2013年高考數(shù)學必做客觀題——概率統(tǒng)計

章少川

隨機抽樣

（★★★★）必做1 某校有4000名學生，各年級男、女生人數(shù)如下表，已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高一男生的概率是0.2，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取100名學生，則應在高二抽取的學生人數(shù)為_______.

精妙解法 依表知x+y+z=4000-2000=2000，=0.2，于是x=800，故高二的學生人數(shù)為y+z=1200，那么在高二抽取的學生人數(shù)為1200×=30名.

極速突擊 進行分層抽樣時應注意以下幾點：（1）分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且不重疊；（2）為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性要相同；（3）在每層抽樣時，應采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法.

（1）常見的隨機抽樣方法有簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，都是不放回抽樣，它們之間的聯(lián)系和區(qū)別如表2所示.

（2）解決有關隨機抽樣問題，首先要深刻理解各種抽樣方法的特點和實施步驟，其次要熟練掌握系統(tǒng)抽樣中被抽個體號碼的確定方法及分層抽樣中各層人數(shù)的計算方法；抽樣方法經(jīng)常交叉起來使用，如分層抽樣，若每層中的個體數(shù)量仍很大，則可輔之以系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)中的每一均衡的部分，又可采用簡單隨機抽樣.

用樣本估計總體

（★★★）必做2 某商場調查旅游鞋的銷售情況，隨機抽取了部分顧客的購鞋尺寸，整理得如下頻率分布直方圖，其中直方圖從左至右的前3個小矩形的面積之比為1∶2∶3，則購鞋尺寸在[39.5，43.5）內的顧客所占百分比為________.

[0.0875][0.0375][頻率

組矩] [35.5][37.5][39.5][41.5][43.5][45.5][尺寸]

圖1

精妙解法：后兩個小組的頻率為（0.0375+0.0875）×2=0.125×2=0.25，所以前3個小組的頻率為1-0.25=0.75.

又前3個小組的面積比為1∶2∶3，所以第三小組的頻率為×0.75=0.375，第四小組的頻率為0.0875×2=0.175，所以購鞋尺寸在[39.5，43.5）的頻率為0.375+0.175=0.55=55%.

極速突擊 （1）在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1；（2）每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量；（3）在頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率除以組距，它們與頻數(shù)成正比，小矩形的面積等于這一組的頻率.

變量的相關性

（★★★）必做3 某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗. 根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如下表），由最小二乘法求得回歸方程[^][y]=0.67x+54.9.

表3

[零件個

數(shù)x（個）＼&10＼&20＼&30＼&40＼&50＼&加工時

間y（min）＼&62＼&＼&75＼&81＼&89＼&]

現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________ .

精妙解法 由已知可得==30，代入[^][y]=0.67x+54.9，得=75，設模糊數(shù)據(jù)為m，由=75，得m=68.

極速突擊 線性回歸方程過點（，）.

（★★★★）必做4 一場“厲行節(jié)約，反對浪費”的“光盤行動”悄然展開，某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤行動”，得到如下的列聯(lián)表：

表4

[＼&做不到＼&能做到＼&男＼&45＼&10＼&女＼&30＼&15＼&]

表5

[P（K2≥k）＼&0.10＼&0.05＼&0.025＼&k＼&2.706＼&3.841＼&5.024＼&]

附：K2=

參照附表，得到的正確結論是

（ ）

A. 在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤行動與性別有關”

B. 在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤行動與性別無關”

C. 有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤行動與性別有關”

D. 有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤行動與性別無關”

精妙解法 由已知條件可得K2==3.030，因為3.030>2.706，所以有90%的把握認為“市民性別與支持該活動有關系”，故選C.

（1）求線性回歸直線方程的步驟是：作出散點圖，判斷兩個變量是否線性相關；如果是，利用公式求出[a][^]與[b][^]的值，寫出回歸直線方程；再利用求出的方程進行估計.

（2）利用獨立性檢驗可以考查兩個分類變量是否有關系，并能較為準確地給出這種判斷的可信度，具體做法是：根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，計算由公式K2=所給出的檢驗隨機值k，并且k的值越大，說明“兩個變量有關系”的可信度越大.

古典概型

（★★★）必做5 甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（ ）

A. B.

C. D.

精妙解法 設正方形的4個頂點為A，B，C，D，從中任選兩個頂點連成直線，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種不同選法，故甲、乙各從正方形四個頂點中任選兩個頂點連成直線，共有基本事件6×6=36個.

設甲、乙兩人各取兩個頂點連成直線，所得兩條直線互相垂直的事件為M，則M所包含的基本事件如下表：

表6

[甲＼&AB＼&BC＼&CD＼&AD＼&AC＼&BD＼&乙＼&BC＼&AD＼&AB＼&CD＼&AD＼&BC＼&AB＼&CD＼&BD＼&AC＼&]

共包含10個基本事件，所以P（M）==，故選C.

極速突擊 對于古典概型概率的計算，關鍵是分清基本事件個數(shù)n與事件A中包含的結果數(shù)m，再利用公式P（A）=求出事件的概率. 對一些情景較為簡單、基本事件個數(shù)不是太大的概率問題，計數(shù)時只需要用枚舉法即可計算隨機事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，但應特別注意，計算時要嚴防遺漏，絕不重復.

（★★★★）必做6 設函數(shù)f（x）=ax+，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從2，3，4，5四個數(shù)中任取一個數(shù)，則f（x）>b恒成立的概率是________.

[牛刀小試]

精妙解法 f（x）=ax+=ax++1=a（x-1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，

所以f（x）min=（+1）2，于是f（x）>b恒成立就轉化為（+1）2>b成立.

設事件A：“f（x）>b恒成立”，則基本事件總數(shù)為12個，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；

事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），共10個，由古典概型得P（A）==.

（★★★★）必做7 從一個正方體的8個頂點中任取3個，則以這3個點為頂點構成直角三角形的概率為

（ ）

A. B. C. D.

[牛刀小試]

精妙解法 法1：從正方體的8個頂點中任取3個有C=56種取法，可構成的三角形有56種可能，正方體有6個表面和6個對角面，它們都是矩形（包括正方形），每一個矩形中的任意3個頂點可構成4個直角三角形，共有12×4=48個直角三角形，故所求的概率P==，選D.

法2：從正方體的8個頂點中任取3個有C=56種取法，可構成的三角形有56種可能，所有可能的三角形分為直角三角形和正三角形兩類，其中正三角形有8種可能（每一個頂點對應一個），故所求的概率P==，選D.

極速突擊 對于某些稍復雜的事件的古典概型問題，一般要把復雜事件分解為若干個互相排斥或相互獨立、既不重復又不遺漏的簡單事件解決，同時通過排列、組合知識完成計算，這也是考查同學們分析問題、解決問題能力的重要環(huán)節(jié).

幾何概型

（★★★★）必做8 在長度為1的線段內任取兩點，將線段分成三段，則它們可以構成三角形的概率為________.

精妙解法 設線段被分成的三段長分別為x，y，1-x-y，則0

符合條件的點表示平面區(qū)域M=（x，y）0

0

0

，

0

極速突擊 解決此題的關鍵是將已知的兩個條件轉化為線性約束條件，從而轉化成平面區(qū)域中的面積型幾何概型問題. 關鍵在于將問題如何轉化為二維測度面積之比.

（★★★★）必做9 設A={（a，c）

0

A. B.

C. D.

[牛刀小試]

精妙解法 方程ax2+2x+c=0有實根，所以Δ=4-4ac≥0，即ac≤1，結合a，c的限制條件，作出線性規(guī)劃圖.

如圖2，S陰影=S矩形OABE+S曲邊四邊形ABCD=×2+da=1+2ln2，

[O][c][a][A][D][C][F][B][E][圖2]

所以關于x的方程ax2+2x+c=0有實根的概率為

P==.

相互獨立事件、獨立重復試驗及互斥事件的概率

（★★★★）必做10 乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員之間進行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝，比賽結束），假設兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同，則（1）甲以4比1獲勝的概率為______；（2）乙獲勝且比賽局數(shù)多于5局的概率是______.

精妙解法 由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是.

（1）記“甲以4比1獲勝”為事件A，則P（A）=C

=.

（2）記“乙獲勝且比賽局數(shù)多于5局”為事件B.

因為乙以4比2獲勝的概率為P1=C

=，

乙以4比3獲勝的概率為P2=C

=，所以 P（B）=P1+P2=.

極速突擊 用相互獨立事件的乘法公式解題的步驟：

（1）用恰當字母表示題中有關事件；（2）根據(jù)題設條件，分析事件之間的關系；（3）將需要計算概率的事件表示為所設事件的乘積或若干個乘積之和（相互乘積的事件之間必須滿足相互獨立）；（4）利用乘法公式計算概率.

（★★★★）必做11 某果園要用三輛汽車將一批水果從所在城市E運至銷售城市F，已知從城市E到城市F有兩條公路. 統(tǒng)計表明：汽車走公路I堵車的概率為，不堵車的概率為；走公路II堵車的概率為，不堵車的概率為. 若甲、乙兩輛汽車走公路I，第三輛汽車丙由于其他原因走公路II運送水果，且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響，則三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率是_______.

[牛刀小試]

精妙解法 記“汽車甲走公路Ⅰ堵車”為事件A，“汽車乙走公路Ⅰ堵車”為事件B，“汽車丙走公路Ⅱ堵車”為事件C. 于是甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為P=P（A·B·）+P（A··C）+P（·B·C）+P（A·B·C）=××+××+××+××=.

極速突擊 在解此類題時，要明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的含義，以免混淆. 理解事件的相互獨立性并熟練運用公式是解此類問題的關鍵.

（★★★）必做12 某一批花生種子，如果每一粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是________.

[牛刀小試]

精妙解法 本題是獨立重復實驗B4

，，P（k=2）=C

2

2=.

極速突擊 獨立重復試驗，是在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗. 在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的.

（★★★★）必做13 設10件產(chǎn)品中有4件不合格，從中任意取2件，試求在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品的條件下，另一件也是不合格品的概率是（ ）

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5

精妙解法 記事件A為“有一件是不合格品”，事件B為“另一件也是不合格品”，

n（A）=CC+C=30，n（AB）=C=6，所以P（B|A）==0.2.

極速突擊 條件概率問題是高中新課程新增知識，同時也是一個冷點，復習時一定要引起注意.

（1）在解決互斥事件與相互獨立事件的概率問題時，首先要注意互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別和運用場合. 善于將復雜的事件分解為互斥事件的和與獨立事件的積是解題的關鍵.

（2）如果一個問題包含的正面情況比較多，反面情況比較少，則一般利用對立事件求解，即先求出欲求概率事件的對立事件的概率，再得到欲求事件的概率，一般地，“至少”“至多”等問題往往會用到這種方法求解.

離散型隨機變量的分布列、期望和方差

（★★★★）必做14 如圖3，已知長方形ADEH是由三個邊長為1的正方形拼接而成的，從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這八個點中任取三個點組成的圖形面積記為ξ，且當三點共線時ξ=0，則數(shù)學期望Eξ的值為________.

[E F G H][A B C D]

圖3

[牛刀小試]

精妙解法 ξ=0，，1，，

P（ξ=0）==，P

ξ=

==，

P（ξ=1）==，P

ξ=

==，

所以Eξ=0×+·+1·+·===.

極速突擊 求離散型隨機變量ξ的期望的步驟為：

（1）理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；

（2）計算出ξ取每一個值時的概率；

（3）寫出ξ的分布列；

（4）利用公式Eξ=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn，求出期望.

（★★★）必做15 根據(jù)新交規(guī)的要求，某駕校將小型汽車駕照考試科目二的培訓測試調整為：從10個備選測試項目中隨機抽取4個，只有選中的4個項目均測試合格，科目二的培訓才算通過. 已知甲對10個測試項目測試合格的概率均為0.8，則甲最后通過測試項目的期望值是________.

[牛刀小試]

精妙解法：甲的測試項目合格數(shù)為ξ，則ξ～B（4，0.8），

所以Eξ=4×0.8=3.2.

極速突擊 當斷定隨機變量服從兩點分布或二項分布時，可不用列出分布列，直接用公式求出Eξ與Dξ.

（1）求離散型隨機變量的概率分布表的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類求概率的公式，求出概率.

（2）離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.

（3）注意應用概率之和為1這一性質檢驗解答是否正確.

正態(tài)分布

（★★★）必做16 設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，22），則P（2<ξ<3）可以被表示為（ ）

A. 1-P（ξ<1）

B.

C. P（0<ξ<1）

D. +P（ξ<1）

精妙解法 由于正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=2，由對稱性知P（ξ<1）=P（ξ>3），又曲線與x軸之間的面積為1，所以2P（2<ξ<3）=1-2P（ξ<1），即P（2<ξ<3）=，選B.

正態(tài)分布問題關鍵是抓住兩個參數(shù)μ和σ，其中μ表示隨機變量的均值，σ表示隨機變量的標準差，同學們應明確正態(tài)曲線以下性質：

（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關于直線x=μ對稱；（3）曲線在x=μ處達到峰值；（4）曲線與x軸之間的面積為1；（5）μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中.