例談高中數(shù)學(xué)中化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

朱有祥

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常遇到一些問題直接求解較為困難，然而通過觀察、分析等思維過程，可以將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題，通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”.

一、用換元法實(shí)現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化

（Ⅰ）令a=1，求函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程；

（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

分析本題是一個(gè)非基本初等函數(shù)在某點(diǎn)處切線和單調(diào)性的問題.在（Ⅰ）中，把a(bǔ)=1代入函數(shù)的解析式后，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得f（x）在x=2處的切線斜率，最后寫出方程.在（Ⅱ）中，先求函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx（x>0）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再令f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求得a的取值范圍. 通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把非基本初等函數(shù)的切線和單調(diào)性問題，化歸為求導(dǎo)函數(shù)值和不等式恒成立問題，這是導(dǎo)數(shù)的重要貢獻(xiàn)之一.

分析若從題設(shè)入手，三個(gè)方程至少有一個(gè)有實(shí)數(shù)根，則需要分為三類，即有一個(gè)方程有實(shí)根，有兩個(gè)方程有實(shí)根， 有三個(gè)方程有實(shí)根.而且前兩類中又各有三種情況，比較復(fù)雜.因此考慮該問題的相反情況即：三個(gè)方程都沒有實(shí)根.求得a的范圍后，再在R上求補(bǔ)集.該轉(zhuǎn)化較好地體現(xiàn)了正難反則易的思想.

總之，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法是高中數(shù)學(xué)的一種非常重要的思想方法.因此，掌握好化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法的特點(diǎn)，對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常有幫助的.