分部積分公式及其應(yīng)用的原理分析

黃麗云

【摘要】對不定積分公式的來源、基礎(chǔ)作分析，進而指出分部積分公式的應(yīng)用原理，以幫助學(xué)生加深對不定積分的認(rèn)識，靈活地用好分部積分公式，提高計算積分的能力.

【關(guān)鍵詞】不定積分；分部積分公式；導(dǎo)數(shù)

一、引 言

分部積分公式是計算積分的重要公式之一，但對于具體的積分問題，選取公式中的函數(shù)u與v′（或dv）具有較大的靈活性，初學(xué)者不易把握.文＼[1＼]中指出，選取u和v′一般要考慮兩點：（1） v要容易求得.（2）∫vdu要比∫udv容易積出.對于第一點，把有積分公式的函數(shù)選作v′，v自然容易求得；但對于第二點，往往難于把握，若對可能的幾種選法都作試探比較則很費時.因此，討論如何選取u與v′的文獻很多，人們還總結(jié)了積分中常出現(xiàn)的基本初等函數(shù)選作v′的優(yōu)先順序，具有很強的實用性.本人在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)實踐中，力圖在思想方法、辯證原理等方面引導(dǎo)學(xué)生作更多思考.對于不定積分，應(yīng)用辯證原理分析公式的來源、基礎(chǔ)，有利于學(xué)生更好地理解分部積分公式及其應(yīng)用原理，靈活地用好公式，提高計算積分的能力.

二、公式來源分析

不定積分的定義是非構(gòu)造性的，從它自身的定義出發(fā)，直接開展討論很困難.

定義：函數(shù)f（x）在區(qū)間I的所有的原函數(shù)F（x）+C（C∈R）稱為函數(shù)f（x）的不定積分，表為

∫f（x）dx=F（x）+C （F′（x）=f（x））.

定義中并沒有明確給出求原函數(shù)的具體公式，因此，計算不定積分比求解有明確公式的問題困難得多.對于非構(gòu)造性定義，應(yīng)用事物總是相輔相成或相反相成的原理，借助其反面來討論是一種常用的思路，不定積分正是如此.將導(dǎo)數(shù)公式表中的公式反轉(zhuǎn)過來得到基本積分表，由函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)公式推得代數(shù)和的不定積分公式，由函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式則得到了分部積分公式，至于函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)公式，其形式較復(fù)雜，因此很少利用它來討論函數(shù)之商的不定積分，而是把商的積分視為乘積的積分來處理.

三、公式基礎(chǔ)分析

對于上述積分公式，分析其基礎(chǔ)——導(dǎo)數(shù)公式的規(guī)律、特點，有助于理解和用好這些積分公式.導(dǎo)數(shù)公式表給出了各類基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比較求導(dǎo)前后的兩個函數(shù)的形式，以下四類特征值得關(guān)注.