分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

周洪榮

【摘要】本文舉例說(shuō)明了分類討論的思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，對(duì)幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的思想方法和技巧有一定的幫助。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué) 分類討論 思想方法

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）04-0149-01

數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，具有更高的層次和地位。它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有認(rèn)真領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想與方法，才能在分析和解決問(wèn)題時(shí)得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法，書本的、別人的知識(shí)和技巧才會(huì)變成自己的能力。

數(shù)學(xué)思想方法種類繁多，諸如數(shù)形結(jié)合，化歸，分類討論，整體思想等等。每一種數(shù)學(xué)思想方法都有與之相適應(yīng)的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，本文以分類討論思想為例，談?wù)剶?shù)學(xué)思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。

一、由于概念本身需要分類的，像等比數(shù)列的求和公式中對(duì)公比的分類和直線方程中對(duì)斜率的分類等

例1.[2012年重慶卷21題] 設(shè)數(shù)列{an} 的前n 項(xiàng)和 Sn滿足Sn+1 =a2Sn+a1，其中a2≠0，

（1）求證：{an} 是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；

（2）若a2>-1，求證：Sn≤■（a■+a■），并給出等號(hào)成立的充要條件。

解析：（1）略

（2）當(dāng)n=1 或2時(shí)，顯然Sn≤■（a■+a■） ，等號(hào)成立。

設(shè)n≥3 ， a2>-1且a2≠0 ，由（1）知a=1 ，an=a2n-1 ，所以要證的不等式化為1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n-1），（n≥3 ）

即證：1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n），（n≥2 ）

當(dāng)a2=1 時(shí)，上面不等式的等號(hào)成立。

當(dāng)-1

當(dāng)a2>1 時(shí)，a2r-1 與a2n-r -1 （ r=1，2，…，n-1）同為正。

因此當(dāng)a2>-1 且a2≠1 時(shí)，總有（a2r-1）（a2n-r -1）>0 ，即

a2r-1+a2n-r <1+a2n（ r=1，2，…，n-1）

上面不等式對(duì) 從1到n-1求和得：

2（a2+a22+...+a2n-1）<（n-1）（1+a2n）

由此可得1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n），（n≥2 ）

綜上，當(dāng)a2>-1 且a2≠1 時(shí)，有Sn≤■（a■+a■），當(dāng)且僅當(dāng)n=1，2或a2=1 時(shí)等號(hào)成立。

本題在等比數(shù)列求和時(shí)對(duì)公比進(jìn)行分類討論。因此在此類題目中，我們一定要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，只能按確定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類。

二、同解變形中需要分類的，如含參問(wèn)題中對(duì)參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等

例2.（2012高考真題安徽理19）設(shè)f（x）=aex+■+b（a>0） 。

（I）求f（x） 在[0，+∞） 上的最小值；

（II）設(shè)曲線y=f（x） 在點(diǎn)（2，f（2）） 的切線方程為y=■x ；求a，b 的值。

解析：（I ）設(shè)t=ex（t≥1） ；

則y=at+ ■+b？圯y'=a-■=■，

①當(dāng)a≥1 時(shí)， y'>0？圯y= at+■+b在t≥1 上是增函數(shù)，

得：當(dāng)t=1（x=0） 時(shí)， f（x）的最小值為a+■+b 。

②當(dāng)0

當(dāng)且僅當(dāng)at=1（t=ex= ■，x=-1na）時(shí)，f（x）的最小值為（b+2）。

（II）略

本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基本方法，考查在有參數(shù)的情況下用分類討論思想解決問(wèn)題的能力。由于分類討論使這類題變得易于解決。

由以上示例可看出，用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本步驟大致可分四步：（1）確定討論對(duì)象和確定研究的區(qū)域；（2）對(duì)所討論的問(wèn)題進(jìn)行合理的分類（分類時(shí)需要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級(jí)）；（3）逐類討論：即對(duì)各類問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決；（4）歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論。這就是戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)里的“分而治之，各個(gè)擊破”。

參考文獻(xiàn)：

[1] 孫洪權(quán)，淺談數(shù)學(xué)中的分類討論[J]，數(shù)學(xué)大世界：教學(xué)導(dǎo)向-2006年1期。

[2] 張喬富，數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的應(yīng)用[J]，理科考試研究：初中版-20。