“一點(diǎn)法作圖 ” 在三角函數(shù)圖像變換中的妙用

陳光建　陳樂炳

學(xué) 315201）

三角函數(shù)是高考中的一大熱點(diǎn)，其中三角函數(shù)圖像更是三角函數(shù)中最重要的內(nèi)容之一，有效利用三角函數(shù)圖像是解決三角函數(shù)問題的關(guān)鍵，而三角函數(shù)圖像變換問題一直是高中學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，總會在不經(jīng)意間出錯(cuò)，現(xiàn)筆者通過對三角函數(shù)圖像作法的一點(diǎn)小改進(jìn)，作三角函數(shù)圖像變換問題的探討如下：

一、一點(diǎn)法作圖

高中數(shù)學(xué)對三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像常采用五點(diǎn)法作圖，其中要求學(xué)生對正弦函數(shù)的圖像有所熟悉.筆者認(rèn)為既然學(xué)生作圖時(shí)需要對正弦函數(shù)的圖像有一定的認(rèn)識，那么作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像時(shí)只需確定一點(diǎn)即可， 故稱“一點(diǎn)法作圖”.即令ωx+φ=0，求得x=x1=-φω，在平面直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)（x1，0），并在對正弦函數(shù)圖像熟悉的基礎(chǔ)上，可迅速作出y=Asin（ωx+φ）的圖像.

如若需要知道該圖像中（x2，A），（x3，0），（x4，-A），（x5，0）的坐標(biāo)，可借助周期簡單求得xi=x1+i-14T=-φω+（i-1）π2ω（i=2，3，4，5）.

二、點(diǎn)的定義

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中，在一點(diǎn)法作圖的基礎(chǔ)上定義點(diǎn)（x1，0）為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的第一個(gè)點(diǎn)， 并分別定義點(diǎn)（x2，A），（x3，0），（x4，-A），（x5，0）為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的第二，三，四，五個(gè)點(diǎn).

三、“點(diǎn)”的妙用

例1 （2008天津卷）把函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動π3個(gè)單位長度，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像所表示的函數(shù)是（ ）.

A.y=sin2x-π3，x∈R B.y=sinx2+π6，x∈R

C.y=sin2x+π3，x∈RD.y=sin2x+2π3，x∈R

分析 可設(shè)變換后的函數(shù)解析式為y=sin（ωx+φ），由題意可知：ω=2.而變換前后的兩函數(shù)的第一個(gè)點(diǎn)必定重合，原函數(shù)第一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，經(jīng)平移后變?yōu)?π3，經(jīng)伸縮變換后變?yōu)?π6，所以2×-π6+φ=0，∴φ=π3.故選C.

變式 函數(shù)y=sin13x+π6的圖像經(jīng)過怎樣的伸縮平移變換后可得到函數(shù)y=sin（x-π6）的圖像？

分析 只要使兩函數(shù)的第一個(gè)點(diǎn)重合即可，令13x+π6=0，x=-π2，所以原函數(shù)第一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-π2，變換后函數(shù)的第一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為π6，比較兩函數(shù)的ω值可知橫坐標(biāo)應(yīng)縮小到原來的13，所以將-π2縮小到原來的13得到-π6，只需再向右平移π3個(gè)單位即可.即將函數(shù)y=sin13x+π6的橫坐標(biāo)縮小到原來的13，再向右平移π3個(gè)單位

例2 為得到函數(shù)y=cos2x+π3的圖像，只需將函數(shù)y=sin2x的圖像（ ）.

A.向左平移5π12個(gè)長度單位

B.向右平移5π12個(gè)長度單位

C.向左平移5π6個(gè)長度單位

D.向右平移5π6個(gè)長度單位

分析 在了解函數(shù)y=sinx和y=cosx圖像的基礎(chǔ)上可知，將正弦函數(shù)的第二個(gè)點(diǎn)與余弦函數(shù)的第一個(gè)點(diǎn)平移至重合，即可解決正弦函數(shù)，余弦函數(shù)之間的平移問題.

令2x=π2，∴x=π4，即函數(shù)y=sin2x第二個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為π4；函數(shù)y=cos2x+π3第一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-π6，將點(diǎn)π4，1向左平移5π12可得到點(diǎn)-π6，1，選A.

例3 （2009陜西卷）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R其中A>0，ω>0，0<φ<π2的圖像與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π2，且圖像上一個(gè)最低點(diǎn)為M2π3，-2 ，求f（x）的解析式.

分析 由題意，可簡單求得ω=2，A=2.所以f（x）=2sin（2x+φ），而點(diǎn)M2π3，-2具有第四個(gè)點(diǎn)的特征，所以2×2π3+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π6.又因?yàn)?<φ<π2，所以φ=π6，∴f（x）=2sin2x+π6.

“一點(diǎn)法”與“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖像在本質(zhì)上沒有多大的區(qū)別，但在實(shí)際操作過程中會大大簡化作圖的過程，同時(shí)也避免了太多過程而帶來的錯(cuò)誤.而在對“一點(diǎn)法作圖”理解的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用點(diǎn)的特征，能非常方便的解決三角函數(shù)圖像變換，求解析式等問題.