創(chuàng)設探究平臺 激發(fā)學生思維

郭佩華

2013年4月，筆者參加了江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動，對于“以學定教，學教相長”有了更深刻的認識和感悟。下面，結合這堂展評課的教學設計，來談談我如何在實踐中進行探究摸索，以處理好“學”與“教”的矛盾的。

一、教學內容的分析

1.教材的內容和作用。

本節(jié)是必修五第三章“不等式”的重要內容之一，基本不等式的提出來源于實際生活，因此創(chuàng)設的問題情境應貼近學生的生活，以激發(fā)他們探索問題和解決問題的欲望?；静坏仁降淖C明是一個重要環(huán)節(jié)，在學生自主探究學習的過程中，要引導學生通過實驗、觀察、歸納、抽象、概括，數(shù)學地提出、分析和解決問題。本節(jié)的最后是對基本不等式的簡單應用，為下一節(jié)的教學做好鋪墊工作。

2.教學重點和難點。

學生在“實際背景”的激發(fā)下探討出兩個平均數(shù)的存在，一個是生活中較容易想到的估計值，另一個是由物理知識推得的精確值，從而自然地引出“算術平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并提出這兩個“平均數(shù)”孰大孰小的問題。書本上給出了3種不同的證明方法，而學生的證法可能會更開放。除了從“數(shù)”的角度給出嚴謹?shù)淖C明，我們也可以給出合理的“幾何解釋”，以體現(xiàn)“數(shù)形結合”之美。因此本節(jié)課的重、難點確定為：

重點：基本不等式的證明，理解基本不等式等號成立條件及“當且僅當a=b時取等號”的數(shù)學內涵。

難點：基本不等式的“幾何解釋”。

二、教學目標的確定

1.知識與技能：探索并了解基本不等式的證明過程，會利用基本不等式證明其它的不等式，解決簡單的最大（?。┲祮栴}。

2.過程與方法：通過一張讓人垂涎欲滴的大草莓照片，在“味蕾”的激發(fā)下，讓學生帶著問題去思考，猜測并證明出“基本不等式”。

3.情感態(tài)度價值觀：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣；培養(yǎng)學生理性、嚴謹、全面的思維，豐富學生數(shù)形結合的想象力。

三、教學方法的選擇

先讓學生通過實際問題抽象出基本不等式，定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，借助“幾何畫板”多媒體教學，動態(tài)地展示“半徑不小于半弦”的幾何解釋。

四、教學過程

1.問題情境。

師：最近的一個周末我和朋友一起去農(nóng)場采草莓，采草莓的時候我發(fā)現(xiàn)一個特別大的草莓，我的好奇心就上來了，我特別想知道這個草莓到底有多重？于是找來一架天平。我把這個草莓放在天平的左盤上，在右盤放上砝碼使天平平衡，砝碼的質量為a，那草莓的質量為多少呢？

生：a。

師：可惜的是這架天平制造得并不精確，天平的兩臂長略有不同，顯然a并非草莓的實際質量。于是我把草莓放在右盤又重新稱了一次，稱得質量為b，這個質量也不是草莓的實際質量。兩次測量得到兩個不同的結果，你覺得該如何合理地表示草莓的質量呢？

生：。

師：a和b一個偏大，一個偏小，我們用來表示可以減小誤差，但這個數(shù)還是一個估計值啊。你能用所學的物理知識來探求一下草莓質量的精確值嗎？

生：假設左臂長為l1，右臂長為l2，利用杠桿原理可得l1a=xl2l1x=bl2，兩式相除得：=，因為x>0，所以得到草莓質量的精確值為。

【課堂教學中設置的問題情境越貼近學生的生活，就越能引起他們的興趣，激發(fā)他們探索問題和解決問題的欲望。如何設置課堂教學的問題情境，使得提出的問題既能引起他們的興趣，又能直奔主題呢？

本節(jié)課一開始根據(jù)教材重新設計了問題情境，設置了一張讓人垂涎欲滴的大草莓照片，提出了略有挑戰(zhàn)性的問題，希望能以此吸引他們的眼球，在“味蕾”的激發(fā)下共同探討出“基本不等式”，讓學生感到數(shù)學不再是枯燥無味的推理計算，而是來源于生活，并能解決生活中實際問題的有效工具。】

2.學生活動。

師：相對于草莓的實際質量而言，a和b一個偏大，一個偏小，而和分別是對a和b實施某種“平均”處理，我們把稱為a和b的算術平均數(shù)，把稱為a和b的幾何平均數(shù)。

（幻燈片顯示）問題1：對于正數(shù)a和b，它們的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關系？

此時，學生中會出現(xiàn)兩種不同的聲音，一是取一些具體數(shù)據(jù)進行試驗，作出合理的猜想，二是在理論上給出嚴謹?shù)淖C明。教師應充分尊重學生的思維，對上課流程進行靈活的變通。

3.建構教學。

1.學生通過取一些具體數(shù)據(jù)進行計算，并由此作出合理的猜想。

2.學生作出猜想≤（a>0，b>0）。

3.引導學生分析思考，給出結論的證明，并點評。

（幻燈片顯示）問題2：如何證明≤（a>0，b>0）？

【本課中，基本不等式的證明是一個重要環(huán)節(jié)，這是引導學生自主探究學習的過程。在這一過程中，教師應引導學生探索用不同的方法去證明。除了學生獨立思考外，還應重視“生生激勵”，努力營造平等和諧的課堂氛圍，鼓勵學生展開討論，發(fā)表各自不同的見解，促進共同發(fā)展。而越動態(tài)的過程越能考驗教師駕馭課堂的能力，要想做到在課堂上游刃有余，教師就應做到充分“備學生”，了解學生的知識儲備。

不等式的證明，書本上給出了3種不同的做法，而學生的證法可能會更開放，證明的書寫也可能不夠規(guī)范和嚴謹。不少學生會首先把和進行平方，然后再比較，這是基于學生知識儲備中“化無理為有理”的思維習慣。此時教師應在充分肯定這種方法的基礎上，因勢利導，歸納得出“作差比較法”，再根據(jù)上述平方作差后的關鍵步驟——配方，引導學生不平方直接作差后再配方，就可以得到教材上的證法一。也有學生嘗試用“分析法”去完成，這也是基于學生知識儲備中“由果索因”“化未知為已知”的想法，但在書寫時不會規(guī)范表述，因為學生的知識儲備中沒有分析法規(guī)范性的書寫，這要在選修2—2中才進行系統(tǒng)的學習，因此教師就不必過度提出“規(guī)范性要求”，只需略加點評即可。

教師把探索證明方法的主動權交給了學生，就要對學生的想法給予充分的肯定和鼓勵，但無論過程如何完成，教師都應積極地參與其中，適時點撥啟發(fā)，并給予必要的指導，形成師生間雙向的、能動的交流，從而保證學習的質量和效果，完善學生的知識體系和認知結構，提高學生的數(shù)學能力。】

4.幾何解釋。

師：以上的幾種證法都是從“數(shù)”的角度對基本不等式加以證明，既然被稱為“幾何平均數(shù)”，那么能否給出基本不等式的幾何解釋？

（幻燈片顯示）問題3：你能給出基本不等式≤（a≥0，b≥0）的幾何解釋嗎？

師：你能在圖中找出一條長度為的線段嗎？

生：兩條線段長度和的一半，即線段OA或OC。

師：你能在圖中找出更多的，甚至無數(shù)條長度為的線段嗎？

生：以AC中點為圓心，為半徑的圓上的任意一條半徑。

師：你能在圖中找出一條長度為的線段嗎？

學生此處略有遲疑，但可以由之前的板書=想到構造相似三角形，部分基礎好的學生會聯(lián)想到射影定理。

師：在圖中我們找到長度為的線段BD，那么在剛才無數(shù)條長度為的線段中，你選擇哪一條線段與BD比較呢？

生：線段OD。

師：很明顯，因為直角三角形的直角邊小于斜邊，我們可以得到<（a≥0，b≥0），特別地，當a=b時，BD和OD重合，此時=（用幾何畫板動態(tài)演示變化過程）。

【在計算機時代，學生對電腦的興趣也大大提升。電腦在數(shù)學教學中起的作用不僅僅局限于幻燈片的放映， 隨著幾何畫板的引入，一些圖形問題如果能借用軟件動態(tài)地展現(xiàn)在學生面前，就更能體現(xiàn)“數(shù)形結合”的價值。教材中出現(xiàn)的“半徑不小于半弦”是對基本不等式<（a≥0，b≥0）最經(jīng)典的幾何解釋，學生容易看懂，但不容易想到。教師應用幾何畫板帶領學生一起參與圖形的構建，尋找“算術平均”和“幾何平均”，強化對基本不等式的認識。在備課的過程中，除了備“教材”外，更要努力備“學情”，包括學生的知識結構和認知經(jīng)驗，也包括學生的“興趣”和“好奇”，讓這個圖形動態(tài)地展示出來，這個過程是學生一起參與的過程，也是探索發(fā)現(xiàn)的過程，而被動地接受一個靜態(tài)的圖形，只是完成簡單的驗證，不利于學生“創(chuàng)新意識”的培養(yǎng)。】

5.例題講解。

例1：設x為正數(shù)，試證明下列不等式成立：x+≥2。

練習：（1）設a，b為正數(shù)，證明：+≥2；

（2）設a，b為正數(shù)，證明：a2+b2≥2ab。

學生板演后教師作如下點評：

①對于這兩個不等式，我們也可以把范圍適當放開，對于第（1）小題，只需要a，b同號；對于第（2）小題，a，b可以取任何實數(shù)。

②換一個角度看不等式x+≥2，如果把x+看成一個函數(shù)，這個不等式意味著函數(shù)具備什么樣的性質？——意味著函數(shù)f（x）=x+在（0，+∞）上有最小值2，因此我們也可以利用基本不等式來求函數(shù)的最值。

例2：已知函數(shù)y=x+，x∈（1，+∞），求此函數(shù)的最小值。

師：在利用基本不等式求函數(shù)最值時要注意：一正、二定、三相等。對于不滿足的條件，可根據(jù)需要適當進行轉化。

【人們在接受新的知識后，往往并不會直接運用，而是需要一段時間的沉淀，然后再加以運用。這樣的思維習慣在學生中尤為明顯。同時，學生在做題時，往往只會孤立地看待例題，并不善于研究題目與知識點之間，題目與題目之間的深層次關系。不少學生經(jīng)常會忽略教材中例題的作用，認為它過于簡單。殊不知例題中蘊含著大量的信息，滲透了重要的數(shù)學思想和方法，起到鞏固新知、提高能力的作用，而且例題往往是難題、高考題的命題根源所在。

教材中安排了兩個例題，一是證明不等式，另一個是求函數(shù)的最值，分別展示了基本不等式的兩大運用。在處理例一時，學生仍然會沿用以前的老方法，即比較法、分析法或綜合法，而不會“現(xiàn)學現(xiàn)用”，直接用基本不等式加以論證。講解過程采用學生回答、教師板書的形式，既滿足學生的思維習慣的要求，允許他們用熟悉的比較法、分析法或綜合法解題，同時展示基本不等式法證明的效果，讓學生感受到基本不等式的魅力所在，通過比較，讓學生在思維上接受基本不等式，并將其作為一個證明工具。同時增加若干練習以達到鞏固的目的。

例1除了體現(xiàn)“基本不等式”是證明不等式的工具之外，也為例2——求函數(shù)的最值作鋪墊。引導學生對于同一個問題，從不同的角度來分析研究，是培養(yǎng)學生能力的途徑之一?！?/p>

五、課后反思

“學”是“教”的目的，教師的“教”是為了讓學生“想學”、“會學”和“學會”。學生真正意義上的學習不應是被動地接受現(xiàn)成的書本知識，而應是一種積極的心態(tài)。如何發(fā)現(xiàn)問題、探索問題，如何充分利用所學知識解決問題，如何在學習的過程中培養(yǎng)學生的自主意識、探索精神，這才是教師真正的任務所在。“以學定教”需要我們在每一堂課中認真地研究摸索，“學教相長”是教師和學生共贏的一種和諧狀態(tài)。

（作者單位：南京外國語學校）