審視2012中考動(dòng)態(tài)幾何問題的剖析

郎正松

初中數(shù)學(xué)中，動(dòng)態(tài)幾何問題是近幾年來全國各地中考數(shù)學(xué)試題中的熱點(diǎn)問題，也是學(xué)生得分率較低的問題，它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，函數(shù)為背景，按某種規(guī)律進(jìn)行的問題探索，這類問題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考察學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題能力.

此類問題主要有動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)面三個(gè)方面的問題，其中動(dòng)點(diǎn)問題有單動(dòng)點(diǎn)和雙動(dòng)點(diǎn)兩種類型，無論如何，我們都要注意到“動(dòng)中求靜”在“靜中求解”找到相應(yīng)的關(guān)系式，把想知道的量用常量或自變量的關(guān)系式表示出來，如何幫助學(xué)生分析運(yùn)動(dòng)型幾何問題，怎樣才能更好地解決此類問題，本文從以下幾個(gè)試?yán)屑右苑治?

一、 點(diǎn)在直線（線段）上運(yùn)動(dòng)

例1 （2012·揚(yáng)州）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線L是拋物線的對稱軸.

（1） 求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 設(shè)點(diǎn)P是直線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3） 在直線L上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析 本題第（2）.（3）問，難道較大，也是一道單動(dòng)點(diǎn)問題，（2）問題中求的點(diǎn)P在直線L上運(yùn)動(dòng)的，欲求△PAC的周長最小時(shí)，其中AC是定值，PA+PC是變量，也就是轉(zhuǎn)化PA+PC的最小值，怎樣才能使處于直線L同側(cè)的兩條線段PA、PC為直線呢？利用“對稱原理”實(shí)現(xiàn) “化同側(cè)點(diǎn)為異側(cè)點(diǎn)”將折線和轉(zhuǎn)化為直線段（兩點(diǎn)之間線段最短），點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B，連接BC交直線L的點(diǎn)為P點(diǎn)，故只要將B、C的坐標(biāo)求出，設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.直線x=1與直線L相交的點(diǎn)為所求點(diǎn)，即當(dāng)x=1代入y=kx+b求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可.則此時(shí)的點(diǎn)P，使△PAC的周長最小.

解法 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入，得：3k+b=0b=3，解得：k=-1b=3?！嘀本€BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3.當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即P的坐標(biāo)（1，2）.

例2 （2012·天門）如圖，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng)，點(diǎn)E，G的速度均為2 cm/s，點(diǎn)F的速度為4 cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm2）.

（1） 當(dāng)t=1秒時(shí)，S的值是多少？

（2） 寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍.

（3） 若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似？請說明理由.

分析 本題是一道雙動(dòng)點(diǎn)問題，欲求S與T之間的函數(shù)解析式.首先要明確△EFG的位置，以及點(diǎn)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度，然后分析它們運(yùn)動(dòng)過程中的一般位置和特殊位置，找準(zhǔn)它的臨界點(diǎn)，即“以動(dòng)求靜”“靜中求解”采用分類討論的數(shù)學(xué)思想.例2（2）問題關(guān)鍵點(diǎn)是F，有可能在線段BC上，也可能在線段CD上，這樣就確定了時(shí)間是t=2，t=4將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分為0≤t≤2； 2

此時(shí)AE=2t，EB=12-2t，BF=4t，F(xiàn)C=8-4t，S=8t2-32t+48（0≤t≤2）

如圖乙，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t=2t+8，解得t=4，

當(dāng)2

（3）如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)時(shí)，0≤t≤2，

在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，

①若=，即=，解得t=，

又t=滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t=時(shí)△EBF∽△FCG

②若=，即=，解得t=，

又t=滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t=時(shí)△EBF∽△GCF，

綜上知，當(dāng)t=或時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似

線段在角內(nèi)運(yùn)動(dòng)

例3 （2012·泉州） 已知：A、B、C不在同一直線上.

（1） 若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的⊙O上，

① 如圖①，當(dāng)∠A=45°時(shí)，R=1，求∠BOC的度數(shù)和BC的長度；

② 如圖②，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，求證sin∠A=；

（2） 若定長線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與點(diǎn)A不重合）滑動(dòng)，如圖③，當(dāng)∠MAN =60°，BC=2時(shí)，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點(diǎn)為點(diǎn)P，試探索：在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請說明理由.

分析 例3（2）問是本題的難點(diǎn)，也就是線段在角內(nèi)的滑動(dòng)，導(dǎo)致圖形的位置，數(shù)量關(guān)系的變化，但在“變”中探求“不變”能真實(shí)地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，在解決此類問題的過程中，有時(shí)添加輔助線是必不可少的.但添加輔助線幾乎都遵循這樣一個(gè)原則“構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形，并善于使用前題所采用的方法和結(jié)論.本題（2）就是要添加輔助線連接AP，并取AP的中點(diǎn)K，再分別連接BK、CK，使四點(diǎn)A、B、P、C共圓，使∠BAC是圓周角，BC是圓中的弦.運(yùn)用1）中②的結(jié)論：可以得出sin∠A=.

解法 如右圖，保持不變.

連接AP，取AP的中點(diǎn)K，連接BK、CK，在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK

同理可得BK=AK=PK，∴CK=BK=AK=PK.點(diǎn)A、B、P、C都在半徑

為AP的⊙K上，由（1）中②可知，sin∠MAN=，

∴AP ==（為定值）.故在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離保持不變.

面在平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)

例4 （2012·宿遷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l1：y=x與直線l2

y=-x+6相交于點(diǎn)M，直線l2與x軸相較于點(diǎn)N.

（1） 求M，N的坐標(biāo)；

（2） 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng).設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S.移動(dòng)的時(shí)間為t（從點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)開始計(jì)時(shí)，到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束）。直接寫出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要給出解答過程）；

（3） 在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大？并求出最大值.

分析 本題綜合考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)，矩形的性質(zhì)，圖形的平移等知識，關(guān)鍵是解決第（2）問，此題是一道典型的面動(dòng)問題，圖形在運(yùn)動(dòng)變化，可能滿足條件的情況不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，其實(shí)多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深刻的把握題干，反復(fù)認(rèn)真的審題，明確圖形在某一個(gè)特殊位置和一般位置，所產(chǎn)生出什么樣的幾何圖形.本題（2）關(guān)鍵是確定一些關(guān)鍵點(diǎn)：如B在l1上（第0秒）、A在l1上（第1秒）、C在l1上（第4秒）、D在l1上（第5秒）、B與N重合（第6秒）、A與N重合（第7秒）、所以分五種情況討論；分別畫出圖形，再表示出重疊部分面積.

解法 （2）如下圖：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，重合部分是一個(gè)三角形，OB=t，則高是t，則面積是· t ·t=t2；

當(dāng)1

當(dāng)4

S=t2+t-；

當(dāng)5

當(dāng)6

則：y=t （0≤t≤1）（t-） （1

建議與總結(jié)

1. 提高學(xué)生的識圖能力

平時(shí)教學(xué)中的黑板是很難使圖形運(yùn)動(dòng)變化起來，建議用多謀體軟件，制作運(yùn)動(dòng)幾何圖形課件，使點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)起來，讓學(xué)生經(jīng)歷圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程.使學(xué)生多次體驗(yàn)動(dòng)態(tài)幾何問題的感性認(rèn)識.增強(qiáng)對解決動(dòng)態(tài)幾何圖形的信心.

2. 提高學(xué)生的解題能力

動(dòng)態(tài)幾何圖形運(yùn)動(dòng)類型多樣，變化復(fù)雜，知識廣泛，建議要結(jié)合不同的問題，提煉共同的解題方法，要求學(xué)生學(xué)會(huì)歸納總結(jié)；動(dòng)態(tài)幾何圖形問題一般有三個(gè)步驟：①通常設(shè)出初始變量元素X ②用初始變量X表示圖形其他的變量 ③運(yùn)用已學(xué)知識建立方程或函數(shù)來解決問題.

3. 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

解決動(dòng)態(tài)幾何圖形問題，要能夠利用圖形運(yùn)動(dòng)過程，讓學(xué)生識別圖形中的特殊位置和一般位置，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，能夠分清情況，分類討論解決問題，要讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐畫出特殊位置和一般位置的圖形.讓學(xué)生深刻理解特殊與一般，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法來解決動(dòng)態(tài)幾何問題.動(dòng)態(tài)幾何題不僅體現(xiàn)了新課程提出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”而且有效地考查了學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、猜想、驗(yàn)證、推斷等各種能力，是中考試題的一個(gè)亮點(diǎn).