也談學(xué)生估算能力的培養(yǎng)

平國強

估算是一種不同于口算和筆算的運算形式，它是以口算和筆算為基礎(chǔ)和支持，對計算結(jié)果作出一種粗略的、一定數(shù)量級精度上的估計與判斷，是小學(xué)數(shù)學(xué)計算學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。估算能力更是小學(xué)數(shù)學(xué)能力的重要方面，這種能力對學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展具有重要的意義，可以說，在日常生活和工作中，估算應(yīng)用的頻繁性和廣泛性，甚至超過了精確計算。

估算不僅僅是知識與方法，從本質(zhì)上說，估算是一種能力。因為估算雖然有一些基本的思路與方法，如盡量取整、利用口算等，但是，這些都是最基本和原則性的方法。在實際的估算過程中，估算方法非常靈活，常取決于情境與問題的需要，這是“估算”與執(zhí)行規(guī)定的法則和程序進(jìn)行計算的“筆算”的最大區(qū)別，可以說“估算有法，但無定法”。因此，我們認(rèn)為估算能力由以下幾個方面構(gòu)成：1.強烈的估算意識。這是估算能力不斷提高的觀念基礎(chǔ)和內(nèi)在動力，它是學(xué)生在不斷經(jīng)歷各種估算的情境、解決各種估算問題的過程中逐步形成的。2.良好的數(shù)感。數(shù)感是估算能力的內(nèi)核，它是學(xué)生對數(shù)據(jù)特征、相互關(guān)系、數(shù)據(jù)意義與大小等方面的敏感度和對估算方法選擇、估算結(jié)果的原則判斷等方面的能力。3.扎實的計算技能。這是估算能力的技術(shù)基礎(chǔ)，主要是指有較高的口算、筆算的熟練程度與正確率。4.豐富的經(jīng)驗積累與策略的運用。這是估算能力的訓(xùn)練重點，需要通過各種真實情境和結(jié)構(gòu)性材料的提供，讓學(xué)生積累解決估算問題的有效經(jīng)驗，促進(jìn)思維的靈活性與變通性。所以，培養(yǎng)學(xué)生估算能力，應(yīng)該從以下幾個方面著手。

一、要讓學(xué)生擁有良好的估算意識

學(xué)生的估算意識是在長期的估算經(jīng)歷和估算問題解決中培養(yǎng)起來的，因此估算意識培養(yǎng)最重要的是不斷創(chuàng)造機會，提供有效的估算材料、真實情境和豐富問題。首先，要結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的各個內(nèi)容滲透估算。在口算、筆算、圖形計算和解決問題等內(nèi)容的教學(xué)中，教師都應(yīng)該創(chuàng)造一切機會引導(dǎo)學(xué)生在“算前”和“算后”分別用估算估計結(jié)果和對結(jié)果的正確性作初步的判斷，樹立“估算無處不在”的觀念。其次，教師本身在教學(xué)中要有估算訓(xùn)練的意識，要善于發(fā)現(xiàn)和利用一切材料向?qū)W生提出估算的問題。一方面要挖掘教材中的估算因素為教學(xué)所用，例如圖1是四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”（筆算）中的一道習(xí)題，按教材的編寫，題目明確地告訴學(xué)生這三道題計算都是錯誤的，學(xué)生只需根據(jù)法則再算一遍即可，但如果教師在教學(xué)中將題目的要求改成“題目中的計算有否錯誤？如果有，說出錯誤的原因并改正”的話，學(xué)生就首先要進(jìn)行結(jié)果是否正確的判斷，而在這個判斷過程中，估算就是一個重要的策略。如“134×16→134×10=1340；152×23→150×20=3000；246×34→240×30+240×4=7200+960”，很快就能作出計算都有錯誤的有效判斷。這樣，既挖掘了教材的估算因素，又體現(xiàn)了估算對計算結(jié)果判斷的價值，創(chuàng)造了估算的機會，促進(jìn)了能力的提高。

圖1

再如，圖2也是教材中的一道習(xí)題，教學(xué)的重點應(yīng)該是在學(xué)生自己填寫估算結(jié)果并交流的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生討論和提煉估算的方法，讓學(xué)生明確：除數(shù)是一位數(shù)的估算應(yīng)轉(zhuǎn)化為“整百數(shù)或幾百幾十?dāng)?shù)÷一位數(shù)”比較合理，除數(shù)是兩位數(shù)的估算應(yīng)轉(zhuǎn)化為“整百數(shù)或幾百幾十?dāng)?shù)÷整十?dāng)?shù)”比較方便。這無疑是估算的重要經(jīng)驗，但此前的例題教學(xué)并沒有類似的提煉，因此這樣的討論總結(jié)對豐富學(xué)生的經(jīng)驗是非常重要的。

圖2

另一方面，教學(xué)過程中的很多環(huán)節(jié)，同樣蘊含著豐富的估算資源，教師要充分地利用，尤其是涉及計算的環(huán)節(jié)，要有一種“大計算”觀念，培養(yǎng)綜合性的計算能力，不要只將目光緊緊盯在精確結(jié)果上。例如，下面是一位教師教學(xué)五年級“商的近似值”中新課展開部分的簡要過程：

1.初步體會：（出示）牛奶每盒（3瓶裝）5.5元；蛋糕每盒（4塊裝）9.5元。（1）提出問題：每瓶（塊）多少元？（2）學(xué)生計算并板演；（3）討論板演題，并說說實際要付多少元；（4）板書： 5.5÷3≈1.83（元），9.5÷4≈2.38（元）。

2.深入討論：（出示）40÷14（得數(shù)保留一位小數(shù)）。（1）學(xué)生練習(xí)；（2）匯報交流（討論答案的三種情況：2.857…，2.9，2.8）；（3）交流保留的方法和答案；（4）總結(jié)：歸納商的近似值的求法。

3.明確方法：（出示）45.5÷38（得數(shù)保留整數(shù)、保留兩位小數(shù)），先說說應(yīng)該除到哪一位，再計算。

4.鞏固方法：（出示）26.37÷31（得數(shù)保留一位小數(shù)）。（1）學(xué)生練習(xí)；（2）匯報交流并用計算器檢驗。

這是一節(jié)典型的計算規(guī)則教學(xué)課，實際上，此課既是計算內(nèi)容，又是求商的近似值，其間毫無疑問有大量的估算資源可以利用。例如，每一次計算之前教師都可以引導(dǎo)學(xué)生先估一估結(jié)果，并交流一下你的估算方法和策略，從而豐富學(xué)生的估算經(jīng)驗，但可惜的是教師在整個教學(xué)過程中都沒有讓學(xué)生去估，目標(biāo)只關(guān)注了“取近似值的方法和結(jié)果”，顯得過于單薄，估算訓(xùn)練的意識有缺。

二、要讓學(xué)生形成正確的數(shù)概念和扎實的運算技能

估算的方法是靈活多變的，經(jīng)常要用到“數(shù)的拆分”“數(shù)的近似值”等知識，因此良好的數(shù)概念是估算的基礎(chǔ)。與筆算純粹按形式化的規(guī)則與程序進(jìn)行計算相比，估算更多地依賴于數(shù)的意義、計數(shù)單位及組成等方面的知識，因此數(shù)概念的教學(xué)，同樣是為估算做準(zhǔn)備的。同時，良好的計算基礎(chǔ)，是估算得以順利進(jìn)行的技術(shù)保障，是必不可少的。研究一下教材就會發(fā)現(xiàn)，從二上年級到四上年級，教材每個學(xué)期都安排了估算的教學(xué)內(nèi)容。同時，估算內(nèi)容前面都編排有口算或筆算教學(xué)，顯然，這些口算或筆算是后面估算方法的基礎(chǔ)。筆者整理了這幾冊教材主要的口（筆）算與估算內(nèi)容，見下表。

年級 口算或筆算內(nèi)容 估算內(nèi)容

二上 整十?dāng)?shù)加、減整十?dāng)?shù)、一位數(shù)。 100以內(nèi)兩位數(shù)加、減法估算。

二下 幾百幾十加、減幾百幾十。 三位數(shù)加、減法估算。

三上 整十?dāng)?shù)、整百數(shù)乘一位數(shù)；幾百幾十加、減幾百幾十。 兩位數(shù)乘一位數(shù)估算；三位數(shù)加減兩、三位數(shù)估算。

三下 整百、幾百幾十除以一位數(shù)；整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)。 兩、三位數(shù)除以一位數(shù)估算；兩位數(shù)乘兩位數(shù)估算。

四上 幾百幾十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)；整百、幾百幾十除以整十?dāng)?shù)。 三位數(shù)乘兩位數(shù)估算；三位數(shù)除以整十?dāng)?shù)或幾百幾十除以兩位數(shù)估算。

顯然，掌握好以上這些口算和筆算，可以直接提高估算的能力。但同時也必須認(rèn)識到兩點：一是教材編排的這些估算內(nèi)容和估算方法，僅僅是最簡單和最基本的方法，良好的估算能力絕不僅僅靠這些就夠了；二是從四下年級開始，教材不再安排估算內(nèi)容的教學(xué)，這并不意味著四下年級開始就可以不關(guān)注估算，恰恰相反，筆者認(rèn)為，四下以前是學(xué)習(xí)估算的基本方法階段，四下開始是估算能力的提高與發(fā)展階段，是運用估算方法和策略靈活解決各種估算問題的階段，是真正體會估算的應(yīng)用價值的階段。

三、要讓學(xué)生有效總結(jié)與積累估算的策略

估算作為一種能力，集中表現(xiàn)在估算過程中需要運用各種有效策略，可以說“幾乎不存在不用策略的估算”，有效的估算，都會或多或少用到一定的策略與方法。一般說來，常用的估算策略有：1.根據(jù)問題情境的現(xiàn)實背景確定估算的精度與范圍；2.靈活變通地運用相關(guān)知識和方法估算；3.將一組數(shù)據(jù)移多補少來估算均值或總值；4.根據(jù)得數(shù)的尾數(shù)來估算結(jié)果是否正確；5.將相關(guān)數(shù)據(jù)放大或縮小來估算得數(shù)的范圍；6.設(shè)置極端情況進(jìn)行估算……教材中都有這些策略的相關(guān)內(nèi)容或情境設(shè)計，但并未進(jìn)行明確提煉。因此，教師通過提供良好的估算情境，引導(dǎo)學(xué)生解決問題以后進(jìn)行必要的策略提煉，對豐富學(xué)生的估算經(jīng)驗、提高估算能力是非常必要的，尤其是對第二學(xué)段的學(xué)生更是一種有效的提升。

例如，“學(xué)校大禮堂一共有310個座位，四年級有6個班，平均每班45人，全年級開會，座位夠嗎？”這樣的問題估算，就應(yīng)該根據(jù)問題情境的實際背景將結(jié)果估大一些更好，即45×6→50×6=300<310，因而座位是夠的，這樣得出的結(jié)論就更加可靠一些。再比如，“已知×是一個三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，把下面四個數(shù)中有可能是它得數(shù)的數(shù)圈出來（3042，6538，10332，32512）”，這是一個非策略不能解決的估算問題。合理的思考過程是：首先，這個算式的積的尾數(shù)應(yīng)該是2，故“6538”是不可能的，可以排除。其次，從結(jié)果的范圍來看，放大兩位數(shù)：×→×100<30000，即得數(shù)最大不會超過30000，故“32512”可以排除；縮小兩位數(shù)：×→207×16>3042，即得數(shù)最小也必定超過3042，故只有“10332”這個答案是可能的。在整個過程中，用到了多種估算的策略。試想，如果學(xué)生在回答“45×（+ ）的積與45相比，誰大誰小”這樣的問題時，能經(jīng)歷如下的估算過程：“和都大于，>=，所以+>+=1，故積比45大”，那么學(xué)生在知識掌握的靈活性和知識應(yīng)用的變通性方面就非常好了，這恰恰也是估算能力的重要方面。

事實上，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對估算教學(xué)要重視策略提煉有明確的要求，下面就是課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個案例：圖3中每個小正方形為1個面積單位，試估計曲線所圍圖形的面積。

圖3

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的建議是：要幫助學(xué)生養(yǎng)成事先做好規(guī)劃的習(xí)慣，可以運用不同的方法估計圖形的面積，例如，方法1，可以數(shù)出圖形內(nèi)包含的完整小正方形數(shù)，估計這個圖形的面積。方法2，在上面的基礎(chǔ)上，再加上圖形邊緣接觸到的所有小正方形數(shù)，估計這個圖形的面積?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，方法1估計的比實際面積小，方法2估計的比實際面積大。實際面積應(yīng)在這兩個估計值之間。在此基礎(chǔ)上還可以引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法進(jìn)行估計，學(xué)生通過記錄、計算、比較等，體會估計的意義和方法。對于學(xué)有余力的學(xué)生，可以引導(dǎo)他們將所有的小正方形等分成更小的正方形，探索更接近實際面積的估計值。

顯而易見，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的案例明確地提出了估算教學(xué)不僅僅是估出結(jié)果，還應(yīng)關(guān)注估算的策略積累和經(jīng)驗提升，這是估算能力的內(nèi)涵與估算教學(xué)的重心。

四、要讓學(xué)生在寬容的評價中積極估算

評價是估算教學(xué)中重要的方式與手段，恰當(dāng)?shù)?、具有策略性的評價對學(xué)生的估算興趣和能力有著引領(lǐng)和促進(jìn)作用。教師對學(xué)生的估算進(jìn)行評價，首先要關(guān)注的是估算的方法與策略，要引導(dǎo)學(xué)生交流自己的估算方法，說說自己為什么這樣估算，只要是采用了合理的方法和策略的，都應(yīng)該得到肯定并給予積極的評價。其次，對于估算結(jié)果的評價，應(yīng)避免太過于苛刻。事實上，估算的結(jié)果是否合理，并不以它是否接近于精確答案為判斷標(biāo)準(zhǔn)，而是看它是否符合問題情境和現(xiàn)實背景對答案精度的要求。因此，為了能鼓勵學(xué)生大膽、真實地估算，教師對估算結(jié)果的要求應(yīng)該寬容一些，只要學(xué)生估算的答案在一定的合理范圍之內(nèi)，就應(yīng)該得到肯定，這是估算教學(xué)評價的關(guān)鍵所在。例如，“每桶油48元，買18桶油大約需要帶多少元？”這樣一道題，筆者認(rèn)為，只要學(xué)生估算的答案在800元～1000元之間，都應(yīng)該是正確的。教學(xué)中對估算答案的評價，應(yīng)努力避免學(xué)生為追求答案的精確而不敢大膽自主地估算的現(xiàn)象。下面是一道PISA估算測試題及評分標(biāo)準(zhǔn)，或許有一定的啟發(fā)。

題目：圖4是一幅南極洲地圖，請你利用圖中的比例尺（略）估計它的面積，并解釋你是如何得到的。（滿分2分）

評分標(biāo)準(zhǔn)：

得2分：1.用正方形或長方形來估計，答案在12000000與18000000（km?）之間（對單位不作要求，下同）；2.用圓來估計，答案在12000000與18000000（km?）之間；3.分成幾個規(guī)則的幾何圖形，將各個部分的面積加起來，答案在12000000與18000000（km?）之間；4.用其他方法，答案在12000000與18000000（km?）之間。

得1分：以上各種方法，但結(jié)果不正確或不完整。

圖4

可以看出，評分標(biāo)準(zhǔn)更關(guān)注的是學(xué)生估算的方法與策略，并列出了多種估算的策略，如果運用了這些方法和策略，即使結(jié)果不正確或不完整，也能得到一半的分?jǐn)?shù)，而標(biāo)準(zhǔn)對估算結(jié)果只提出了一個寬泛的范圍，這個范圍的允許誤差達(dá)到了50%，這應(yīng)該可以給教學(xué)以有效的借鑒。

綜合以上的論述，筆者想以圖5的模型揭示估算能力的構(gòu)成及其培養(yǎng)策略：

圖5

以上的模型表達(dá)了這樣的觀點：估算能力是一種綜合性的能力，這種能力的培養(yǎng)須貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，而教師在教學(xué)過程中的訓(xùn)練意識與問題設(shè)計至關(guān)重要。這是本文想要表達(dá)的主要想法，筆者愿用以上的觀點與讀者探討。

（浙江省杭州市普通教育研究室 310003）