盤點“三數(shù)”新題型

趙國瑞

“三數(shù)”指的是平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，它們從不同的角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。有關(guān)“三數(shù)”的題型常在中考中出現(xiàn)。下面舉例說明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

一、已知“三數(shù)”求數(shù)據(jù)之比

（2012年廣東省茂名市中考題）某中學(xué)初三（1）班的一次數(shù)學(xué)測試的平均成績?yōu)?0分，男生平均成績?yōu)?2分，女生平均成績?yōu)?7分，則該班男、女生的人數(shù)之比為（ ）

A.1∶2 B.2∶1 C.3∶2 D.2∶3

分析 先設(shè)出該班男、女生的人數(shù)，然后根據(jù)平均數(shù)的定義列出等式，再對等式進(jìn)行整理即可。

解 設(shè)該班男、女生的人數(shù)分別為x、y，依題意得， =80。

整理得，2x=3y，所以x∶y=3∶2。故答案選C。

點評 本題不是傳統(tǒng)的已知一組數(shù)據(jù)求“三數(shù)”，而是由“三數(shù)”求數(shù)據(jù)之比，考查了同學(xué)們的逆向思維能力。

二、已知一組數(shù)據(jù)與某一基準(zhǔn)數(shù)據(jù)之差求“三數(shù)”

（2012年山東省威海市中考題）某外貿(mào)公司要出口一批食品罐頭，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每聽454克，現(xiàn)抽取10聽樣品進(jìn)行檢測，它們的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：克）如下：-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10。則這10聽罐頭質(zhì)量的平均數(shù)及眾數(shù)分別為（ ）

A.454，454 B.455，454

C.454，459 D.455，0

分析 首先求得-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10這10個數(shù)的平均數(shù)及眾數(shù)，然后分別加上454，即可求解。

解 -10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10這10個數(shù)的平均數(shù)為

（-10+5+0+5+0+0-5+0+5+10）÷10=1，眾數(shù)為0，所以這10聽罐頭質(zhì)量的平均數(shù)為1+454=455，眾數(shù)為0+454=454，故答案選B。

點評 上述解答用到了平均數(shù)的一個重要性質(zhì)：如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x，則數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a的平均數(shù)為x+a。本題若按常規(guī)方法解答，可先分別求出抽取的10聽樣品的質(zhì)量，然后再求平均數(shù)及眾數(shù)，但不如上面的求法簡捷。

三、將不等式組與“三數(shù)”巧妙結(jié)合

（2012年四川省廣元市中考題）一組數(shù)據(jù)2，3，6，8，x的眾數(shù)是x，其中x又是不等式組2x-4>0x-7<0的整數(shù)解，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能是（ ）

A.3 B.4 C.6 D.3或6

分析 先求出不等式組的整數(shù)解，進(jìn)而確定眾數(shù)x，最后再找中位數(shù)。

解 解不等式組2x-4>0x-7<0，得2

因為數(shù)據(jù)2，3，6，8，x的眾數(shù)是x，所以x=3或6。

當(dāng)x=3時，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，3，6，8，中位數(shù)為3；

當(dāng)x=6時，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，6，6，8，中位數(shù)為6。

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3或6。故答案選D。

點評 本題巧妙地將不等式的知識與“三數(shù)”有關(guān)知識相結(jié)合，考查了學(xué)科內(nèi)綜合知識。

四、具有開放性的“三數(shù)”實際問題

（2012年江西省中考題）我們約定：如果身高在選定標(biāo)準(zhǔn)的±2%范圍之內(nèi)都稱為“普通身高”。為了解某校九年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)，我們從該校九年級男生中隨機選出10名男生，測量出他們的身高（單位：cm），收集并整理如下統(tǒng)計表：

根據(jù)以上表格信息解決如下問題：

（1）計算這組數(shù)據(jù)的三個統(tǒng)計量：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）請你選擇其中一個統(tǒng)計量作為選定標(biāo)準(zhǔn)，并按此選定標(biāo)準(zhǔn)找出這10名男生具有“普通身高”的男生是哪幾位？

（3）若該年級共有280名男生，按（2）中選定標(biāo)準(zhǔn)請你估算出該年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)約有多少名？

分析 解答本題要注意對“選擇其中一個統(tǒng)計量作為選定標(biāo)準(zhǔn)”的理解。由于統(tǒng)計量有三個：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，它們都可以作為選定標(biāo)準(zhǔn)，因此本題具有開放性。

解 （1）平均數(shù)為

=166.4（cm）；

中位數(shù)為 =165（cm）；眾數(shù)為164（cm）。

（2）若選平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)。

身高x滿足：166.4×（1-2%）≤x≤166.4×（1+2%），即163.072≤x≤169.728為“普通身高”，此時⑦⑧⑨⑩男生的身高具有“普通身高”。

若選中位數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)。身高x滿足：165×（1-2%）≤x≤165×（1+2%），即161.7≤x≤168.3時為“普通身高”，此時①⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”。

若選眾數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)。身高x滿足：164×（1-2%）≤x≤164×（1+2%），即160.72≤x≤167.28時為“普通身高”，此時①⑤⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”。

（3）以平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，估計全年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為：280× =112（人）；

以中位數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，估計全年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為：280× =112（人）；

以眾數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，估計全年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為：

280× =140（人）。

點評 本題的亮點在于平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個統(tǒng)計量都可以作為選定標(biāo)準(zhǔn)，給了同學(xué)們充分的思維空間。