平面向量·定理及坐標(biāo)運算

一、選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個選項符合題意）

1. 若[e1]，[e2]是平面內(nèi)的一組基底，則以下的四組向量中不能作為一組基底的是（ ）

A. [e1]，[2e2] B. [e1]，[e1]-[e2]

C. [-e1]+[e2]，[e1]-[e2] D. [e1]+[e2]，[e1]-[e2]

2. 設(shè)[a=（2，3）]，[a]在[b]方向上的投影為[3，][b]在[x]軸上的投影為1，則[b=]（ ）

A. [（1，512）] B. [（-1，512）]

C. [（1，-512）] D. [（-1，-512）]

3. 若非零向量[a，b]滿足[a=b]，且[（2a+b）?b][=0]，則向量[a，b]的夾角為（ ）

A.[120?] B. [30?] C. [60?] D. [150?]

4. 在邊長為[1]的菱形[ABCD]中，[∠BAD=60?]，[E]是[BC]的中點，則[AC?AE=]（ ）

A. [3+33] B. [92]

C. [3] D. [94]

5. 對任意兩個非零的平面向量[α]和[β]，定義[α?β=α?ββ2]；若平面向量[a，b]滿足[a≥b>0]，[a]與[b]的夾角[θ∈（0，π4）]，且[a?b]，[b?a]都在集合[n2n∈Z]中，則[a?b=]（ ）

A. [52] B. [32]

C. [1] D. [12]

6. 已知向量[a=（cosθ，sinθ），b=（cosφ，sinφ）]，若[θ-φ=π3]，則向量[a]與向量[a+b]的夾角是（ ）

A. [60?] B. [30?] C. [150?] D. [120?]

7. 已知[A，B，C]是平面上不共線的三點，[O]為平面[ABC]內(nèi)任一點，動點[P]滿足等式：[OP=13[（1-λ）OA+（1-λ）OB+（1+2λ）OC]] （[λ∈R]且[λ≠0]），則點[P]的軌跡一定通過[ΔABC]的（ ）

A. 內(nèi)心 B. 垂心

C. 外心 D. 重心

8. 點[O]是銳角[ΔABC]外接圓圓心， [∠A=θ，]若[cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，] 則[m=]（ ）

A. [sinθ] B. [cosθ]

C. [tanθ] D. 不能確定

9. 在[ΔABC]中，點[D]在[AB]上，[CD]平分[∠ACB]. 若[CB=a，CA=b，a=1，b=2]，則[CD=]（ ）

A. [13a+23b] B. [23a+13b]

C. [35a+45b] D. [45a+35b]

10. 已知[C]為線段[AB]上一點，[P]為直線[AB]外一點，滿足[|PA|-|PB|=2，|PA-PB|=25]，[PA?PCPA=][PB?PCPB]，點[I]在[PC]上，且[BI=BA+λ（AC|AC|+AP|AP|）][（λ>0）]，則[BI?BABA]的值為（ ）

A. [5] B. [2]

C. [5-1] D. [0]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 已知兩非零向量[a，b]滿足[a=2，][a-b][=1]，則向量[a，b]夾角的最大值是 .

12. 已知[a=（m，5+m），b=（n，3+n）]，則[a+b]的最小值為 .

13. 已知同一平面上的向量[PA，PB，AQ，BQ]滿足如下條件：①[|PA+PB|=|AB|=2]； ②[（AB|AB|+AQ|AQ|）?BQ=0]； ③[|AB+AQ|=|AB-AQ|].則[|PQ|]的最大值與最小值之差是 .

14. 在四邊形[ABCD]中，[AB=DC=（1，1）]，[1BABA+1BCBC=3BDBD]，則該四邊形的面積為 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）在[ΔABC]中，點[M]是[BC]的中點，點[N]在邊[AC]上，且[AN=2NC，AM]與[BN]相交于點[P]，求[AP∶PM]的值.

16. （10分）在[ΔOAB]中，[OC=14OA，OD][=12OB，][AD]與[BC]交于點[M]，設(shè)[OA=a，OB=b].

（1）以[a，b]為基底表示[OM]；

（2）過[M]作直線交[OA，OB]分別于[E，F(xiàn)]，若[OE=13OA，OF=λOB]，求[λ]的值.

17. （12分）[ΔABC]中，[AE=13AC，AF=14AB，][BE]交[CF]于[O]，連[AO]交[BC]于[P]，求[SΔPCE∶SΔABC]的值.

18. （12分）已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上的動點到焦點距離的最小值為[2-1]，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線[x-y+2=0]相切.

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）若過點[M（2，0）]的直線與橢圓[C]相交于[A，B]兩點，[P]為橢圓上一點， 且滿足：[OA+OB=tOP]（[O]為坐標(biāo)原點），當(dāng)[|AB|=253] 時，求實數(shù)[t]的值.