試論序列的拆分與音組含數(shù)的排列原則

肖友明

摘要：皮埃爾·布列茲是法國當代著名的作曲家、指揮家，它所創(chuàng)立的音級乘法技術是二十世紀作曲理論的一個代表性體系，這一技術的產(chǎn)生可能與布列茲自幼喜愛數(shù)學，并在該領域取得驕人的成績有關。他通過吸取前人采用簡易乘法產(chǎn)生新音高材料經(jīng)驗的基礎之上，將其直接或是間接地與數(shù)學中的“笛卡爾乘積”理論結合起來，形成其獨具特色的技術方法，這一技術是對勛伯格十二音序列技術的發(fā)展，可以說它是十二音序列技術的升華。本文就將隨著作曲家的思路將音級乘法技術中的序列拆分與音組含數(shù)的排列原則進行詳盡地分析說明，力求論點明確，論據(jù)充分，論證深刻、透徹。

關鍵詞：布列茲 音級乘法 序列拆分 音組含數(shù) 排列原則

一、概述

音級乘法技術（Pitch-class Multiplication）是將一個序列原型（prototype sequence）劃分成若干個音級組（frequency groups）①，而音級組的產(chǎn)生又是以序列原型中各音級之間的音程級（interval class）為依據(jù)，每一個音級組包含若干個音級，其中包含的音級個數(shù)稱其為音組含數(shù)（tone number），再將這些音組含數(shù)進行循環(huán)排列，產(chǎn)生出多個排列形式，所有的排列形式中的音組兩兩相乘派生出更為豐富的音高素材的技術方法。

二、十二音序列原型的設計和拆分依據(jù)

下面以《無主之槌》這部作品的序列為例進行闡述：

譜例1 《無主之槌》的十二音序列原型（prototype sequence）

序列原型的設計要考慮到音與音之間的音程級（interval class，記為ic）關系，在討論音程級之前我們要先來看看兩種相等原則，其一是八度相等的原則，其二是同音異名相等的原則。在這樣兩種相等原則的邏輯下，音程級的概念就能明確的進行定義，即是指由兩個音之間形成的音級數(shù)算數(shù)差的絕對值，如上例中按照音級集合原理，假定C音的音級數(shù)用數(shù)字0來表示（標記為：pn0），那么第一個音就應標記為“pn3”，第二個音應標記“pn5”，這樣，第一個音與第二個音的音程級應為∣3-5∣，故其音程級就為“2”。實際上也可以表達為音程中所包半音的個數(shù)，但我們發(fā)現(xiàn)第三個與第四個音它們所包含的半音數(shù)為“11”，像這種半音個數(shù)超過“6”的情況，在音級集合原理中我們認為反行關系（mod12）為等值的原則把所有的音程簡化為6個音程級，所以像上面提到的這種情況就視為12-11=1，所以它的音程級就等于“1”。由以上這些理論就可以得到如上例中所示的音程級的數(shù)字標記。

從以上譜例中可以看出，在這個十二音序列原型中兩音之間所包含的音程級有1、2、3、4四種，這就構成了音組拆分的依據(jù)，它們一一對應拆分后音組中所包含的音級數(shù)量，我們將這種音組中包含的音級數(shù)量稱為音組含數(shù)（tone number），記為（tn）。由此可以得出，如果將上例的十二音序列拆分，所得到的音組含數(shù)最少為一個音，最多為四個音，我們將音組中含音級數(shù)量最少的音組含數(shù)稱為最小音組含數(shù)，標記為tn（min），并且稱含音級數(shù)量最多的音組含數(shù)為最大音組含數(shù)，標記為tn（max）。

由于一個完整的序列原型共包含十二個音，雖然我們將這些音進行了重新拆分組合，但它們的數(shù)量相加還是應該等于十二，再有，拆分后的音組含數(shù)又是以序列原型中出現(xiàn)的音程級為依據(jù)，由此音組的拆分就存在三種情況：第一，由序列原型中出現(xiàn)的音程級的數(shù)字相加不足12的情況，稱之為不足拆分（insufficient separation），為使其音的總數(shù)相加等于12，就將12減去各音程級數(shù)字相加后的差數(shù)獨立成為一個音組。第二，由序列原型中出現(xiàn)的音程級的數(shù)字相加剛好12的情況，稱之為充足拆分（sufficient separation）。第三，由序列原型中出現(xiàn)的音程級的數(shù)字相加超過12的情況，稱之為過度拆分（exceeded separation）。

以上三種情況中前兩種情況屬于準有效拆分（Quasi-valid separation），所謂準有效拆分就說明只滿足這種條件是不夠的，還得同時滿足其它條件才能成立，所需的其它條件將在下文中進行討論。第三種情況由于音程級數(shù)字相加超過了12，由于一個序列原型中音的總數(shù)只有12個，所以這種拆分屬于無效拆分（Invalid separation），無效拆分就不在我們的討論之例了。

譜例1中由于音程級數(shù)字1+2+3+4=10，故這種情況屬于不足拆分，則將剩下的差數(shù)分成一組，即是12-10=2。據(jù)此，得到序列原型拆分后的音組含數(shù)分別為：tn1、tn2、tn3、tn4、tn2。

三、拆分后音組含數(shù)的排列原則

經(jīng)過前面的分析我們知道，譜例1中的音程級數(shù)字相加不足12，為不足拆分，它屬于準有效拆分，其音組含數(shù)分別為：tn1、tn2、tn3、tn4、tn2。那么，要證明該拆分為有效拆分（Valid separation）還必須同時滿足第二個條件，那就是音組含數(shù)必須要能夠按對稱原則進行排列，下例就是能夠以一個音組含數(shù)為對稱中心對稱的排列。

譜例2 以音組含數(shù)tn2為對稱中心對稱的排列

Sm（tn2）

上例是以tn2為對稱中心（Symmetry），記為：Sm（tn2），以它為鏡面前后音組含數(shù)相加的和數(shù)分別是4+1=5，2+3=5對稱，由此可以得出其對稱中心兩端的和數(shù)是“5”，我們將這種沿對稱中心對稱的和數(shù)稱為對稱數(shù)字（asymmetrical digital），簡略記為asd。該排列的對稱數(shù)字為“5”，記為：asd5。根據(jù)上述對稱數(shù)字的推導方法我們可以得出對稱數(shù)字的計算公式為：（12-對稱中心Sm）÷2。

根據(jù)以上的分析，我們可以得出《無主之槌》的序列原型按音程級數(shù)字（即音組含數(shù)）進行的拆分為有效拆分，這種按照一個對稱中心和對稱數(shù)字為順序的拆分方式形成的音組含數(shù)序列叫做排列（Arrangement），簡略記為Ag。那么上面的排列就可以記為：Ag【Sm（tn2），asd5】，讀作：對稱中心為tn2，對稱數(shù)字為5的排列。

那么，排列Ag【Sm（tn2），asd5】就只有tn2/tn4/tn2/tn1/tn3這一種情況嗎？根據(jù)鏡面對稱原理，顯然不只是這一種情況，我們可以得出若干種排列形式。

①tn1、tn2、tn2、tn3、tn4

②tn1、tn3、tn2、tn2、tn4

③tn2、tn1、tn2、tn4、tn3

④tn3、tn1、tn2、tn4、tn2

⑤tn3、tn4、tn2、tn1、tn2

⑥tn4、tn2、tn2、tn3、tn1

⑦tn4、tn3、tn2、tn2、tn1

加上譜例2上的排列形式總共8種，其具體排列方法為：首先取第一個音組含數(shù)為tn1，那么第五個音組含數(shù)一定為tn4，第二個音組含數(shù)就存在兩種情況，如果第二個音組含數(shù)為tn2，第四個音組含數(shù)則為tn3；如果第二個音組含數(shù)為tn3的話，那么第四個音組含數(shù)則必定為tn2。

圖表1 排列Ag【Sm（tn2），asd5】的所有排列形式的可能性

根據(jù)上面的推導過程，可以得出上述的排列Ag【Sm（tn2），asd5】總共有八種排列形式，為了使排列表達得更加清楚，下面筆者將對每一種排列形式都進行更為科學地命名。

以tn2為第一個音組含數(shù)的排列形式（arrangement form，簡略記為af）稱為排列形式tn2，標記為af（tn2）。由于每一個音組含數(shù)為首的排列都有兩種不同的排列形式，如：tn2/tn1/tn2/tn4/tn3；tn2/tn4/tn2/tn1/tn3，我們將第二個音組含數(shù)較小的排列下標min，第二個音組含數(shù)較大的排列下標max，所以，以tn2為第一個音組含數(shù)的排列形式就有兩種情況，第一種是排列形式為tn2/tn1/tn2/tn4/tn3，記為Ag【Sm（tn2），asd5】—af（tn2min），第二種是排列形式為tn2/tn4/tn2/tn1/tn3，記為Ag【Sm（tn2），asd5】—af（tn2max），即為譜例1-2-2的排列形式的準確命名。這樣一來，每一種排列的各排列形式都有獨一無二的名稱，也就是說每一個排列的名稱都對應著唯一的排列形式。

上面談到的都是以tn2為對稱中心，那么還可不可以以其它音組含數(shù)為對稱中心呢？根據(jù)求得對稱數(shù)字的公式我們可以得出，如果對稱中心為奇數(shù)的話求得的對稱數(shù)字就為小數(shù)，而所有的音組含數(shù)都是整數(shù)，不可能是小數(shù)，所以不能以tn1和tn3為對稱中心。而以tn4為對稱中心則是可行的，如果對稱中心為Sm（tn4），那么其對稱數(shù)字就應為：（12-4）÷2=4，故對稱數(shù)字為“4”，記為：asd4。接下來我們還需要論證對稱中心為tn4，對稱數(shù)字為asd4的排列在序列原型的音組含數(shù)范圍內是否成立？我們知道序列原型的音組含數(shù)（tn）分別為：tn1、tn2、tn3、tn4、tn2，可以得出除對稱中心tn4以外，2+2=4，1+3=4，對稱數(shù)字asd4是成立的，它們剛好將序列原型中的五個音組含數(shù)全部包含在其中了，故對稱中心為tn4，對稱數(shù)字為asd4的排列是成立的，可以將其標記為Ag【Sm（tn4），asd4】。

譜例3 以音組含數(shù)tn4為對稱中心對稱的排列形式Ag【Sm（tn4），asd4】—af（tn1）

Sm（tn4）

上例是排列Ag【Sm（tn4），asd4】的一種排列形式，其它排列形式如下：

①tn2、tn1、tn4、tn3、tn2

②tn2、tn3、tn4、tn1、tn2

③tn3、tn2、tn4、tn2、tn1

加上譜例3上的排列形式總共4種，這里的排列形式為何又只有四種呢？從上面羅列的排列形式不難看出，如果第一個音組含數(shù)為tn1，第五個音組含數(shù)一定為tn3，那么第二個音組和第四個音組含數(shù)就都為tn2，所以這種排列就沒有最大排列形式和最小排列形式之分，它可以直接記為Ag【Sm（tn4），asd4】—af（tn1）；如果第一個音組含數(shù)為tn2，第五個音組含數(shù)一定為tn2，那么第二個音組和第四個音組含數(shù)就分別為tn3和tn1，所以這種排列就有最大排列形式和最小排列形式兩種，tn2/tn1/tn4/tn3/tn2記為Ag【Sm（tn4），asd4】—af（tn2min），tn2/tn3/tn4/tn1/tn2記為Ag【Sm（tn4），asd4】—af（tn2max）；如果第一個音組含數(shù)為tn3，第五個音組含數(shù)一定為tn1，那么第二個音組和第四個音組含數(shù)就都為tn2，所以，這種排列也沒有最大排列形式和最小排列形式之分，可以直接記為Ag【Sm（tn4），asd4】—af（tn3）。

為了更加直觀的表述排列Ag【Sm（tn4），asd4】的所有排列形式的可能性，可參看如下圖所示的圖表。

圖表2 排列Ag【Sm（tn4），asd4】的所有排列形式的可能性

以上是序列原型拆分后排列形式的所有可能性，它包括排列Ag【Sm（tn2），asd5】的8種排列形式以及排列Ag【Sm（tn4），asd4】的4種排列形式共12種。每一種排列形式都可以成為音級乘法運算的一個原始素材，可以說它是構成作品音高材料的種子。如何在音級乘法的運算過程中運用這些素材將在接下來的理論中進一步談到。

四、結語

布列茲是二十世紀整體序列音樂最重要的代表人物之一，他熱衷于現(xiàn)代音樂的創(chuàng)作和實驗，是當代先鋒派作曲家中的佼佼者。其創(chuàng)始的“音級乘法”技術使其音樂大膽而激進，狂熱而不失秩序，他將理性思維與音樂表現(xiàn)完美地結合在一起。音級乘法技術開啟了音樂創(chuàng)作的一種新的思維模式，為后來的技術理論提供了一些可供借鑒的手段。

參考文獻：

[1]齊研.皮埃爾·布列茲的“音級乘法”解讀[J]，沈陽音樂學院學報《樂府新聲》，2009，（03）.

[2] 黃鐘-武漢音樂學院學報[J].1995，（02）.

[3]Pierre Boulez：Boulez on music today，by Faber and Faber London，1971.

[4] Lev Koblyakov：Pierre Boulez A World of Harmony，Harwood Academic Publishers，1990.