標(biāo)準(zhǔn)U形斷面渠槽正常水深的簡(jiǎn)化計(jì)算法

　，

(1.齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江　齊齊哈爾　161006；2.齊齊哈爾市河道管理處，黑龍江　齊齊哈爾　161006)

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由于標(biāo)準(zhǔn)U形渠槽斷面曲線連續(xù)、水流條件好、力學(xué)性能優(yōu)越，因此該種斷面是渡槽工程普遍采用的形式之一。同時(shí)，該種斷面工程占地少被廣泛地應(yīng)用于水利水電灌排及城市供水排水工程中。由于標(biāo)準(zhǔn)U形斷面渠槽分別由下部的半圓形及上部的矩形構(gòu)成，其正常水深計(jì)算不但涉及超越方程求解，而且還要根據(jù)計(jì)算的分界參數(shù)分別選取不同的計(jì)算公式，致使采用常規(guī)的試算法或圖表法[1-2]計(jì)算過程比較繁復(fù)，且求解成果精度不高；而計(jì)算機(jī)編程求解又不便于基層工程技術(shù)人員使用。到目前為止，尚沒有比較理想的有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)U形斷面渠槽正常水深的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[3]通過采用優(yōu)化擬合的方法提出當(dāng)h≥r(h為正常水深，m；r為底弧半徑，m)的近似計(jì)算公式，但因當(dāng)0≤h≤r時(shí)，需采用圓形斷面的正常水深計(jì)算公式完成相關(guān)計(jì)算，不便實(shí)際應(yīng)用。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化標(biāo)準(zhǔn)U形斷面渠槽正常水深的計(jì)算過程，提高求解精度，本文采用優(yōu)化擬合的方法，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，獲得了由一個(gè)表達(dá)式給出，且具有較高求解精度的簡(jiǎn)化近似計(jì)算式，可在實(shí)際設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。

1　正常水深的基本計(jì)算方程

根據(jù)水力學(xué)原理[4]，正常水深的基本計(jì)算方程為：

(1)

式中：Q為渠道通過流量，m3/s；X為濕周，m；A為過水?dāng)嗝婷娣e，m2；n為渠槽糙率；i為渠槽設(shè)計(jì)坡降。

1.1　標(biāo)準(zhǔn)U形斷面水力要素

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)U形斷面(見圖1)，由其幾何關(guān)系可得：

圖1　標(biāo)準(zhǔn)U形斷面圖

(2)

(3)

1.2　標(biāo)準(zhǔn)U形斷面正常水深計(jì)算公式

將式(2)、(3)代入式(1)，并設(shè):

(4)

(5)

式中：k為中間變量；x為無量綱水深。

經(jīng)進(jìn)一步整理即可獲得求解標(biāo)準(zhǔn)U形斷面渠槽正常水深的基本計(jì)算公式為：

(6)

2　標(biāo)準(zhǔn)U形斷面正常水深的近似計(jì)算公式

2.1　擬合公式的建立

式(6)為含x的超越方程，無法直接獲解。為避免求解超越方程問題，在工程實(shí)用范圍內(nèi)(即0.005≤x≤2.000)，假定：x′=f(k)(x′為近似替代值)可以替代式(6)，并展繪式(6)x～k關(guān)系曲線，依據(jù)曲線關(guān)系經(jīng)數(shù)值相關(guān)分析，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)[5]，即：

式中：xi為選取的第i(i=1，2，3……，n)個(gè)擬合計(jì)算無量綱水深x值；n為在工程實(shí)用范圍內(nèi)擬合計(jì)算所選取的擬合點(diǎn)數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合[6]即可獲得如下替代函數(shù)，即：

x=(1.7k-1.136-0.261 3)-0.68

(7)

2.2　擬合公式的精度分析

為比較擬合公式(7)與式(6)的替代精度，在給定的實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，取不同的值代入式(6)計(jì)算出與之相對(duì)應(yīng)的ki值，再將ki代入式(7)即可求得與之相對(duì)應(yīng)的xi′，并由下式完成擬合相對(duì)誤差計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表1。

式中：zi為第i個(gè)擬合無量綱水深xi值的擬合相對(duì)誤差，%。

表1　式(7)替代式(6)的擬合精度比較表

由表1可見，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)(即0.005≤xi≤2.000，0.001 66≤ki≤2.447 60)，本文式(7)的最大擬合相對(duì)誤差僅為0.677%，且出現(xiàn)在邊緣一點(diǎn)，其余各擬合點(diǎn)的替代相對(duì)誤差均小于0.5%?？梢?，本文公式具有較好的擬合精度，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)及計(jì)算精度要求。

3　應(yīng)用實(shí)例

根據(jù)已知參數(shù)由式(4)可求得：

將k1、k2分別代入式(7)即可分別解得x1、x2為：

x1=(1.71k1-1.136-0.2613)-0.68=0.593 9

x2=(1.71k2-1.136-0.2613)-0.68=1.805 0

則有：h1=x1·r=1.781 6 m

h2=x2·r=5.414 9 m

經(jīng)利用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，可得精確解分別為h1=1.781 9 m，h2=5.412 5 m。本文公式的計(jì)算相對(duì)誤差分別為0.017%、0.044%。

4　結(jié)　語

針對(duì)目前標(biāo)準(zhǔn)U形斷面正常水深計(jì)算方法存在的問題，通過采用優(yōu)化擬合的方法，經(jīng)逐次逼近計(jì)算，獲得了標(biāo)準(zhǔn)U形斷面正常水深的近似計(jì)算公式。具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)公式的表達(dá)形式簡(jiǎn)單直觀，不分段，不必通過計(jì)算界限參數(shù)判別選取相應(yīng)的計(jì)算公式，實(shí)際工作中僅借助計(jì)算器即可快速完成解算。同時(shí)也可為較復(fù)雜斷面(如馬蹄形、蛋形過水?dāng)嗝?正常水深近似計(jì)算公式的建立提供有益的參考。

(2)通過精度比較及算例計(jì)算分析表明，本文公式的最大擬合相對(duì)誤差出現(xiàn)在邊緣點(diǎn)，且僅為0.677%，其余各點(diǎn)的相對(duì)誤差均小于0.5%(占總比較點(diǎn)數(shù)的96%)，擬合精度完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)要求，可推廣應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]武漢水利電力學(xué)院水力教研室.水力計(jì)算手冊(cè)[M].北京：水利電力出版社，1983.

[2]華東水利學(xué)院.水工設(shè)計(jì)手冊(cè)[M].北京：水利電力出版社，1983.

[3]滕凱，郭鐵良，孫學(xué)武.U形斷面渠槽的實(shí)用設(shè)計(jì)法[J].灌溉排水，1995，14(2)：43-45.

[4]成都科學(xué)技術(shù)大學(xué)水力學(xué)教研室.水力學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1980.

[5]王慧文.偏最小二乘回歸法及其應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1999.

[6]閻鳳文.測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法[M].北京：原子能出版社，1988.