可能得到矩陣A的不同特征值和特征向量，那么取定第一個種子向量后，如何取第二個、第三個以求得其它的特征值和特征向量呢？

證明： 由題設(shè)u,Au,A2u,…Ak-1u,v,Av,…,Al-1v,Alv線性相關(guān)，則存在關(guān)系式

(1)

由命題(1)知f(A)u=0，故用f(A)左乘(1)式，得

f(A)(b0E+b1A+ …+blAl)v=0

(2)

將A代入，并由(2)式得 (A-λ0'E)f(A)p(A)v=0

命題2 給出了用第二個種子向量求新的特征值和特征向量的方法，需要的話可以取第三個、第四個種子向量，這個過程繼續(xù)下去，直到求得A的所有特征向量的一個極大線性無關(guān)組為止，同時也求得了A的所有不同的特征值。

例2 求例1中其它特征值與特征向量

知u,v,Av,A2v線性相關(guān)，且A2v-2Av+v+0u=0，

令g(x)=x2-2x+1，則x=1是其二重根，且g(A)=(A-E)2

而f(A)(A-E)v≠0，即(A-2E)(A-E)v=(2,4,-2)T≠0，

以上例子中，特征值、特征向量均為實值。其實，一個實矩陣可能會出現(xiàn)復(fù)的特征值，相應(yīng)就有復(fù)的特征向量。那么一個實矩陣的復(fù)特征值與復(fù)特征向量有什么特點呢？

命題3 若實矩陣A有復(fù)特征值，則它們必然共軛成對出現(xiàn)，且屬于共軛的復(fù)特征值的復(fù)特征向量也相互共軛。

證明：設(shè)λ是A的一個復(fù)特征值，α是屬于λ的特征向量，則有

Aα=λα

故有B3u-B2u+Bu-u=0.

(1)

設(shè)f(x)=x3-x2+x-1 ， 則在復(fù)數(shù)域范圍有

f(x)=(x-1)(x2+1)=(x-1)(x-i)(x+i)

即f(x)有一個實根λ1=1和一對共軛復(fù)根λ2、3=±i.

將B代入，并由(1)得 (B-E)(B-iE)(B+iE)u=0

由此可得，B的屬于λ1=1的一個特征向量

B的屬于λ2=i的特征向量為

B的屬于λ3=-i的特征向量為

用矩陣的多項式和種子向量，無需計算行列式和求解一系列的齊次線性方程組，就可直接求得矩陣的特征根和特征向量，但必須對矩陣運算及向量線性相關(guān)性的判斷熟練掌握。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 邱森.線性代數(shù)探究性課題精編[M]. 武昌：武漢大學(xué)出版社,2011.

[2] 邱森,朱林生.高等代數(shù)探究性課題集[M]. 武昌：武漢大學(xué)出版社,2008.

[3] 陳懷琛,高淑萍,楊威. 工程線性代數(shù)[M]. MATLAB版.北京：電子工業(yè)出版社,2011.

[4] 天津大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)教研組.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社2010.

[5] 李林曙，施光燕.線性代數(shù)[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社,2002.

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