淺談數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法

王宜佳

近年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)給出數(shù)列的解析式（包括遞推關(guān)系式和非遞推關(guān)系式），求通項(xiàng)公式的問題，對(duì)于這類問題考生感到困難較大.為了幫助考生突破這一難點(diǎn)，下面就如何求數(shù)列的通項(xiàng)來談?wù)勛约阂恍┛捶ā?/p>

一、給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過前幾項(xiàng)觀察、分析、比較等得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。

此類型一般通過下面幾種方法能得出：①運(yùn)用觀察法寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律。通常需要經(jīng)過結(jié)構(gòu)變形，如加（減）某數(shù)、拆分（和、差、積）項(xiàng)等分離出變量和不變量，直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律。②熟記一些常見數(shù)列。③數(shù)列不一定都有通項(xiàng)公式，即使有，也不一定惟一。

二、由題目已知或通過簡單推理判斷可知，所求數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接用其通項(xiàng)公式求通項(xiàng)。

此類型一般能根據(jù)題目提供的條件求出相應(yīng)的數(shù)列基本量（用已知條件轉(zhuǎn)化成求關(guān)于a1、d、q的方程），便可得到通項(xiàng)。

三、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，利用an=a■=S■，n=1S■-S■，n≥2求數(shù)列的通項(xiàng)。

此類型通常利用Sn和an的關(guān)系，將Sn和an的遞推轉(zhuǎn)化成an、an+1或an-1的遞推。

四、題目中給出形如an+1=an+f（n），a1=a（其中a為常數(shù)）的遞推關(guān)系或者可化成此關(guān)系。則a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），…，an-an-1=f（n-1），各式相加，得an=a1+■f（k），即為累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式。

五、 根據(jù)題目中給出的遞推關(guān)系a■=f（n）a■，a■=a（其中a為常數(shù)），

由遞推式得a■=f（1）a■，a■=f（2）a■，…，a■=f（n-1）a■，各式相乘，得a■=a■■f（k），即為累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式。

六、由遞推關(guān)系a■=pa■+q，a■=a（其中p，q，a為常數(shù)且p≠1），求數(shù)列通項(xiàng)。

令a■+？姿=pa■+？姿，整理得a■=pa■+p-1？姿，所以p-1？姿=q，即？姿=■，從而a■+■=pa■+■，所以數(shù)列a■+■是等比數(shù)列。

七、由遞推關(guān)系a■=pa■+f（n），a■=a（其中p，a為常數(shù)且p≠1，f（n）為非常數(shù)），求數(shù)列通項(xiàng)。

由遞推式a■=pa■+f（n）兩邊同除以pn+1，得■=■+■，對(duì)此采用前面所述的累加法可求。

八、由遞推關(guān)系a■=pa■+qa■（n≥2）a■=a，a■=b（其中p，q，a，b為常數(shù)），求數(shù)列通項(xiàng)。

若p+q=1時(shí)，p=1-q，即a■-a■=-qa■-a■，知a■-a■為等比數(shù)列，對(duì)此采用累加法可求。

九、利用倒數(shù)變形，把形如a■=■的式子，兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化，求數(shù)列通項(xiàng)。

例. 數(shù)列{an}滿足：a■=■，且a■=■（n≥2），求an。

解析：將條件變?yōu)椋?-■=■1-■，因此1-■為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1-■=■，公比■，從而1-■=■，據(jù)此得a■=■。

等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，而數(shù)列的通項(xiàng)是高考考查的熱點(diǎn)，考查的目的在于測試靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”往往集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上，以上談到的是常見求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法，需要不斷的探索才能靈活的應(yīng)用。

責(zé)任編輯徐國堅(jiān)