有理有據(jù) 謹(jǐn)慎求解

提問 對(duì)于問題“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈R+，不等式+≤a恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值”，我的解法是：令y=x，則有2≤a，兩邊同除以，可得a≥，即實(shí)數(shù)a的最小值為.答案確實(shí)是，但老師說我的解法有誤，我錯(cuò)在哪里呢？

回答 很巧，這位同學(xué)問的這道題我班上學(xué)生也做過.全班56名同學(xué)中，有47人算出了正確答案，其中有34位同學(xué)采用了提問中的解法.為什么同學(xué)們會(huì)這樣解呢？因?yàn)槠綍r(shí)的解題容易讓我們產(chǎn)生一個(gè)印象：不等式往往是在其中的元素相等時(shí)取到最值的.真的可以這樣解嗎？

讓我們把問題改編一下：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈R+，不等式+≤a恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值. 按照提問中的解法，令x=y，可得a≥1+，所以不等式+≤1+對(duì)任意的x，y∈R+恒成立.如果我們?nèi)=1，y=2，代入上式可得+≤1+，即≤1+，該式顯然不成立，所以答案肯定有誤.這個(gè)反例從側(cè)面說明，提問中的解法只是湊巧得到了正確答案.

按提問中的解法，當(dāng)x=y時(shí)，不等式+≤·確實(shí)成立，但當(dāng)x≠y呢？題目要求的是對(duì)“任意實(shí)數(shù)x，y∈R+”，不等式都要成立，人為地設(shè)定x=y，然后在這個(gè)前提下求解，從一開始就錯(cuò)了.

對(duì)于求參數(shù)范圍的問題，一般可以通過參數(shù)分離法，將不等式分離為只有一側(cè)含參的形式，再利用基本不等式與均值不等式求出不含參數(shù)這一側(cè)的表達(dá)式的最值；或構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解.

解法一： 原不等式等價(jià)于a≥ （x，y∈R+）恒成立，故只需求出的最大值.由均值不等式≤可得≤，即≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，有最大值，所以實(shí)數(shù)a的最小值為.

解法二： 原不等式等價(jià)于a≥ （x，y∈R+）恒成立，故只需求出的最大值.2==1+≤1+=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，有最大值，所以實(shí)數(shù)a的最小值為.

解法一和解法二都通過參數(shù)分離法，將參數(shù)a與變量x，y分離開來，將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值.對(duì)于，解法一直接代入均值不等式化簡(jiǎn)求解；解法二則用放縮法先對(duì)平方，由均值不等式求得2的最大值為2，再開方還原至，得到的最大值.

這兩種解法都要求掌握基本不等式和均值不等式的相關(guān)公式≤≤≤（a>0，b>0）.對(duì)此例來說，解法二的思路有點(diǎn)“迂回”，但有時(shí)候我們無法直接利用均值不等式或基本不等式求解，就可以考慮使用放縮法，先平方或先開方，求出最值，再還原解出答案.

用解法二也可以求解改編后的問題：原不等式等價(jià)于a≥恒成立，因?yàn)?==1+≤1+=1+2=3，所以≤，即實(shí)數(shù)a的最小值為.