“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像”的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

胡曉雯

正切函數(shù) 性質(zhì) 圖像

1案例背景

2012年12月，筆者參加了校內(nèi)舉行的“聚焦課堂 高效教學(xué)研究月”的活動(dòng)，開設(shè)了一節(jié)公開課——“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象”。課后通過專家點(diǎn)評(píng)、與同行交流，對(duì)學(xué)生的主體性地位有了更為深入的認(rèn)識(shí)，對(duì)新課程理念有了更為具體的理解，對(duì)以“教給學(xué)生什么、怎樣教給學(xué)生”為立足點(diǎn)開展的有效教學(xué)活動(dòng)很受啟發(fā)。下面是筆者對(duì)這次活動(dòng)的心得體會(huì)，希望引起同行的關(guān)注。

2教學(xué)過程

在研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，我們借助于單位圓中的正弦線，通過平移、描點(diǎn)作出了正弦函數(shù)的圖像，再結(jié)合圖像研究性質(zhì)并解決相關(guān)問題。因此在教學(xué)中，很多同行都會(huì)采用類比思想，先大致作出正切函數(shù)圖像，再通過圖像研究其性質(zhì)并解決相關(guān)問題。本著新課改理念，新課程不僅僅利用類比思想來研究正切函數(shù)，而且在此基礎(chǔ)上做了更大的突破。它換了一個(gè)新視角來研究正切函數(shù)：先根據(jù)已有的知識(shí)研究正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)作出圖像，再由圖像去驗(yàn)證已有的性質(zhì)并挖掘其它性質(zhì)，最后利用圖像和性質(zhì)解決相關(guān)問題。這樣既為合理作出正切函數(shù)的圖像奠定了理論基礎(chǔ)，同時(shí)也傳遞給學(xué)生一個(gè)訊息，研究函數(shù)的相關(guān)問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合不僅僅是從形到數(shù)的研究，也可以從數(shù)到形來進(jìn)行研究。這樣既拓寬了學(xué)生的思維，又使學(xué)生研究問題的方法更上了一個(gè)臺(tái)階。在此思想的指導(dǎo)下，筆者在教學(xué)中收到了很好的效果。現(xiàn)將本次活動(dòng)的課堂教學(xué)案例梳理如下，如有不足，懇請(qǐng)斧正。

教學(xué)過程如下：

2.1復(fù)習(xí)并引入新課

練習(xí)：畫出下列各角的正切線

設(shè)計(jì)意圖：借助于單位圓讓學(xué)生作出正切線，既是復(fù)習(xí)也為后面用類比的思想作出正切曲線埋下了伏筆。教師就是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系原有的知識(shí)，為學(xué)習(xí)新知做好鋪墊。這時(shí)教師可選擇一些有代表性的作圖結(jié)果，然后用實(shí)物投影展示，這樣哪怕教師不點(diǎn)撥，學(xué)生就清楚了自己的問題所在，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的思想。

2.2主動(dòng)探究，解決問題

2.2.1研究正切函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖：教師先設(shè)計(jì)好學(xué)案，讓學(xué)生利用在單位圓中作出的正切線，自己去研究正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。教師利用幾何畫板做出角的終邊在各個(gè)象限時(shí)正切線的動(dòng)畫演示。讓學(xué)生通過幾何的畫板演示直觀感知正切函數(shù)的“兩域三性”。（這里也可利用其它知識(shí)研究正切函數(shù)的性質(zhì)，如用三角函數(shù)的定義去研究定義域和值域，結(jié)合誘導(dǎo)公式研究周期性、奇偶性…）這樣不僅發(fā)揮了學(xué)生的能動(dòng)性，而且發(fā)散了學(xué)生的思維。因?yàn)閷W(xué)生在收集、整理性質(zhì)過程中又是一次思維的整合，對(duì)如何研究函數(shù)性質(zhì)又更進(jìn)了一步。教師在巡視過程中及時(shí)匯總學(xué)生意見，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的知識(shí)和方法。同時(shí)教師事先要估計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)中會(huì)遇到的困難，想方設(shè)法幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。避免教師對(duì)學(xué)生喋喋不休的低效灌輸，這既是對(duì)學(xué)生主體性地位的尊重，也是踐行新課程“以學(xué)生的發(fā)展為本”理念的需要。）

2.2.2結(jié)合性質(zhì)，小組合作探究，作出函數(shù)的圖像

類比y=sinx圖象的由來，你能通過單位圓的正切線作y=tanx，x∈（-π2，π2）的圖象嗎？

1.先畫出y=tanx在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖。

2.教師用投影儀展示作圖結(jié)果，并作出在定義域上的圖象。

3.投影儀展示完整圖像。目的是規(guī)范作圖，理順?biāo)悸返淖饔谩?/p>

教師小結(jié)：

第一步：畫出正切函數(shù)的在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；

第二步：將圖象向左、向右平移拓展到整個(gè)定義域上去；

第三步：根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：從教學(xué)實(shí)踐看，教師盡可大膽放手把活動(dòng)、思考的時(shí)間還給學(xué)生，把觀察、歸納、概括、探究的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，這樣有助于學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)中先讓學(xué)生自主繪圖，再投影學(xué)生的圖像，通過投影儀糾正圖像。最后再結(jié)合前面研究出的性質(zhì)讓學(xué)生進(jìn)一步觀察圖像。這樣學(xué)生結(jié)合定義域會(huì)明白為什么正切函數(shù)會(huì)有兩條漸近線，結(jié)合值域明白為什么函數(shù)圖像可以向上向下無限延伸，結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性明白了如何正確連線成圖才能得到較精確的正切函數(shù)圖像。這樣通過學(xué)生自己動(dòng)手得到圖像，使學(xué)生學(xué)會(huì)了一類周期性函數(shù)的研究方式。學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)探索的樂趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提升學(xué)生分析問題的能力及嚴(yán)密認(rèn)真的態(tài)度。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教師需要合理利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生的理解更透徹。

2.2.3觀察圖像，小組合作討論進(jìn)一步研究性質(zhì)

（1）正切函數(shù)的圖像是被相互平行的直線x=kπ+π2，k∈Z所隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的。

（2）對(duì)每一個(gè)k∈Z，在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.

（3）正切函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（問：還有其他的對(duì)稱中心嗎？）總結(jié)出對(duì)稱中心為（kπ2，0），k∈Z，無對(duì)稱軸

設(shè)計(jì)意圖：除了前面所研究的正切函數(shù)性質(zhì)外，讓學(xué)生進(jìn)一步觀察函數(shù)圖象。分小組根據(jù)正切函數(shù)圖象去驗(yàn)證正切函數(shù)已有的性質(zhì)，并挖掘出其它的性質(zhì)。教師提出問題后，先讓學(xué)生自主探究，

嘗試解決。教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況，教師剛把問題提出來，就開始頭頭是道的分析起來，或者沒等學(xué)生充分思考就開始提問，剝奪了學(xué)生思維活動(dòng)的時(shí)間和空間。學(xué)生的思維豐富多彩，有奇思妙想，教師可能始料未及。筆者在教學(xué)中通過四人小組合作、交流，留足夠的時(shí)間讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)的其它性質(zhì)。根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展成熟過程，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，讓學(xué)生活起來。小組討論過后，先讓其中一個(gè)小組成員總結(jié)、發(fā)言，其它各小組補(bǔ)充或更正，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生之間的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力及勇于探索的精神。

2.2.4類比正弦函數(shù)“五點(diǎn)法”作圖，如何快速作出正切函數(shù)的簡(jiǎn)圖？

正切函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單作法：三點(diǎn)兩線法

（0，0）、（π4，1）、-π4，-1

“三點(diǎn)”：

x=π2和x=-π2

“兩線”：

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生自主探究、合作交流的基礎(chǔ)上，借助于單位圓作出了較為精確的正切函數(shù)圖像，但在利用函數(shù)圖像解決問題時(shí)，這樣作圖既費(fèi)神又費(fèi)力。所以教學(xué)中類比正余弦函數(shù)圖像簡(jiǎn)圖的作法，教師引導(dǎo)學(xué)生利用三點(diǎn)兩線法快速作出正切函數(shù)的簡(jiǎn)圖，從而解決相關(guān)問題。

2.3通過練習(xí)，鞏固基礎(chǔ)

若-π6

例2.求出滿足條件 tanx≥3 的x的取值范圍？

思考題：畫出函數(shù)y=tanx的圖象，探究該函數(shù)的定義域、值域、最小正周期、奇偶性、單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱性。

設(shè)計(jì)意圖：在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)不是“結(jié)果”的教學(xué)，而是“思維活動(dòng)過程”的教學(xué)，通過前面問題的提出過程，知識(shí)的獲取過程，結(jié)論的探究過程，認(rèn)識(shí)的升華過程以及分析、解決問題的艱難曲折思維過程后，接下來讓學(xué)生借助于研究好的圖像和性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)問題，及時(shí)了解學(xué)生課堂中知識(shí)掌握的情況。正是有了前面的一系列的教學(xué)過程，學(xué)生自己思考得多，通過自己探究獲取的知識(shí)掌握得很好，所以學(xué)生就能利用所學(xué)的知識(shí)，快速地解決相關(guān)的問題。

2.4總結(jié)思考，提高能力

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)。

（1）學(xué)習(xí)了正切函數(shù)圖像的作法；理解了正切函數(shù)的圖像特征；掌握正切函數(shù)的基本性質(zhì)。

（2）學(xué)會(huì)用類比方法研究問題，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

（3）體驗(yàn)了成功的快樂。

設(shè)計(jì)意圖：整堂課已經(jīng)接近尾聲，筆者也想了解一下學(xué)生在這堂課中收獲和體會(huì)。筆者隨機(jī)叫了兩名同學(xué)進(jìn)行了課堂小結(jié)。其中一名男生回答說：“在接觸一個(gè)新函數(shù)時(shí)，可以嘗試回憶學(xué)過的已有函數(shù)，看看能不能利用類比的思想解決一類問題，然后大膽去猜想、論證?！绷硗庖幻f：“通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，使她明白了合作、交流，自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函數(shù)問題：數(shù)形結(jié)合不僅僅是從形到數(shù)的研究，也可以換個(gè)角度從數(shù)到形來研究，為我們研究數(shù)學(xué)問題提供了新視角?！苯淌依镱D時(shí)響起了雷鳴般的掌聲，這是我事先沒預(yù)料到的，也充分說明筆者這節(jié)課上得非常成功。學(xué)生通過自主思考、合作探究的成效是顯著的！

2.5分層作業(yè)，鞏固拓展

（1）全體同學(xué)完成作業(yè)本；

（2）每位同學(xué)結(jié)合今天研究的內(nèi)容，設(shè)計(jì)一道回家作業(yè)題，并完成。

3案例反思

對(duì)相同的教學(xué)內(nèi)容不同的教師處理教材的方法可能也不一樣。這些不同，緣于教師對(duì)教材的理解與處理、對(duì)學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)以及對(duì)教學(xué)實(shí)際的把握；也緣于教師教學(xué)風(fēng)格的不同。這節(jié)課表面看看很簡(jiǎn)單，內(nèi)容也不多，前面又有了正余弦函數(shù)研究的鋪墊，上起來應(yīng)該不難。但專家點(diǎn)評(píng)說這節(jié)課要把它上好是非常難的，很容易上成一節(jié)流水課，沒有什么新意。而且這堂課實(shí)際上是高中教材中很難啃的一塊骨頭。不過專家對(duì)筆者的這堂課給予了高度的肯定和贊賞，認(rèn)為筆者很好的實(shí)施了新課程理念，課堂中讓學(xué)生共同探討，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。對(duì)學(xué)生核心數(shù)學(xué)思想的提升有很大的幫助。同時(shí)處處保持互動(dòng)，以學(xué)生為本，充分發(fā)揮和挖掘?qū)W生的潛能。同時(shí)肯定筆者具有很好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)！通過課后與同行交流、聆聽專家點(diǎn)評(píng)后，筆者更深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教育要彰顯出學(xué)生的主體性地位。如果教師提出問題后就講個(gè)不停，這樣只能用教師的思維，或少數(shù)幾個(gè)被提問學(xué)生的思維填補(bǔ)其它大多數(shù)學(xué)生的思維，這樣的結(jié)果是強(qiáng)迫學(xué)生接受，破壞了思維活動(dòng)的自主性、獨(dú)立性，有礙于學(xué)生思維的發(fā)展。課堂教學(xué)中要充分尊重學(xué)生的思維活動(dòng)過程，讓其暴露出來，即使思維過程是錯(cuò)誤的甚至是可笑的，但這實(shí)際是存在的，不可以視而不見。教師需要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生靈活采用接受、記憶、模仿、練習(xí)、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)的學(xué)習(xí)方式；在教學(xué)中，可以借助信息技術(shù)，提高課堂容量，把難以呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)揭示出來，也可以用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)形成的過程。要以“教給學(xué)生什么、怎樣教給學(xué)生”為立足點(diǎn)，踐行新課程的教育理念，開展有效的教學(xué)活動(dòng)。

感謝“聚焦課堂 高效教學(xué)研究月”的活動(dòng)，使筆者從理論到實(shí)踐對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)都有了更新的認(rèn)識(shí)。在今后的教學(xué)中，筆者將切實(shí)地尊重學(xué)生的主體地位，踐行新課程理念，扮演好引導(dǎo)者、組織者、合作者的角色。

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