從數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度淺談基本不等式

何最祥

摘 要：高中基本不等式這節(jié)內(nèi)容應(yīng)用很廣，技巧方法也很多，如果缺少數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)，就會(huì)讓學(xué)生學(xué)習(xí)起來困難。從數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度來分析基本不等式，將雜亂的技巧方法統(tǒng)一起來，讓學(xué)生在探究中明白為什么要這么做，這么做的思想是什么，甚至能讓學(xué)生感覺到其本質(zhì)，最后再舉出例子讓學(xué)生看到其思想是“配湊法”，其本質(zhì)是“一正、二定、三相等”，這樣才能讓學(xué)生真正地學(xué)會(huì)運(yùn)用基本不等式來解決問題。

關(guān)鍵詞：基本不等式；數(shù)學(xué)思想；配湊法

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它具有將“和式”“積式”互相轉(zhuǎn)化的放縮功能，同時(shí)也是證明不等式及函數(shù)最值的重要工具。大部分的教師在教學(xué)生時(shí)，都告訴學(xué)生口訣“一正、二定、三相等”，也告訴學(xué)生要靈活運(yùn)用；而運(yùn)用過程的思路方法卻有很多，部分教師在這個(gè)過程中給了學(xué)生各種題型的練習(xí)，最后讓學(xué)生記住了方法，知道了如何做題，但是卻丟掉了最寶貴的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)。

我們所學(xué)的基本不等式形式多種多樣，證明方法也靈活多變，它的知識(shí)本質(zhì)我概括為：“正”“定”“等”“同”四個(gè)字?！罢保夯静坏仁匠闪⒁蟾黜?xiàng)都為正值；“定”：要求“和”或者“積”為定值，當(dāng)然也注意在考試時(shí)要證明兩個(gè)含未知數(shù)式的大小關(guān)系時(shí)，不要求定，定只是用于求取值范圍，求最值；“等”：要探究等號(hào)條件是否成立；“同”：在多次取等號(hào)是，是否每次取等都滿足，還有分為幾部分取等時(shí)要求同時(shí)滿足，這個(gè)教師很少提及但是該注意它。

很多教師將基本不等式的數(shù)學(xué)思想分為很多類，正用：由“積式”向“和式”的轉(zhuǎn)化；逆用：由“和式”向“積式”的轉(zhuǎn)化；疊用：連續(xù)多次使用基本不等式等等。而我覺得這樣的分類只是根據(jù)形式而言，根本沒有考慮數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想問題，以上分類我都?xì)w納為一種配湊法，需要什么配什么。這就是基本不等式的數(shù)學(xué)思想。

接下來我來舉些例子來讓大家看到數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想的妙用，讓大家知道為什么要這么做。

對(duì)比解法一和解法二，你覺得解法一能夠想到嗎？而解法二正是很自然的方法，這就是本質(zhì)。這道高考題中規(guī)中矩，很多學(xué)生都會(huì)，但是面對(duì)我的這個(gè)變?cè)囶}很多人無從下手，其實(shí)也很簡(jiǎn)單，這就說明學(xué)生沒有領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想。

記住我們的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)“一正、二定、三相等”，而思想就是配湊法，需要什么造什么?？丛呖碱}直接有了，無需配湊學(xué)生都會(huì)，而對(duì)于變式就是需要什么構(gòu)造什么，利用加一個(gè)減一個(gè)，運(yùn)用簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的思想就能解決所有的問題。

通過上面兩個(gè)奧賽題的分析，我們最終發(fā)現(xiàn)了再難的題考得也是最本質(zhì)的思想。

數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的根本任務(wù)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的思維能力發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生學(xué)有所思、學(xué)有所悟、學(xué)有所得，同時(shí)教師也該通過自我領(lǐng)悟，自我反思，自我總結(jié)來培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維能力水平。希望每個(gè)教師能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，傳授給每個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)！

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論.東北師范大學(xué)出版社，2008.

[2]董毅.數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化.安微大學(xué)出版社，2012.

（作者單位 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）