火災下軸向約束鋼柱性能的Shanley理論模擬

李國強，陳 琛

（同濟大學 土木工程學院，上海 200092）

由于結構的連續(xù)性，鋼框架柱在結構中會受到周圍構件的約束.在局部火災下，鋼框架柱因為軸向熱膨脹受到約束而產生附加軸力，從而使鋼柱在較低的溫度下發(fā)生屈曲；鋼柱屈曲后，軸向約束會分擔鋼柱的荷載，使得鋼柱在屈曲后仍能繼續(xù)參與受力，這種現(xiàn)象已經在Broadgate火災［1］和Cardington整體結構試驗［2－3］中得到證實.定義鋼柱的屈曲溫度為鋼柱發(fā)生屈曲時的溫度；鋼柱的臨界溫度為鋼柱的軸力恢復到常溫下的初始軸力時的溫度.對于無軸向約束鋼柱，在火災下，隨著溫度的升高，鋼柱的軸力保持不變.當溫度達到鋼柱的屈曲溫度時鋼柱發(fā)生屈曲，軸力迅速下降，因此無軸向約束鋼柱的臨界溫度與屈曲溫度相同；對于有軸向約束鋼柱，隨著溫度的升高，由于軸向約束的存在，鋼柱的軸力增大.當達到鋼柱的屈曲溫度時，鋼柱發(fā)生屈曲，鋼柱的軸力下降.由于屈曲釋放了由于溫度升高而產生的軸向膨脹，因此盡管構件出現(xiàn)負剛度但其仍能保持平衡從而繼續(xù)承載，軸力隨著溫度的升高緩慢下降.當軸力降低到初始軸力時，鋼柱達到臨界溫度.因此約束鋼柱的臨界溫度將大于等于其屈曲溫度，考慮屈曲后性能能提高約束鋼柱的抗火能力.

Franssen［4］用有限元軟件對軸向約束鋼柱火災下的受力性能進行了分析，認為軸向約束在鋼柱屈曲后必然能分擔鋼柱荷載從而提高鋼柱的抗火能力，因此可以定義鋼柱的軸力恢復到初始軸力時的溫度為臨界溫度.Wang［5］認為火災下約束鋼柱在屈曲前可以按軸心受力構件進行設計，鋼柱發(fā)生屈曲時和屈曲后，約束鋼柱處于軸力和彎矩共同作用下，可按壓彎構件進行設計.根據以上理論對任意溫度下的約束鋼柱進行分析，從而得到鋼柱的軸力－溫度曲線.Neves等［6］提出了一個約束鋼柱的簡化計算模型.鋼柱的軸向約束用軸向彈簧表示，轉動約束用轉動彈簧表示.通過對該簡化模型的分析得到鋼柱的軸力－溫度曲線.王培軍，李國強［7］運用改進的Jezék方法，也獲得了鋼柱的軸力－溫度曲線.

約束鋼柱火災下的性能分析，由于涉及到高溫下鋼材的材料非線性以及鋼柱的幾何非線性，因此求解比較復雜.現(xiàn)有的分析方法均為有限元方法和數值積分方法.這兩種方法對于約束鋼柱的性能模擬較為精確，而且能夠對鋼柱的整個升溫過程進行分析，從而得到鋼柱的軸力－溫度曲線.但是有限元方法力學概念不清晰，而數值積分方法則要通過迭代，計算相對復雜.在常溫下，Shanley模型是求解鋼柱受壓彈塑性穩(wěn)定的經典模型，力學概念清晰而且求解過程相對簡單.筆者對Shanley模型進行改進，考慮軸向約束的影響，以鉸鏈的兩肢的應變作為基本未知量，并且考慮升溫過程中引起的鋼材的塑性變形，從而較為準確地得到鋼柱的軸力－溫度曲線.

1 Shanley理論模型和高溫下鋼材應力應變模型

1.1 Shanley理論模型

Shanley［8］在1946年設計了一個由3部分組成的彈塑性力學模型，建立了屈曲后荷載與桿件撓度之間的關系，如圖1所示.用一個鉸鏈將兩根長度為l／2的剛性桿連接起來，系統(tǒng)所有的彈性變形和塑性變形都發(fā)生在鉸鏈上，如圖1a所示.鉸鏈如圖1b所示，有兩根短肢組成，短肢長度為h，其間距離亦為h，截面面積均為A／2.材料的應力應變關系如圖1c所示，鉸鏈的彈性模量為E，切線模量為Et，為雙直線模型.

圖1 Shanley理論的力學模型Fig.1 Mechanical model of the Shanley theory

構件在軸向荷載P下到達構件的臨界狀態(tài)，構件開始彎曲.鉸鏈處由于構件彎曲引起的應變?yōu)棣?和ε2，構件的撓度為d，端部傾角為θ，其幾何關系為d＝lθ／2和θ＝（ε1＋ε2）／2，因此

鉸鏈處的外彎矩為

鉸鏈處的內力矩為

假定彎曲凹面和凸面的楊氏模量分別為E1和E2，有ΔP1＝ε1E1A／2和ΔP2＝ε2E2A／2.代入式（3）得

所以鋼柱的軸力平衡方程為鋼柱的彎矩平衡條件為Mi＝Me，得到

構件的受力分以下3種情況：

（1）構件處在彈性狀態(tài)，有E1＝E2＝E.

（2）構件處在彈塑性狀態(tài)，采用雙模量理論，有E1＝Et，E2＝E.

（3）構件處在彈塑性狀態(tài)，采用切線模量理論，有E1＝E2＝Et.

1.2 高溫下鋼材應力應變模型

本文采用高溫下考慮塑性應變的鋼材應力應變關系，假定鋼材塑性應變不受溫度變化的影響［9］.對于理想彈塑性材料模型，鋼材的應力應變關系隨溫度的變化如圖2所示.

假設在溫度t1時鋼材在B點的應力應變分別為fy1和ε1，fy1為鋼材在t1時的屈服應力.當溫度由t1變化到t2時，應力和應變關系按如下步驟變化：

圖2 考慮塑性的應力應變關系Fig.2 Stress-strain relationship of steel with consideration of plastic deformation

（1）t1時卸載，此時應力應變關系按直線BG變化，BG的斜率為t1時鋼材的彈性模量Et1.

（2）鋼材的殘余塑性變形為直線BG與應變軸的交點G，其值為

（3）溫度升至t2時，應力應變曲線沿GEF變化.在GE段為彈性段，其斜率為t2下的彈性模量Et2，塑性應變保持不變.當應力應變曲線到達EF段時，鋼材的彈性應變保持不變，塑性應變增大，其值為

式中：fy2為鋼材在t2時的屈服應力.

2 火災下約束鋼柱分析模型

假定約束鋼柱的長度為l，鋼柱兩端為鉸接.分析模型采用改進的Shanley理論模型，塑性鉸鏈處的撓度為d，u0為常溫下構件的軸向變形，ut為溫度t時構件的軸向變形，k1為軸向約束剛度，P0和M0分別為常溫下鋼柱的設計軸力和設計彎矩.如圖3所示.將實際鋼柱轉化為Shanley模型鋼柱的等效原則為兩者跨中截面的應變保持一致：軸向應變相同通過鋼柱跨中截面面積A保持不變實現(xiàn)，即鉸鏈兩肢的面積均為A／2；彎曲應變相同通過跨中截面慣性矩I不變得到，取鉸鏈部分寬度保持不變，肢件間的距離h通過式（9）得到

式中：b為鉸鏈的寬度.

鋼柱的軸向約束剛度k1＝β1（E20A／l），且不隨溫度發(fā)生變化.其中β1為軸向約束剛度比；E20為20℃時鋼材的彈性模量；A為構件的截面面積.

根據已有參數分析結果［10］，端部彎矩比對臨界溫度的影響很小，因此取最不利情況端部彎矩比為－1.在常溫下，軸向約束未發(fā)生變形.升溫條件下，鋼柱的應力應變模型按CECS200［11］的定義，考慮塑性變形的累積.應力應變正方向定義與圖1b保持一致.

圖3 火災下約束鋼柱的分析模型Fig.3 Analysis model of restrained column in fire

2.1 常溫下的分析

常溫時，t0＝20℃.在設計軸力P0和設計彎矩M0的作用下，鋼柱的鉸鏈左肢應力應變分別為σ（t0）1和；鉸鏈右肢應力應變分別為，因為構件處于軸力彎矩作用下，因此有.鉸鏈處撓度為鉸鏈處的外彎矩為

內力矩為

因此由彎矩平衡方程Me＝Mi得

鉸鏈處力平衡方程為

式中：kc，0＝E20A／l為鋼柱常溫下的軸向剛度.

常溫下鉸鏈的塑性應變?yōu)?/p>

式中：ε分別為塑性鉸鏈兩肢在常溫下的塑性應變.

2.2 升溫下的分析

假設t1＜t2，且已知在溫度t1時鋼柱達到平衡，鉸鏈兩肢的塑性應變分別為

當溫度從t1升到t2時，鉸鏈兩肢的應力應變分別變?yōu)橛蓤D1b可知.鉸鏈處撓度為約束鋼柱柱端位移為

式中：εth為鋼柱的軸向溫度膨脹系數；kc，t2＝Et2A／l為鋼柱在t2時的軸向剛度.

式（16）與式（14）相減可得

整理得

鉸鏈處的外彎矩為

內力矩為

因此由彎矩平衡方程Me，t2＝Mi，t2得

鉸鏈處力平衡方程為

在溫度為t2時，構件的受力情況根據鉸鏈處鋼材截面是否發(fā)生屈服分為兩種，在此分別討論.

（1）構件在彈性狀態(tài)，鉸鏈兩肢都未發(fā)生屈服.

在溫度升高后，鋼柱的塑性應變沒有發(fā)生變化，有

鉸鏈兩肢的應力分別為

將式（25）代入式（21）和式（22）的平衡方程中，得到

（2）構件處在彈塑性狀態(tài)，采用理想彈塑性模型，左肢發(fā)生屈服.

在溫度升高后，鋼柱鉸鏈的左肢發(fā)生屈服，應力達到t2下的屈服應力ft2，右肢仍然保持在彈性狀態(tài)，有

鉸鏈兩肢的應力分別為

將式（28）代入式（21）和式（22）的平衡方程中，得到

鋼柱的受力狀態(tài)在不同的升溫階段其判別準則如下：

（1）屈曲溫度以前，通過約束鋼柱是否達到構件的極限荷載來判別.

對于壓彎構件而言，構件達到極限荷載可能導致構件進入塑性，但其跨中截面應力可能還未達到其屈服強度.因此，本文引入整體穩(wěn)定的判定準則.

根據常溫下的無約束鋼柱在軸力和彎矩共同作用下的臨界溫度的計算公式，考慮軸向約束剛度的影響，不考慮截面塑性發(fā)展，得到火災條件下約束鋼柱在軸力和彎矩共同作用下的屈曲溫度判定公式為

式中：N為考慮軸向約束時高溫下的軸力；Ncr，T為高溫下的屈曲軸力；M0為常溫下的彎矩；W為截面模量；N′EX為參數.

如果滿足式（30），構件因屈曲進入彈塑性階段，也采用式（29）求解.否則，繼續(xù)采用式（26）求解.

（2）屈曲溫度以后，通過鉸鏈左肢應變是否達到鋼材的屈服應變來判別.

在屈曲溫度以后，對于軸向約束鋼柱兩種不同的受力情況最明顯的區(qū)別就是左肢是否達到極限荷載.但是由于在計算中采用了理想彈塑性模型，鋼材屈曲后通過應力不能得到應變值，所以在此采用其應變作為判別準則.

對于時間t2，鉸鏈左肢應變?yōu)棣牛╰2）1，鋼柱左肢在時間t1時的塑性應變?yōu)棣牛╰1）r，1，因此在時間t2時，左肢進入屈曲的判別條件為

如果滿足式（31），構件進入彈塑性階段，則采用式（29）求解.如果不滿足，則構件還在彈性階段，繼續(xù)采用式（26）求解.

3 理論分析的求解

理論分析的目的是得到約束鋼柱在升溫條件下的軸力溫度曲線.理論分析所建立的上述方程，可通過以下步驟求解：

Step1 輸入初始參數為鋼柱長度l、初始荷載P0、初始彎矩M0、截面面積A、慣性矩I、截面高度h和寬度b、鋼材屈服強度f0和彈性模量E0.

Step2 初始條件定義為溫度t＝20℃，初始塑性應變ε（t0）r，1＝ε（t0）r，2＝0.

Step3 根據常溫下的平衡方程（式（12）、式（13））得到常溫下的鉸鏈兩肢的應變.

Step4 根據式（13）得到常溫下平衡時的鋼柱軸力，輸出軸力和溫度.

Step5 溫度t＝t＋Δt.

Step6 根據式（26），解得溫度t＋Δt下鋼柱鉸鏈兩肢的應變.

Step7 根據式（30）判斷鋼柱是否發(fā)生屈曲，如果發(fā)生則到Step9.

Step8 根據式（31）判斷鋼柱鉸鏈左肢是否發(fā)生塑性變形，如未發(fā)生屈曲，則到Step11.

Step9 根據式（29），重新解得溫度t＋Δt下鋼柱鉸鏈兩肢的應變.

Step10 根據式ε（t2）r，1＝ε（t2）1－ft2／Et2更新鋼柱左肢的塑性應變.

Step11 由式（16）得到在溫度t＋Δt下，鋼柱的軸向變形.

Step12 由式（23）得到溫度t＋Δt下鋼柱的軸力，輸出軸力和溫度.

Step13 判斷溫度是否小于950℃，是則到Step5.

Step14 結束.

根據最后輸出的鋼柱軸力－溫度曲線即可以確定鋼柱的屈曲溫度和臨界溫度.

4 驗證

為了驗證本文提供的基于改進的Shanley模型的理論分析方法的正確性，利用經驗證的ABAQUS有限元模型［9］和本文的理論分析方法對同一鋼柱進行分析，對結果進行比較.驗證分析選取的約束鋼柱截面為H形截面，尺寸為H200mm×6mm×150 mm×8mm，沿長度方向保持不變，常溫下的鋼材的屈服強度為345N·mm－2，彈性模量為2.05×105N·mm－2，繞弱軸轉動.本文分析方法采用的應力應變關系是CECS200［11］的模型.ABAQUS模擬采用的空間線性兩節(jié)點梁單元B31，沿柱長方向劃分為50個單元.軸向約束通過點對點彈簧單元SPRING2模擬，并設定能量耗散系數αd的方法引入虛擬的粘滯阻尼力幫助收斂.

4.1 火災下約束鋼柱受力性能分析結果比較

ABAQUS有限元模型與Shanley方法對于火災下約束鋼柱在軸力和彎矩共同作用下的受力性能的分析結果如圖4所示，以軸向約束剛度比β1來表征.Shanley方法的分析結果與ABAQUS有限元模型的分析結果保持一致.在整體受力過程中，Shanley方法與ABAQUS有限元模型的結果都符合很好，在軸向約束較大的情況下，屈曲后的曲線與ABAQUS有限元模型有一定差別，但是相差不大.因此，通過本文改進的Shanley方法，可以得到與ABAQUS有限元計算精度基本一致的軸力－溫度曲線.本文模型可以用于對約束鋼柱火災下性能的分析.

圖4 火災下約束鋼柱受力性能分析結果比較Fig.4 Comparison on columns performance of ABAQUS predication and Shanley method calculation in a fire

4.2 火災下約束鋼柱臨界溫度分析結果比較

ABAQUS有限元模型與Shanley方法對于火災下約束鋼柱在軸力和彎矩共同作用下的受力性能的分析結果如圖5所示.在軸向約束剛度比較小時，Shanley方法得到的臨界溫度與ABAQUS有限元模型得到的臨界溫度一致.當軸向約束剛度比較大時，運用Shanley方法得到的臨界溫度略低于由ABAQUS有限元得到的臨界溫度，最大差值約為70℃.造成差異的主要原因可能是在軸向約束剛度比較大的情況下，鋼柱的塑性應變較大，而Shanley方法采用的是簡化模型，其塑性變形與原鋼柱不完全一樣，所以兩者得到的臨界溫度略有不同.總體而言，對于常用的軸向約束剛度比而言，Shanley方法能對約束鋼柱的抗火性能給出較為精準的描述.

圖5 火災下約束鋼柱臨界溫度分析結果比較Fig.5 Comparison on critical temperature of the restrained column of ABAQUS predication and Shanley method calculation in a fire

5 結論

本文運用改進的Shanley簡化模型對約束鋼柱的抗火性能進行分析.由于Shanley模型在力學上比較明確、簡明，因此用此方法對約束鋼柱進行分析能夠比較清楚地了解到在火災條件下鋼柱的受力和變形過程.模型考慮了軸向溫度膨脹、軸向約束剛度、鋼材的塑性應變等因素的影響，通過與ABAQUS有限元軟件的計算結果對比驗證，證明運用本文的分析方法能夠較為準確地得到鋼柱的軸力溫度曲線，進而得到約束鋼柱的臨界溫度，可以為約束鋼柱的抗火設計提供一種簡單的力學模型.

［1］ SCIF.Investigation of broadgate phase 8fire［R］.Ascot：SCIF Fire Engineering Group，1991.

［2］ Lennon T，Simms C.Elevated temperature column tests：results from phase 1.tech.rep［R］.Garston：Building Research Establishment，1993.

［3］ Lennon T.Elevated temperature column test：results from phase 2［R］.Garston：Building Research Establishment，1994.

［4］ Franssen J M.Failure temperature of a system comprising a restrained column submitted to fire［J］.Fire Safety Journal，2000，34（2）：191.

［5］ WANG Y C.Postbuckling behavior of axially restrained and axially loaded steel columns under fire conditions［J］.Journal of Structural Engineering，2004，130（3）：371.

［6］ Neves I C.The critical temperature of steel columns with restrained thermal elongation［J］.Fire Safety Journal，1995，24（3）：211.

［7］ 王培軍，李國強.軸向約束鋼框架柱火災升溫下屈曲后性能研究 ［J］.同濟大學學報：自然科學版，2008，36（4）：6.

WANG Peijun，LI Guoqiang.Post-buckling behavior of axially restrained steel columns in fire［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2008，36（4）：6.

［8］ Shanley F R.Inelastic column theory［J］.Journal of the Aeronautical Sciences，1947，14（4）：261.

［9］ 李國強，韓林海，樓國彪，等.鋼結構及鋼－混凝土組合結構抗火設計［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2006.

LI Guoqiang，HAN Linhai，LOU Guobiao，et al.Fire protection design of steel structure and steel-concrete composite structures［M］.Beijing：China Architecture and Building Press，2006.

［10］ 陳琛.約束鋼柱抗火性能實用設計方法［D］.上海：同濟大學土木工程學院，2011.

CHEN Chen.Design method of restrained steel columns in fire［D］.Shanghai：College of Civil Engineering of Tongji University，2011.

［11］ 中國工程建設標準化協(xié)會.CECS200：2006建筑結構防火技術規(guī)范 ［S］.北京：中國計劃出版社，2006.

China Association for Engineering Construction Standardization.CECS200：2006 Technical code for fire safety of steel structure in buildings［S］.Beijing：China Planning Press，2006.