巧用倒一倒 妙解代數(shù)題

華瑞芬

有這樣一則幽默的故事：一個牧師的煙癮非常大.有一次，他問他的上司：“祈禱的時候能不能抽煙？”上司回答：“絕對不行！”后來，他又換了一種問法：“抽煙的時候可不可以祈禱呢？”結(jié)果他得到了肯定的回答.由此可見，問法不同，有時答案竟會截然相反.

對于同一事物，從不同的角度提出問題，有時會有意外的收獲.上述故事中牧師的兩個問題中，前者的條件是“祈禱”，目的是“抽煙”；后者的條件是“抽煙”，目的是“祈禱”.當(dāng)我們在學(xué)習(xí)中遇到問題時，如果一時難以解答，那么不妨把問題的條件或結(jié)論變換一下，往往會豁然開朗，使思路打開.下面請看幾例有趣的數(shù)學(xué)問題.

一、分子分母倒一倒

對于有些含有分式的數(shù)學(xué)問題，在求解時若能把分子分母顛倒，可以使問題簡化，立見奇效，快捷求解.

例1 已知a是方程x2 + x -= 0的一個根，則的值等于________.

解：∵a是方程x2 + x -= 0的一個根，則有a2 + a -= 0，故a2 + a =.

對所求值的式子取倒數(shù)得：

=（a2+a-1）+=（a2+a-1）+=（-1）+=

故=20.

例2 已知x += 3，求的值.

解：由于=x2+1+=（x+）2-1=8，所以=.

二、主元客元倒一倒

例3 已知關(guān)于x的方程x3 - ax2 - 2ax + a2 -1 = 0有且只有一個實根，求實數(shù)a的取值范圍.

解析 此題若按x為未知元直接求解比較困難.若變原方程的常數(shù)a為主元，而把未知數(shù)視為常數(shù)，將原方程整理成關(guān)于a的一元二次方程來處理，問題便可迎刃而解.

解：原方程化為a2 - （x2 + 2x）a + x 3 - 1 = 0，易得：a = x - 1或a = x2 + x + 1，即x = a + 1或x2 + x + 1 - a = 0

∵原方程只有一個實根，∴必有x2 + x + 1- a = 0無實根.

∴△=1 - 4（1 - a） < 0，a <，故實數(shù)a的取值范圍為a <.

三 、正面反面倒一倒

有些數(shù)學(xué)問題，從正面思考困難很大，若分析研究問題的反面，則可能使問題簡捷獲解.

例4 某校準(zhǔn)備用淘汰制從123名運(yùn)動員中選出一名優(yōu)勝者，應(yīng)當(dāng)安排多少場比賽？

解析 若把運(yùn)動員編上號，畫一張表格再數(shù)一數(shù)共需安排多少場比賽，這樣做太麻煩.若反過來想，從123名運(yùn)動員中選出一名優(yōu)勝者，這相當(dāng)于從123名運(yùn)動員中淘汰掉122名運(yùn)動員.因為一場比賽淘汰一名運(yùn)動員，要淘汰122名運(yùn)動員，當(dāng)然要安排122場比賽.

例5 在自然數(shù)1～500中，既不是平方數(shù)，又不是立方數(shù)的數(shù)共有______.

解析 考慮自然數(shù)1～500中的平方數(shù)與立方數(shù)，易知有平方數(shù)1，4，9，……，484共22個，有立方數(shù)1，8，27，64，125，216，343共7個.其中1與64既是平方數(shù)又是立方數(shù)，因此自然數(shù)1～500中是平方數(shù)或立方數(shù)的共有27個，那么既不是平方數(shù)又不是立方數(shù)的數(shù)應(yīng)有：500 -27 = 473個.

四、過程前后倒一倒

例6 池塘中的某種水生植物每長一天，它的覆蓋面積為原來的2倍.若經(jīng)過20天可以長滿整個池塘，問經(jīng)過多少天此種水生植物能長滿整個池塘的？

解析 因為水生植物每長一天，它的覆蓋面積為原來的2倍.經(jīng)過20天長滿整個池塘，所以第19天已長滿池塘的；照此下去，第18天以長滿池塘的；第17天以長滿池塘的；第16天以長滿池塘的.至此問題獲解，簡單明了，通俗易懂.

五、關(guān)系是否倒一倒

例7 在1到1000之間有多少個數(shù)不是100的整數(shù)倍？

解析 不是100的整數(shù)倍的反面是100的整數(shù)倍.因為1到1000之間是100的整數(shù)倍的數(shù)是100、200、…、1000共10個，所以1到1000之間不是100的整數(shù)倍的數(shù)共有990個.

六、順序先后倒一倒

把問題所發(fā)生的先后順序進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡箵Q，有時會使問題簡單易解.

例8 有甲、乙、丙三個箱子，各裝有若干個乒乓球，先由甲取出一皮球放進(jìn)乙、丙箱子中，所放之?dāng)?shù)分別是乙、丙現(xiàn)有之?dāng)?shù)；再由乙箱取出一批球放進(jìn)甲、丙箱中，所放之?dāng)?shù)分別是甲、丙現(xiàn)有之?dāng)?shù)；最后按同樣的規(guī)則將丙箱中的一批球放進(jìn)甲、乙箱中，結(jié)果甲、乙、丙箱中的球恰好都為32個.問甲、乙、丙箱中開始時各有多少個球？

解析 在最后一步（丙箱分球給甲、乙）之前一刻，甲箱有球32 × = 16（個），乙箱有球32 × = 16（個），丙箱有球32 + 16 + 16 = 64（個）.再推回乙箱將分球給甲、丙但還未分的那一刻，甲箱有球16 ×= 8（個），丙箱有球64 ×= 32（個），乙箱有球16 + 8 + 32 = 56（個）.

因此還未分球時，乙箱有球56 ×= 28（個），丙箱有球32 = 16（個），甲箱有球8 + 28 + 16 = 52（個）.

七、次序前后倒一倒

有些問題，通過前后順序倒一到，可使問題化繁為簡，快速求解

例9 解：設(shè)原式為S，那么S=+（+）+（++）…++…+）

這時2S = 1 + 2 + 3 + … + 59，同時2S = 59 + 58 + 57 + … + 1，于是4S = 59 × 60，故S ==885.

（作者單位：安徽省靈璧縣黃灣中學(xué)）