三個(gè)視角探尋“幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題”的真相

王曉紅 王鋒

所謂“動(dòng)態(tài)幾何”問(wèn)題，就是指在幾何圖形中，當(dāng)某一個(gè)元素（如點(diǎn)、線或圖形等）運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，問(wèn)題的結(jié)論隨之改變或保持不變的幾何問(wèn)題.它的主要特征是以幾何圖形為載體，設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)（或線、或面）按某種特定的方式運(yùn)動(dòng)變化，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中伴隨著的等量關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的變化、特殊位置狀態(tài)的圖形出現(xiàn).解決此類問(wèn)題，首先必須弄清運(yùn)動(dòng)對(duì)象（點(diǎn)、線、面）運(yùn)動(dòng)的方式、運(yùn)動(dòng)的范圍、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、方向和速度；其次要掌握在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中哪些量是變化的，哪些量是不變的.學(xué)會(huì)辯證的看待“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”的相互關(guān)系，利用運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某一瞬間靜止的位置，動(dòng)中窺靜，以靜制動(dòng)，抓住圖形的特殊位置，明晰圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)觀察、分析、歸納、推理，從中探求問(wèn)題的本質(zhì)、規(guī)律和方法.當(dāng)探究有關(guān)圖形中變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當(dāng)求特殊位置關(guān)系或數(shù)值時(shí)，常建立方程模型求解.

一、定量探究單雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

這類問(wèn)題是一個(gè)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)按照一定的速度沿著給定的路徑運(yùn)動(dòng)，形成新的圖形.讓同學(xué)們探究構(gòu)成的特殊圖形的形狀、線段垂直關(guān)系及圖形的面積與時(shí)間之間的關(guān)系，解答該類問(wèn)題通常構(gòu)造方程模型求解.

例1如下圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，∠ABC=60°.若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0≤t<3），連接EF，△BEF是直角三角形時(shí)，t的值為（ ）

A. 1或3 B. 或

C. 或1 D. 或或1

解析：以點(diǎn)B、E、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，觀察圖形結(jié)合已知條件只可能是∠BEF=90°或∠BFE=90°.故應(yīng)分類求解.由直徑所對(duì)的圓周角是直角可知∠ACB=90°，在Rt△ABC中，BC=2cm，∠ABC=60°，AB=2BC=4cm.

① 當(dāng)∠BFE=90°時(shí)，連接OF，因?yàn)镕是弦BC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理則有∠OFB=90°，說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)滿足要求.由于點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，所以E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：2cm或6cm，此時(shí)t=1s或3s.由于0≤t<3，故t=3s不合題意，舍去.所以當(dāng)∠BFE=90°時(shí)，t=1s；

② 當(dāng)∠BEF=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥AB，垂足為E，則點(diǎn)E滿足要求.在Rt△BEF中，BE=BF·cos60°=0.5，AE=AB-BE=3.5，所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的距離為：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s.綜上所述，當(dāng)t的值為1s、1.75s或2.25s時(shí)，△BEF是直角三角形.故選D.

反思：本題考查直徑所對(duì)的圓周角是直角、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化求解的思想方法.本題的思維陷阱有兩個(gè)方面：一是易忽視∠BEF是直角的情形造成漏解；二是沒(méi)有注意到點(diǎn)E是往返運(yùn)動(dòng)，即使注意到了卻忽視了運(yùn)動(dòng)時(shí)間有限制，造成多解（t=3s沒(méi)有舍掉）.

二、運(yùn)動(dòng)的直線問(wèn)題

動(dòng)線問(wèn)題是指直線按指定的路徑進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)，形成新的圖形.在解答問(wèn)題時(shí)要注意審題，找出直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程形成不同圖形時(shí)的臨界位置進(jìn)行分類探究，不要漏解，也不要多解.利用提供的等量關(guān)系將變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程求解.

例2 如下圖，在等腰梯形ABCD中AB∥CD、AB=3、DC=、高CE=2，對(duì)角線AC、BD交于H.平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對(duì)角線AC于F、G.當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩直線同時(shí)停止移動(dòng).記等腰梯形ABCD被直線MN掃過(guò)的面積為S1，被直線RQ掃過(guò)的面積為S2，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒.

（1）填空：∠AHB=____________，AC=_____________；

（2） 若S2=3S1，求x.

解析：（1） 如右圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CP//BD交AB的延長(zhǎng)線于P.則四邊形BPCD是平行四邊形PC=BD，BP=DC=.根據(jù)等腰梯形的對(duì)角線相等，有AC=PC，并且CE⊥AB，所以AE=BP=AP =2，又CE=2，所以AE=EC.所以∠ACE=∠PCE=45°，所以∠AHB=∠ACP=90°.AC=APsin45°=4×=4.

⑵觀察上圖，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線RQ移動(dòng)時(shí)間最大時(shí)到達(dá)點(diǎn)C，此時(shí)x=秒，說(shuō)明自變量的取值范圍為0≤x≤2，而直線MN最大平移距離是AC=2，即到達(dá)線段AC的中點(diǎn)位置.當(dāng)直線RQ運(yùn)動(dòng)到線段BD位置之前，即0≤x≤時(shí)，兩條直線掃過(guò)的圖形都是三角形，而當(dāng)直線RQ運(yùn)動(dòng)超過(guò)線段BD位置之后，即≤x≤2時(shí)，直線MN掃過(guò)的圖形仍是三角形，直線RQ掃過(guò)的圖形則是五邊形，所以需要分兩種情況討論：

①當(dāng)0

∵M(jìn)N∥BD，

∴△AMN∽△ARQ，根據(jù)相似三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)高的平方比，

∴=（）2=4. ∴S2≠3S1.

②當(dāng)≤x≤2時(shí)，先用含有x的代數(shù)式分別表示S1，S2，然后由S2=3S1列出方程，解之可得x的值.

如圖左所示，因?yàn)镃G=4-2x，CH=1，BD=AC=4所以S△BCD =×4×1=2，由于△CQR∽CBD，根據(jù)相似三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)高的平方比得 S△CRQ =2×（） 2=8（2-x）2

∴S2=S梯形ABCD-S△CRQ= 8-8（2-X）2 ，同理 =（）2，即 =（） 2

∴S1=x2由S2=3S1，得方程8-8（2-x）2=3× x2， 解得x1=（舍去），x2=2.

∴x=2.

注：本題重點(diǎn)考查等腰梯形， 相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的增減性和配方法求最值；分類討論，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想等. （1）問(wèn)是通過(guò)平移對(duì)角線，將等腰梯形轉(zhuǎn)化為等腰三角形，利用“三線合一”性質(zhì)和勾股定理（或銳角三角函數(shù)）獲得問(wèn)題答案的.通過(guò)添輔助線將梯形問(wèn)題化歸為特殊的三角形、特殊的平行四邊形是解決梯形問(wèn)題有效方法.

三、圖形的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

用圖形的變換設(shè)計(jì)一個(gè)圖形變化的數(shù)學(xué)環(huán)境，來(lái)探究新圖形的性質(zhì)，或其中某些量之間的函數(shù)關(guān)系（多數(shù)是面積問(wèn)題）.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握變換的本質(zhì)特征，運(yùn)用其不變量探究變化的圖形中一些量之間的特定關(guān)系.

例3 如左圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合.將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q.

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如右圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ；并求當(dāng)BP=a ，CQ=a時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離 （用含的代數(shù)式表示）.

分析：（1）依題意△ABC與△DEF是等腰直角三角形，所以∠B=∠DEF=∠C=45°，根據(jù)相似模型可知△BPE∽△CEQ，又AP=AQ，所以BP=CQ， 所以△BPE≌△CEQ（AAS）.

（2）因?yàn)椤鱀EF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，∠B=∠DEF=∠C=45°保持不變，則∠BEP+∠BPE=135°，∠BEP+∠CEQ=135°仍成立，所以∠CEQ=∠BPE仍成立，所以△BPE∽△CEQ.所以=，又BE=CE，即BE2=a2，所以BE=CE=a，所以BC=3a，在等腰直角△ABC中，所以AC=3a，所以AQ=CQ-AC=a，又AP=AB-BP=3a-a=2a，在Rt△PAQ中，由勾股定理得PQ==a.

評(píng)注：抓住圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，其中的不變量（∠B=∠DEF=∠C=45°）或不變關(guān)系（△BPE與△CEQ之間的相似關(guān)系）是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）