均布載荷作用下矩形截面梁的彈塑性彎曲

吳 曉, 黃志剛, 唐響亮

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均布載荷作用下矩形截面梁的彈塑性彎曲

吳 曉*, 黃志剛, 唐響亮

(湖南文理學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院, 湖南 常德, 415000)

采用彈塑性理論研究了均布載荷作用下的矩形截面梁彈塑性彎曲問題, 推導(dǎo)出了矩形截面懸臂梁的彈塑性彎曲撓度表達(dá)式, 并重新推導(dǎo)出了矩形截面簡支梁的彈塑性彎曲撓度表達(dá)式, 更正了有關(guān)文獻(xiàn)在研究均布載荷作用下矩形截面簡支梁彈塑性彎曲時(shí)存在的錯誤.

矩形截面; 梁; 彈塑性; 彎曲; 撓度

塑性力學(xué)中比較簡單的問題, 包括用平衡方程、屈服條件和應(yīng)力邊界條件就能完全確定應(yīng)力場的所謂靜定問題, 以及屈服條件為線性的情況, 求解時(shí)并不需要處理整套的基本方程因?yàn)槠渲性S多方程已自動滿足, 即使是需要處理的方程也可用較簡單的數(shù)學(xué)方法求解. 屬于這類問題的有純拉伸、純扭轉(zhuǎn)、平面彎曲、厚壁圓筒等. 文獻(xiàn)[1]研究了均布載荷作用下矩形截面簡支梁的彈塑性彎曲問題, 文獻(xiàn)[2—8]研究了集中載荷作用下矩形截面懸臂梁的彈塑性彎曲問題. 本文研究了均布載荷作用下矩形截面懸臂梁的彈塑性問題, 并重新推導(dǎo)出了均布載荷作用下矩形截面簡支梁的彈塑性彎曲撓度, 更正了文獻(xiàn)[1]存在的錯誤.

設(shè)矩形截面梁材料為彈性完全塑性的, 且梁寬為、高為2, 無論梁處于彈性階段或是彈塑性階段, 都假定截面保持為平面. 并假設(shè)彎矩> 0時(shí)曲率= 1/與同號, 反之亦然.

由彈塑性理論可知圖1所示矩形截面梁的本構(gòu)關(guān)系為:

式中,s為梁的屈服極限.

利用式(1)可知矩形截面梁發(fā)生彈塑性彎曲時(shí), 其截面彎矩和曲率分別為:

把式(3)代入式(2)中可以得到:

圖1 梁的矩形截面

所以從以上各式可以得到:

由式(5)可知矩形截面梁彈塑性彎曲的曲率表達(dá)式為:

式中:與同號時(shí), sign= 1,與異號時(shí)sign=-1.

圖2 均布載荷作用下懸臂梁

由式(7)、式(8)可以求得懸臂梁在彈塑性區(qū)域及彈性區(qū)域的撓曲線方程為:

懸臂梁的邊界條件及連續(xù)條件為:

由式(9)—(11)可以求得1、2的表達(dá)式為:

圖3 均布載荷作用下簡支梁

所以, 圖3所示簡支梁在彈塑性區(qū)域及彈性區(qū)域的撓曲線微分方程為:

由式(15)、式(16)可以求得簡支梁在彈塑性區(qū)域及彈性區(qū)域的撓曲線方程分別為(具體推導(dǎo)見附錄A):

.(17)

簡支梁的邊界條件及連續(xù)條件為:

由式(17)—(19)可以求得:

由以上推導(dǎo)及附錄A可知文獻(xiàn)[1]研究均布載荷作用下矩形截面簡支梁的彈塑性彎曲問題時(shí), 推導(dǎo)出的簡支梁在彈塑性區(qū)域及彈性區(qū)域的撓曲線方程是錯誤的, 本文更正了文獻(xiàn)[1]存在的錯誤.

附錄A:

[1] 莊懋年, 馬曉士, 蔣潞. 工程塑性力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983: 88—94.

[2] 余同希, 斯壯. 塑性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2002: 12—32.

[3] 韓強(qiáng). 彈塑性系統(tǒng)的動力學(xué)屈曲和分叉[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2000: 70—76.

[4] 杜慶華, 熊祝華, 陶學(xué)文. 應(yīng)用固體力學(xué)基礎(chǔ)(上冊)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987: 423—429.

[5] Warnock F V,Benham P P.固體力學(xué)和材料強(qiáng)度[M]. 江秉琛, 文相臣, 張汝清, 等, 譯. 北京: 人民教育出版社, 1982: 450—467.

[6] Timoshenko S P, Gere J M. 材料力學(xué)[M]. 韓耀新, 譯. 北京: 科學(xué)出版社, 1990: 298—322.

[7] 王仁, 黃文彬, 黃筑平. 塑性力學(xué)引論[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1989: 38—48.

[8] 王仁, 熊祝華, 黃文彬. 塑性力學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1987: 46—55.

Elastic-plastic bending of the rectangular beam under uniformed load

WU Xiao, HUANG Zhi-gang, TANG Xiang-liang

(College of Architecture & Civil Engineering, Hunan University of Arts & Science, Changde 415000, China)

Based on elastic-plastic theory, elastic-plastic bending of the rectangular beam underuniformed load is researched and the deflection expression of elastic-plastic bending of rectangular cantilever beam is deduced. Then, the deflection expression of elastic-plastic bending of the simply supported beam of rectangular cross-section is reformulated and the error which exists in the relational paper in this field has been corrected.

rectangular section; beam; elastic-plastic; bending; deflection

O 344

1672-6146(2013)01-0014-04

email: wx2005220@163.com.

2013-03-06

10.3969/j.issn.1672-6146.2013.01.004

(責(zé)任編校: 江 河)