2013年高考數(shù)學(xué)必做客觀題——解析幾何

廖如舟

直線方程及位置關(guān)系

（★★★）必做1 已知曲線y=x2的所有弦都不能被直線y=m（x-3）垂直平分，則常數(shù)m的取值范圍是______.

[牛刀小試] [牛刀小試]

精妙解法 設(shè)拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)A（x1，x），B（x2，x）關(guān)于直線y=m（x-3）對稱，則

=m

-3

，

=-，消去x2得：2x+x1++6m+1=0.

由x1∈R知，Δ=>0，從而有（2m+1）（6m2-2m+1）<0，

故可解得m<-，故原問題的解為m≥-.

極速突擊 直接求解較為困難，可以從反面來考慮，先求使曲線y=x2上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y=m（x-3）對稱的m的取值范圍.

（★★★）必做2 在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到直線l1：y=3x和l2：y=-x的距離之和為4，則的最小值為________.

[牛刀小試] [牛刀小試]

精妙解法 法1：由題意可知：d1=，d2=，且d1+d2=4，即=4，則有10（a2+b2）+2

3a-b

a+3b

=160.

因?yàn)?60≤10（a2+b2）+（

3a-b

2+

a+3b

2）=20（a2+b2），則a2+b2≥8，的最小值為2.

法2：由于l1，l2互相垂直，則P（a，b）到兩直線的距離之和即為一個(gè)矩形的兩直角邊長的和. 可設(shè)兩邊長分別為x，y，則x+y=4，而OP2=x2+y2，則由不等式的知識可得：

x2+y2≥2·

=2×4=8，即OP2=a2+b2≥8，得解.

法3：由于l1，l2互相垂直，可將其看做是直角坐標(biāo)系. 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，到兩坐標(biāo)軸的距離之和為4的軌跡是直線x+y=4，的最小值即等價(jià)于從O到直線的距離最小，那么即為過O引直線的垂線，即dmin=2.

圓的方程及位置關(guān)系

（★★★）必做3 已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則C的方程為__________.

[牛刀小試]

精妙解法 由題意知，兩切線間的距離即為圓C的直徑，所以半徑r=×=，又兩切線分別與直線x+y=0的交點(diǎn)為切點(diǎn)，可得兩切點(diǎn)分別為（0，0），（2，-2），故圓心為C（1，-1），所以C的方程為（x-1）2+（y+1）2=2.

極速突擊 數(shù)形結(jié)合，通過幾何圖形快速確定圓的圓心、半徑，充分利用問題的“個(gè)性”條件. 一般利用幾何意義解題會(huì)比較直觀、簡潔.

（★★★）必做4 已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)F（0，1），并且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的面積（ ）

A. 有最大值為π

B. 有最小值為π

C. 有最大值為4π

D. 有最小值為4π

[牛刀小試]

精妙解法 如圖1所示，由圓C經(jīng)過點(diǎn)F（0，1），并且與直線y=-1相切，可得點(diǎn)C的軌跡為拋物線x2=4y，顯然，以拋物線x2=4y上任一點(diǎn)為圓心可作出任意大的圓，與直線3x-4y+20=0相交，即圓C的面積不存在最大值. 設(shè)圓C與直線3x-4y+20=0相切于點(diǎn)A，其圓心為（x0，y0），則由AC=PC可得，d==y0+1（點(diǎn)C在直線3x-4y+20=0的右側(cè)），即=x+1，解得x0=-2或x0=（舍去）. 當(dāng)x0=-2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（-2，1），此時(shí)圓C的半徑為2，即可得圓C的面積的最小值為4π

極速突擊 弄清楚最小圓圓心的位置，很快可以算出最小半徑的圓的相關(guān)數(shù)據(jù).

掌握圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，“選形式，求參數(shù)”是確定圓的方程的基本方法，圓心是定位，半徑是定形，將代數(shù)和幾何的方法有效結(jié)合起來，會(huì)比較直觀和簡潔.圓心與半徑作為圓的兩個(gè)核心要素要念念不忘，“圓不離心”，涉及圓的試題大多要從圓心考慮，通過半徑建立關(guān)系.

直線與圓的位置關(guān)系

（★★★★）必做5 若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax+by=0的距離為2，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）

A.

，

B.

，

C.

，

D.

0，

精妙解法 法1：圓x2+y2-4x-4y-10=0整理為（x-2）2+（y-2）2=（3）2，

圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑為3. 要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ax+by=0的距離為2，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，≤，

+4

+1≤0，則-2-≤≤-2+，k= -，則2-≤k≤2+，

故直線l的傾斜角的取值范圍是

，

，選B.

法2：由題意可知：圓心到直線的距離為，而圓心與原點(diǎn)連線的傾斜角為45°，且圓心到原點(diǎn)的距離為2，故有傾斜角為45°±30°，故選B.

（★★★）必做6 若已知不等式≤k（x+2）-的解集為區(qū)間[a，b]，且b-a=2，則k=__________.

精妙解法 令y1=，y2=k（x+2）-，則y1=表示的是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的半圓在x軸上方的部分；y2=k（x+2）-表示的是過定點(diǎn)（-2，-）的直線系，那么使得直線在半圓上方的x就是不等式的解，顯然b=3，則a=1，故點(diǎn)（1，2）是直線與半圓的交點(diǎn)，故點(diǎn)（1，2）在直線上，即有k=.

（★★★★）必做7 已知圓O：x2+y2=1和二次曲線y=x2-2上三個(gè)不同點(diǎn)P，Q，R，已知直線PQ和直線PR都與圓O相切，則直線QR與圓O的位置關(guān)系是__________.

[牛刀小試]

精妙解法 設(shè)P（a，a2-2），Q（b，b2-2），R（c，c2-2），則直線PQ：（a+b）x-y-ab-2=0，

直線PR：（a+c）x-y-ac-2=0，直線QR：（b+c）x-y-bc-2=0. 由于直線PQ和直線PR與圓O相切，=1，（a2-1）b2+2ab+3-a2=0，（a2-1）c2+2ac+3-a2=0，

所以b，c是方程（a2-1）x2+2ax+3-a2=0的兩根，則有b+c=，bc=，故圓心O到直線QR的距離為d===1，即相切.

極速突擊 運(yùn)用方程的根的意義將直線PQ和PR與圓O相切的關(guān)系轉(zhuǎn)化到直線QR與圓O的關(guān)系上.

圓錐曲線的定義

（★★★）必做8 已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線y2=4x上，拋物線的焦點(diǎn)為F，若+=，則

FA

+

FB

+

FC

=________.

精妙解法 拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）. 設(shè)A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），=（1-x3，-y3），x1-1+x2-1=1-x3，所以x1+x2+x3=3，所以FA+FB+FC=x1+x2+x3+3=6.

（★★★★）必做9 已知F1，F(xiàn)2為橢圓+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是橢圓上與F1，F(xiàn)2不共線的任意一點(diǎn)，I是△MF1F2的內(nèi)心，延長MI交F1F2于點(diǎn)N，則=__________.

[牛刀小試]

精妙解法 I是△MF1F2的內(nèi)心，MN是∠F1MF2的角平分線，則=，=，即=，=，=（角平分線定理）.

極速突擊 充分利用圖形，結(jié)合橢圓的定義和角平分線定理，利用內(nèi)心到三條邊的距離相等快速解決，切勿用計(jì)算長度的思維定式求解.

（★★★★★）必做10 雙曲線-=1（b∈N）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上的一點(diǎn)，

OP

<5，

PF1

，

F1F2

，

PF2

成等比數(shù)列，則b2=________.

[牛刀小試]

精妙解法 作P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P′，使得PF1P′F2為平行四邊形，令

PF1

=m，

PF2

=n，則2（m2+n2）=4c2+4

OP

2，故

OP

2=-c2<25，而m-n=4，mn=4c2，故3c2=3（4+b2）<17，b∈N，所以b2=1.

極速突擊 本題關(guān)鍵在于

OP

<5這個(gè)條件的使用，我們能夠在焦點(diǎn)三角形中建立出方程，但是如果設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，那么將陷入到復(fù)雜的運(yùn)算中，故我們要利用

OP

與

PF1

，

PF2

之間的關(guān)系，即平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和（可用向量、余弦定理等許多方法證明）.

圓錐曲線的性質(zhì)

（★★★★）必做11 若橢圓+y2=1（m>1）與雙曲線-y2=1（n>0）有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則△F1PF2的面積是________.

精妙解法 對于橢圓+y2=1，有c2=m-1；對于雙曲線-y2=1，有c2=n+1，故有m-1=n+1，即m-n=2，由P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則有

PF1

+

PF2

=2，①

PF1

-

PF2

=2，②

則由①②可得：

PF1

·

PF2

=m-n=2.

又cosα===0，面積為

PF1

·

PF2

=1.

亦可由S△F1PF2=×

F1F2

yP

，且

F1F2

=2，且點(diǎn)P為兩曲線的交點(diǎn)，故可得：

yP

=，即S△F1PF2=×2==1.

（★★★★）必做12 已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_______.

[牛刀小試]

精妙解法 由已知有==+PF2+4a≥4a+4a=8a，

其中當(dāng)且僅當(dāng)=PF2，即PF2=2a時(shí)取等號. 這時(shí)PF1=4a. 由PF1+PF2≥F1F2，得6a≥2c，即e=≤3，所以e∈（1，3].

（★★★★）必做13 已知拋物線y2=2px（p>0）與雙曲線-=1（a>0，b>0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，若l為雙曲線一、三象限的一條漸近線，則l的傾斜角所在的區(qū)間可能是（ ）

A. 0，

B.

，

C.

，

D.

，

[牛刀小試]

精妙解法 設(shè)雙曲線半焦距為c，l的傾斜角為θ，則c2=a2+b2>b2，依題意有c=①，在拋物線中求得AF=p，在雙曲線中求得AF=，所以=p②，由①②得=2c，故tanθ==>2. 又θ∈0，

，于是θ∈

，

，選D.

（★★★★）必做14 已知點(diǎn)A（，0）和曲線y=（2≤x≤2）上的點(diǎn)列P1，P2，…，Pn，若

P1A

，

P2A

，…，

PnA

成等差數(shù)列，并且公差d∈

，

，則n的最大值為______.

精妙解法 題設(shè)的曲線是如下的曲線的一段，即-y2=1（2≤x≤2，y≥0），A（，0）是它的右焦點(diǎn)，x=是右準(zhǔn)線. 設(shè)P（2，2），離心率e=，得

PnA

min=-2，

PnA

max=e

PH

=

2-

=3（

PH

為P到準(zhǔn)線的距離）. 由等差數(shù)列a1=-2，an=3，則d=（n>1），而d∈

，

，即n∈（7，15），故n的最大值為14.

在平面解析集合中，抓住定義的本質(zhì)屬性和曲線方程的幾何特征，往往能為研究曲線的幾何性質(zhì)提供簡捷的解題途徑. 同時(shí)，要充分認(rèn)識和體驗(yàn)?zāi)承缀瘟康膸缀我饬x，重視“形助數(shù)”和“數(shù)研形”的簡化運(yùn)算功能.