在教學中培養(yǎng)學生的模型思想

陳幼真

新課程標準很多地方提到模型思想，它應當是數(shù)學教學的核心主題。培養(yǎng)學生的模型思想離不開問題情境，離不開應用驗證；培養(yǎng)學生的模型思想，離不開老師的耐心引領(lǐng)，老師的引領(lǐng)體現(xiàn)在用教材教而不是教教材。

史寧中教授在《數(shù)學思想概論》中提出這樣的觀點：“數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型……通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系?！背橄蟆⑼评?、模型這三個重要思想，分別從數(shù)學的產(chǎn)生、數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展、數(shù)學與外部關(guān)聯(lián)三個維度上影響著數(shù)學的發(fā)展?？梢姡Ｐ退枷胧且环N數(shù)學的基本思想。

模型思想的內(nèi)涵牽涉到三個對象：數(shù)學模型、數(shù)學建模、模型思想。

數(shù)學模型是溝通數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁，數(shù)學得到的一些結(jié)果要應用于現(xiàn)實世界，就要通過數(shù)學模型來實現(xiàn)。

什么是數(shù)學模型？所謂數(shù)學模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。即用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式及各種圖表、圖形等都是數(shù)學模型。數(shù)學模型有兩個主要特點：第一，它是經(jīng)過抽象舍去對象的一些非本質(zhì)屬性以后所形成的一種純數(shù)學關(guān)系結(jié)構(gòu)；第二，這種結(jié)構(gòu)是借助數(shù)學符號來表示，并能進行數(shù)學操作的結(jié)構(gòu)。

數(shù)學建模，就是通過建立數(shù)學模型的方法來求得問題解決的數(shù)學活動過程。數(shù)學建模的過程本質(zhì)上就是“數(shù)學化”的過程。

建立和求解模型的過程有三個環(huán)節(jié)：首先是“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象數(shù)學問題”，然后“用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”，最后“通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義”。

模型思想的本質(zhì)就是以數(shù)學的眼光看待外部世界、應用數(shù)學解決外部世界問題的思想。它強調(diào)了數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，體現(xiàn)了應用數(shù)學解決問題的意識。

培養(yǎng)學生的模型思想離不開問題情境，離不開應用驗證。例如，學習了“雞兔同籠”這一方程（組）模型后，我布置學生在周邊的生活環(huán)境中找“雞兔同籠”的模型，并嘗試自己建立模型，求解驗證。學生很快聯(lián)想到商貿(mào)市場中的鞋襪店、服裝店、手袋店等等。根據(jù)鞋襪的單價、總價、總數(shù)量，可以求出鞋襪各自的數(shù)量……

培養(yǎng)學生的模型思想，離不開教師的耐心引領(lǐng)。老師的引領(lǐng)體現(xiàn)在用教材教而不是教教材。如學習《數(shù)軸》這一課，我創(chuàng)設(shè)這樣的引言：“同學們要比高矮，有兩種方法。一是大家排成一隊，然后調(diào)整高矮次序；二是大家量下身高，再比較刻畫同學們身高的厘米數(shù)?，F(xiàn)在我們所學的數(shù)擴充到有理數(shù)，有理數(shù)的家族成員，它們也想知道自己的大小，怎么辦呢？”

一言激起千層浪！同學們的思維被調(diào)動起來。“哦，我們也把它們排成一隊”“哦，我們也給它們一把尺子，比比它們的大小。”但這把尺子跟量身高的尺子肯定有不同的地方。身高沒有負數(shù)，有理數(shù)有負數(shù)，大家說怎辦？根據(jù)解決問題的需要，同學們借助尺子的樣子創(chuàng)造出一把新尺子——數(shù)軸。教材中的數(shù)軸模型是溫度計，原點和正負數(shù)（即正方向）、單位長度都已具備，就是說數(shù)軸的三要素是直接給出的，沒有創(chuàng)造的過程。

我之所以說是學生創(chuàng)造出數(shù)軸，那是為了解決正負數(shù)如何排列，先要有一個分類的想法，從而規(guī)定直線上向右的方向為正方向；正負方向從哪個點發(fā)生，這個點就是起始點，即原點；比較數(shù)的大小同樣要有統(tǒng)一的單位，又要求我們要先規(guī)定單位長度。

部分學生很自然地創(chuàng)造出一條鉛直位置上的數(shù)軸，取向上的方向為正方向，我給予充分的肯定。原因是：只有水平位置的數(shù)軸，容易給學生一種錯誤的定勢，以為數(shù)軸只能平放。這會給后繼學習“平面直角坐標系”造成障礙。“平面直角坐標系”的學習要用上鉛直位置上的數(shù)軸，從初學數(shù)軸開始就讓學生對水平位置、鉛直位置上的數(shù)軸有感性的認識，能為往后的學習打好基礎(chǔ)，起碼不陌生。

數(shù)軸這一數(shù)學模型的構(gòu)建離不開學生的生活實際，具體到分類、比身高等等情境。最后抽象出數(shù)軸三要素：原點、正方向、單位長度，并明確三要素缺一不可。整個構(gòu)建過程是水到渠成，沒有半點牽強。

模型思想的提出為數(shù)學教學注入新的活力，幫助學生初步形成模型思想的核心是“數(shù)學建?！被顒?，“數(shù)學建?！钡倪^程既是應用數(shù)學的過程又是發(fā)展數(shù)學的過程。

責任編輯潘孟良