巧解線性目標(biāo)函數(shù)的值域

楊亞雄

線性目標(biāo)函數(shù)是新課標(biāo)的一大熱點和必考內(nèi)容，隨著其內(nèi)容向縱深發(fā)展，考查形式多樣化，與之密切相連的線性目標(biāo)函數(shù)的值域逐漸浮出水面，活躍在近年的高考題和競賽題中，筆者根據(jù)近幾年線性目標(biāo)函數(shù)的值域總結(jié)了幾中解決方法，供大家參考。

線性目標(biāo)函數(shù) 值域 線性平移

解線性目標(biāo)函數(shù) Z=Ax+By 的約束條件的值域問題，就是在由滿足約束條件的可行解（x y）組成的可行域內(nèi)，利用線性平移的方法找到點（x0 y0 ），使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值。

線性規(guī)劃求值域的基本方法有五種：分別是幾何意義法、變量替換法、解不等式法、界點定值法、向量投影法。

例設(shè)x y滿足條件 x-4y≤1 ①3x+5y≤25 ②

x≥1 ③

求z=2x-y的值域

解法：

1.幾何意義法

如圖1先作出可行域求得A（5、2）B（1、1）C（1、225）作出l0 ：2x-y=0

再平移，當(dāng)過l0 C點時，zmin =-125

2.變量替換法

由z=2x-y得y =2x- z代入約束條件

-7x+4z≤-3 ①

13x-5z≤25 ②

x≥1 ③

把z看作縱軸，劃出區(qū)域如圖2 觀察可知最高點H（5、8）L（1、-125）

所以zmin =-125 zmax=8

3.解不等式法

由解法2可知-7x+4z≤-3 ①

13x-5z≤25 ②

x≥1 ③

可變?yōu)?z+37≤x ①

x≤5z+2513 ②

x≥1 ③

所以1≤5z+2513 ①

4z+37≤5z+2513 ②

解得-125x≤8

4.界點定值法

把△ABC的頂點A（5 、2）B（1、1）C（1、225）的坐標(biāo)分別代到目標(biāo)函數(shù)中

當(dāng)x=5 y=2時z=2x-y=2×5-2=8

當(dāng)x=1 y=1時z=2x-y=2-1=1

當(dāng)x=1 y=-125時z=2x-y=2×1-225=-125

即zmin =-125 zmax =8

5.向量投影法

筆者根據(jù)自己教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對目標(biāo)函數(shù)的幾何意義理解不夠深刻時錯誤解題與浪費時間的原因。當(dāng)然求解線性規(guī)劃問題方法較多，平常練習(xí)時要多思考，考試時才能想到高效率的方法。

下面有兩道練習(xí)題供大家用以上幾種方法解決。

1）2012年全國高考大綱卷理科13題文科14題

x y滿足條件x-y+1≥0 ①

x+y-3≥0 ②

x+3y-3≥0 ③

則z=3x-y的最小值為（ ）

2）2012年安定區(qū)東方紅中學(xué)第一學(xué)期期末試卷13題

x y滿足條件

y≤x ①

x+y≤2 ②

y≥0 ③

則z=3x-y的最大值為（ ）