避免簡單錯誤 收獲更多分數(shù)

2013年的高考已經(jīng)迫在眉睫了，在這最后的階段，進行大規(guī)模的練習既不現(xiàn)實也沒必要.我們所要做的，是學習如何在答題時盡量避免那些無謂的錯誤，并借鑒一些答題技巧，盡力爭取多拿分.

今天，我們就一起來分析2012年高考數(shù)學浙江卷（理科）解答題（第18題至22題）的閱卷情況，看看上一屆考生究竟“馬失前蹄”在何處，聽聽閱卷老師給我們的忠告！

在下文中，我們將依次列出2012年高考數(shù)學浙江卷（理科）解答題，并在每道題的解題過程中標注出學長們曾經(jīng)出錯的地方，和同學們一起分析錯誤原因，吸取教訓，提升經(jīng)驗值！

閱卷回顧： 義烏中學 駱琳珺老師

三角函數(shù)解答題難度不大，但得分率并不是非常高.除了計算差錯外，常見的錯誤有兩種：一是沒有厘清數(shù)學概念，或是記錯公式，甚至是一時馬虎，用錯了余弦定理、兩角和展開公式、誘導公式等.二是解題策略使用不當，致使解題過程過于復雜，計算量過大，最后導致錯解.下面的“錯誤1”和“錯誤2”都屬于這類問題.

[2012年高考數(shù)學浙江卷（理科）第18題] 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cosA=，sinB=cosC.

（1） 求tanC的值；

（2） 若a=，求△ABC的面積.

解： （1） 因為0

（2） 由tanC=可得sinC=，cosC=.又由a=，=解得c=.由sinB=cosC可得sinB=.所以S=acsinB=（此處易錯，請看“錯誤2”）.

錯誤1 轉(zhuǎn)化不等價

有些同學由余弦定理得到cosA==即b2+c2-a2=bc，結(jié)合正弦定理得到sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC（*），然后把sinA=，sinB=cosC代入*式，可得9sin2C+45cos2C-5=12sinCcosC，即9sin2C+45cos2C-5（sin2C+cos2C）=12sinCcosC，整理得sin2C+10cos2C-3sinCcosC=0，等式兩邊同除以cos2C，解得tanC=或tanC=2.

之所以會得到tanC的兩個解，是因為存在不等價的轉(zhuǎn)化.三角形內(nèi)角的正弦值在區(qū)間（0，1]上，余弦值在（-1，1）上.因為sinB=cosC，所以cosC>0.同學們對sin2C+10cos2C-3sinCcosC=0求解時，卻沒有考慮到C是三角形的內(nèi)角且sinC，cosC均大于0，而是將sinC，cosC看成可正可負的值，因此擴大了解題范圍，得到了tanC的兩個解.

由于題目要求的是tanC的值，所以我們可以有意識地在sinB=cosC的轉(zhuǎn)化過程中保留有關∠C的三角函數(shù)，這樣就能方便地求出tanC的值.

錯誤2 解題策略不當

用余弦定理求三角形邊長時，會出現(xiàn)二次方程并可能導致兩個解.有的同學就是這樣解的：由a=，=解得c=.由余弦定理得cosA==（*），把a=，c=代入*式可得b2-4b+=0，解得b=或.由sinA=，S=·bcsinA解得S=或S=.

b=其實是個增根.如果我們把b=代入驗算，由cosA=>可知A<.又由===解得sinB=，因為sinB=<，所以B<.由上文的解中可知cosC=>0，故C<.所以A+B+C<++=π，即△ABC的內(nèi)角和不為180°，b=不成立.

既然我們已經(jīng)求出了a=，c=，那么最好是利用S=acsinB求三角形的面積.因為我們已求得cosC=，而由sinB=cosC易求得sinB的值，這樣就能避免對b的兩個值進行驗算了.

閱卷回顧： 蕭山中學 魯智鋒老師

浙江大學附屬中學 馬繼生老師

概率題滿分為14分，全省平均得分約為12分.雖然題目非?；A，但我們也發(fā)現(xiàn)了不少問題.有的同學沒有審清題意，把“取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分”看成了“取出一個白球得1分，取出一個黑球得2分”，題目看錯了，后面的解就全錯了.有的同學在理解上出現(xiàn)了偏差，把組合問題理解成排列問題，把“不放回”問題理解成“放回”問題.還有的同學標錯了題號，白白丟了分數(shù).這些錯誤充分暴露了同學們的一些不良解題習慣.

從閱卷情況看，同學們的運算能力也有待提高.數(shù)據(jù)本身并不復雜，解題思路也沒問題，但最終還是算錯了，這樣的同學不在少數(shù).

[2012年高考數(shù)學浙江卷（理科）第19題] 已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任?。o放回，且每球取到的機會均等）3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和.

（1） 求X的分布列；

（2） 求X的數(shù)學期望E（X）.

解： （1） 由題意得X取3，4，5，6，且P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）== （此處易錯，請看“錯誤1”“錯誤2”）.

所以X的分布列為：

（2） 由（1）知E（X）=3·P（X=3）+4·P（X=4）+5·P（X=5）+6·P（X=6）=.

錯誤1 把組合問題理解成排列問題

題目只要求我們?nèi)〕?個球，可有些同學把問題理解成了依次取出3個球，這相當于給每個球編上號再取球，增加了取球的順序.于是得到了“P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==”的錯誤結(jié)果.

錯誤2 把“不放回”問題理解成“放回”問題

有些同學把“不放回”問題理解成“放回”問題，這樣每次取出白球的可能性都有4種，每次取出黑球的可能性都有5種，球的總數(shù)始終為9個，于是就有“P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=”，這顯然是不合題意的.

閱卷回顧： 余杭高級中學 許映虹老師

說到底，立體幾何問題考查的就是同學們的空間想象能力和邏輯推理能力，閱卷情況也證明，大部分錯誤都是由于同學們?nèi)狈臻g想象力造成的.比如在沒有確定三條直線兩兩垂直的情況下就貿(mào)然建立空間直角坐標系；或者缺乏邏輯依據(jù)，根據(jù)圖象臆斷二面角的平面角等.另一種常見錯誤則是由于混淆概念或誤用公式造成的.

[2012年高考數(shù)學浙江卷（理科）第20題] 如圖1所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M，N分別為PB，PD的中點.

（1） 證明：MN∥平面ABCD；

（2） 過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

解： （1） 如圖2所示，聯(lián)結(jié)BD. 因為M，N分別為PB，PD的中點，所以MN為△PBD的中位線，所以MN∥BD.又MN？埭平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD.

（2） 如圖3所示，聯(lián)結(jié)AC交BD于點O，因為四邊形ABCD為菱形，所以對角線AC，BD相互垂直.以O為原點、OC為x軸、OD為y軸、過點O垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系（此處易錯，請看“錯誤1”）. 因為在菱形ABCD中，∠BAD=120°，所以∠ABC=∠BAC=60°，所以AC=AB=2，BD=AB=6.

又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.

在Rt△PAC中，AC=2，PA=2，所以PC==6.又AQ⊥PC，故AQ==2.由勾股定理可得CQ=2，PQ=4，即=，所以=.

由此可得各點坐標如下：O（0，0，0），P（-，0，2），A（-，0，0），B（0，-3，0），C（，0，0），D（0，3，0）.因為M，N分別為PB，PD的中點，所以M-，-，，N-，，.因為=（-2，0，2），故由=可得Q，0，.

設m=（x，y，z）為平面AMN的法向量.由=，-，， =（0，3，0）可得·m=0，·m=0；解得x=-2z，y=0.取z=-1，得m=（2，0，-1）.

設n=（a，b，c）為平面QMN的法向量，由=-，-，，=-，，可得·n=0，·n=0.取c=5，得n=（2，0，5）.

于是cos〈m，n〉==（此處易錯，請看“錯誤2”），所以二面角A-MN-Q的平面角（此處易錯，請看“錯誤3”“錯誤4”）的余弦值為.

錯誤1 主觀臆斷，建立直角坐標系

因為∠BAD=120°，所以AB不垂直于AD.有些同學只憑以往解題的經(jīng)驗，未經(jīng)思考便將∠BAD認作直角，如圖4所示，以A為原點，AB，AD，AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系A-xyz，于是后面的努力都付諸東流了.

錯誤2 公式記憶錯誤

向量夾角公式為cos〈m，n〉=.空間內(nèi)點到平面α的距離公式為d=，其中A為平面α外一點，B為平面α內(nèi)任意一點，l表示平面α的法向量.有些同學混淆了這兩個公式，把求得的m，n代入d=中求解，自然就出錯了.

錯誤3 主觀臆斷二面角

有些同學直接由圖象判定∠AMQ為二面角A-MN-Q的平面角，有些同學則認為∠ANQ是二面角A-MN-Q的平面角.MN為二面角A-MN-Q的交線，若∠AMQ為二面角的平面角，則意味著AM⊥MN，QM⊥MN，所以MN⊥平面AMQ.因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又MN∥BD，所以PA⊥MN.因為BD⊥AC，所以MN⊥AC，故MN⊥平面PAC.由此可得平面AMQ與平面PAC平行或重合.由圖4可知這顯然不成立，故∠AMQ不是二面角的平面角.同理可知，∠ANQ也不是二面角A-MN-Q的平面角.

在求解數(shù)學題時，每一個結(jié)論都需要條件的支持，一定要根據(jù)條件進行推理，切勿主觀臆斷.

錯誤4 空間想象力薄弱

MN是△PBD的中位線且與PA是異面直線，兩者無交點.有些同學被圖象迷惑，誤以為PA與MN相交，于是設PA與MN交于點S，聯(lián)結(jié)SA，SQ，認為∠ASQ就是二面角A-MN-Q的平面角，而∠ASQ根本就不存在.用幾何法確定二面角A-MN-Q的平面角的正確解法如下：

如圖5所示，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又在菱形ABCD中，AB=AD，結(jié)合PA為Rt△PAB與Rt△PAD的公共邊可得△PAB≌△PAD，所以PB=PD.又BC=CD，PC為△PBC與△PDC的公共邊，所以△PBC≌△PDC.

因為M，N分別是PB，PD的中點，由△PAB≌△PAD，△PBC≌△PDC可得AM=AN，QM=QN，即△AMN與△QMN均為等腰三角形.

取MN的中點E，聯(lián)結(jié)AE，QE，可得AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ就是二面角A-MN-Q的平面角.

閱卷回顧： 嘉興市第一中學 姚麗芳老師

解析幾何大題雖然有一定難度，但考查的都是通性通法.在閱卷中，我們發(fā)現(xiàn)了不少基礎性的錯誤，比如對圓錐曲線的相關概念、定義、公式理解有誤，或是盲目套用公式、定理等，這都體現(xiàn)了同學們對基礎知識的掌握比較薄弱.

注重細節(jié)也很重要.解析幾何題往往需要討論參數(shù)的取值范圍、考慮直線斜率是否存在、分類討論端點問題等，對計算能力要求也比較高，同學們應力求仔細，否則即使解題思路對了，也有可能算錯答案.

[2012年高考數(shù)學浙江卷（理科）第21題] 如圖6所示，橢圓C：+=1 （a>b>0）的離心率為，其左焦點到點P（2，1）的距離為.不經(jīng)過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分.

（1） 求橢圓C的方程；

（2） 求△ABP面積取最大值時直線l的方程.

解： （1） 設橢圓的左焦點為F（-c，0），由題意可知=，解得c=1或c=-5.因為c>0，故c=1（此處易錯，請看“錯誤1”）.又因為橢圓的離心率e==，所以a=2，所以b2=a2-c2=22-12=3，因此橢圓C的方程為+=1（此處易錯，請看“錯誤2”）.

（2） 因為O（0，0），P（2，1），故直線OP的方程為y=x.因為直線OP平分線段AB（此處易錯，請看“錯誤3”），而直線l不過原點O，故直線l的斜率k一定存在且l在y軸上的截距不為0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點為M，直線l的方程為y=kx+b （b≠0）.

聯(lián)立直線l與橢圓C的方程有y=kx+b，+=1；整理得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0（*），則Δ=64k2b2-4（3+4k2）（4b2-12）>0.由韋達定理可得x1+x2=-，x1x2=；所以M-，.

因為M在直線OP ： y=x上，所以=·-，解得b=0 （舍去）或k=-.

把k=-代入*式可得3x2-3bx+b2-3=0，所以x1+x2=b，x1x2 =.由Δ=3（12-b2）>0解得-2

因為AB==，點P（2，1）到直線l：3x+2y-2b=0的距離d==，所以S=·AB·d=··=·，其中b∈（-2，0）∪（0，2）.

令f（b）=（b-4）2（12-b2），則f′（b）=-4（b-4）（b2-2b-6）=-4（b-4）（b-1-）（b-1+）.

令f′（b）=0，則b=4 或b=1±，由穿根法作出f′（b）的圖象.因為-2

錯誤1 對橢圓的幾何意義理解有誤

不少同學對橢圓中a，b，c的幾何意義理解有誤，認為橢圓的半焦距c作為左焦點的橫坐標時應取負值，于是出現(xiàn)了以下混亂的解法：設橢圓的左焦點為F（-c，0），由題意可知=，解得c=1或c=-5.因為F是橢圓的左焦點，所以c=-5.

半焦距c始終是一個正實數(shù)，橢圓在x軸上的左、右焦點可分別設為（-c，0），（c，0）.

錯誤2 公式記憶錯誤

橢圓的標準方程應該是+=1，有些同學把橢圓的標準方程記成了+=1，于是得到橢圓的方程為+y2=1.類似的錯解還有+=1，+=1等，這都是對基本概念和基本公式記憶模糊、理解不到位造成的.

錯誤3 濫用中垂線定理

條件“線段AB被直線OP平分”并不代表“AB⊥OP”，有些同學想當然地把中垂線定理用到解題中，看到“線段AB被直線OP平分”就默認AB⊥OP，于是得到kAB=-=-2.這種錯誤不僅反映出同學們對定理不夠熟悉，沒有意識到定理、公式的適用范圍，還體現(xiàn)了部分同學解題缺乏嚴密性.

閱卷回顧： 杭州師范大學附屬中學 冉 斌老師

對于壓軸題，大多數(shù)同學都是匆忙作答，小部分同學則壓根沒做.但多數(shù)錯誤仍然比較基礎，主要體現(xiàn)為對基本知識理解有誤、沒有掌握基本方法等.比如沒有考慮到b的取值范圍就貿(mào)然令f′（x）=0并求解，沒有結(jié)合定義域的范圍求解等.從閱卷情況來看，同學們的典型錯誤主要集中在第（1）問，方便起見，我們在此只分析第（1）問的解答.

[2012年高考數(shù)學浙江卷（理科）第22題] 已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1） 證明：當0≤x≤1時，①函數(shù)f（x）的最大值為2a-b+a；② f（x）+2a-b+a≥0；

（2） 若-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

解： （1） ① f′（x）=12ax2-2b=12ax2-（0≤x≤1）（此處易錯，請看“錯誤1”“錯誤2”）.

當b≤0時，因為a>0，所以x2-≥0，故f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）max=f（1）=3a-b=2a-b+a.

當b>0時，f（x）在0，上單調(diào)遞減，在，+∞上單調(diào)遞增.

當≥1即b≥6a時，由0≤x≤1可得f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，故f（x）max=f（0）=b-a=2a-b+a.

當<1即00即b<2a時，

f（x）max=f（1）=3a-b=2a-b+a；當f（1）-f（0）≤0即b≥2a時， f（x）max=f（0）=b-a=2a-b+a.

綜上可得，函數(shù)f（x）的最大值為2a-b+a.

②要證f（x）+2a-b+a≥0，只要證f（x）min+2a-b+a≥0即可.由①可得f（x）的最大值為2a-b+a，故問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞Cf（x）min+f（x）max≥0.記S=f（x）min+f（x）max.

由①可知，若b≤0，則f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，故f（x）min=f（0）=-a+b，f（x）max=f（1）=3a-b，所以S=f（x）min+f（x）max=f（0）+f（1）=2a.因為a>0，所以S=2a>0.

若b>0，則f（x）在0，上單調(diào)遞減，在，+∞上單調(diào)遞增.

當≥1即b≥6a時， f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以S=f（x）min+f（x）max=f（1）+f（0）=（3a-b）+（b-a）=2a>0.

當<1即0

當f（1）-f（0）>0即b<2a時， f（x）max=f（1）=3a-b，則S=f+f（1）=2a->b-·>b-=b1->0.

當f（1）-f（0）≤0即b≥2a時，f（x）max=f（0）=-a+b，則S=f+f（0）=2b-2a-=2a-1-.令t=，由0≤2a≤b<6a可得≤t<，-1-=t2-1-t3，記g（t）=t2-1-t3，可得g′（t）=2t-t2=>0，所以g（t）在[，）上單調(diào)遞增，g（t）min=g（）=1->0，所以S=2a·g（t）>0.

綜上可得， f（x）+2a-b+a≥0.

錯誤1 沒有全面考慮問題

有的同學令f′（x）=0，解得x=±.但由于我們不知道b的正負，所以±未必成立，故這種解法是錯誤的.

錯誤2 沒有結(jié)合定義域求解

對于函數(shù)問題，一切討論都要在定義域的范圍內(nèi)進行.如錯誤1，有的同學令f′（x）=0，解得x=±，得出了“f（x）在-∞，-和，+∞上單調(diào)遞增，在-，上單調(diào)遞減”的錯誤結(jié)論.即使b>0，這種解法仍然有誤，因為它沒有考慮是否位于定義域[0，1]內(nèi)，即沒有討論與0，1的大小關系.

錯誤3 缺乏嚴密的論證

當0

f=-a+b-.很多同學解到這里，就不知道該怎么辦了，于是“渾水摸魚”，亂寫一通，直接得出“f（x）min+2a-b+a≥0”，這樣是不被認可的，因為這一步的證明是此題最重要的采分點.

通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)錯誤可以總結(jié)為以下幾類：沒有掌握基礎知識導致概念理解錯誤、公式用錯，沒有掌握基本方法，缺乏空間想象能力，運算能力低下，等等.這些錯誤之處看似基礎，卻恰恰體現(xiàn)了高考考查的重點——對基礎知識與基本方法的掌握.為此，建議同學們在最后的復習階段深入理解概念，厘清每個公式、定理成立的特定條件和背景，掌握通性通法.在解題時要審清題意，理解問題的本質(zhì)，并通過適當?shù)木毩暎嵘约旱倪\算能力.

要想在高考時少失分、多拿分，除了掌握基礎知識和基本方法，還須做到以下幾點：

（1） 不要把解題過程寫到答題線以外.高考采用計算機閱卷，閱卷老師批改的是掃描答卷的電子版本，由于答題線以外部分不能被掃描，所以寫在答題線以外的答案不能得分.

（2） 對于不會做的題目，不要輕易放棄，列出一些相關的公式或知識，往往能得到一些分數(shù).

（3） 除非你有更好的解答或確信自己做錯了，否則千萬不要把自己已經(jīng)寫上的內(nèi)容劃掉.錯誤的內(nèi)容即使保留在卷面上也不會被倒扣分.如果你在解題時有不同的思路，根據(jù)不同的思路解出的答案不一樣，而你又不確定哪種答案是對的，最好把兩種答案都寫上.

（4） 書寫有序，方便老師找到采分點.很多同學書寫十分混亂，根本找不到答案在哪里，閱卷老師很難找到采分點，這樣就容易失分了.

（5） 仔細核對題號.有些同學明明解對了問題，卻把題號標錯了，因為這個原因失分真是非?？上?