TTI介質(zhì)qP波逆時(shí)偏移中偽橫波噪聲壓制方法

張 巖，吳國忱

中國石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院地球物理系，青島 266555

1 引 言

研究證實(shí)地球各向異性普遍存在于地下介質(zhì)中.經(jīng)過近幾十年的發(fā)展，傳統(tǒng)的各向同性逆時(shí)偏移技術(shù)不論是在理論上還是在實(shí)際生產(chǎn)中都已獲得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，并逐步趨于成熟［1－5］.而各向異性逆時(shí)偏移技術(shù)的研究仍處于不斷的探索和完善過程中［6－9］.各向異性因素的考慮對(duì)于地震勘探來說至關(guān)重要.例如，對(duì)于巖下構(gòu)造或者是鹽丘側(cè)翼成像時(shí)，未考慮各向異性因素的影響或者是僅僅采用VTI介質(zhì)假設(shè)，會(huì)在最終的成像結(jié)果中產(chǎn)生走時(shí)和振幅的較大誤差，使得反射同相軸不連續(xù)，能量聚焦較差，從而造成偏移假象.在這種情況下，如果采用具有傾斜對(duì)稱軸的TTI逆時(shí)偏移將會(huì)較好地改善成像質(zhì)量.

各向異性介質(zhì)逆時(shí)偏移研究的理論基礎(chǔ)是各向異性全彈性波波動(dòng)方程，其能更加真實(shí)地描述地震波在地球?qū)嶋H介質(zhì)中的傳播.然而，各向異性全彈性波方程逆時(shí)偏移計(jì)算量較大，并且計(jì)算效率低.這對(duì)于本身存在對(duì)計(jì)算機(jī)能力要求非常高的逆時(shí)偏移算法來講是非常不可取的.針對(duì)于目前仍以縱波勘探為主的現(xiàn)狀，僅允許qP波傳播的各向異性偽聲波方程的研究逐漸成為國內(nèi)外專家學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題［10－13］.Alkhalifah（1998，2000）［14－15］從 頻 散 關(guān) 系 出發(fā)，提出了著名的聲學(xué)假設(shè)思想，即把沿著對(duì)稱軸方向的橫波速度設(shè)為零.并由此推導(dǎo)出VTI介質(zhì)四階偏微分偽聲波方程.在此基礎(chǔ)上，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)VTI和TTI介質(zhì)偽聲波方程正演模擬以及偏移成像進(jìn)行了深入研究和探索.吳國忱和梁鍇（2005，2007）［16－17］在空間－頻率域求解VTI介質(zhì)偽聲波方程.由于四階偏微分方程求解時(shí)較為繁瑣，Zhang等（2003）［18］、Zhou等（2006a）［19］、Hestholm（2007）［20］和Du等（2008）［21］推導(dǎo)出VTI介質(zhì)二階耦合偽聲波方程；Zhou等（2006b）［19］、Zhang和Zhang（2008）［22］、Fletcher等（2008，2009）［23－24］將VTI介質(zhì)RTM推廣到TTI介質(zhì)中.Duveneck等（2008，2011）［25－26］從胡克定律和質(zhì)點(diǎn)方程出發(fā)，通過修改彈性矩陣中的參數(shù)，推導(dǎo)出VTI介質(zhì)二階耦合偽聲波方程.Duveneck的方法從物理的角度解釋了水平應(yīng)力分量和垂直應(yīng)力分量的意義.Fowler等（2010）［27］給出了各向異性二階偏微分偽聲波方程的一般形式，并認(rèn)為它們都是等價(jià)的，彼此之間可以相互轉(zhuǎn)化.康瑋等（2011）［28］推導(dǎo)出沒有聲學(xué)假設(shè)的兩個(gè)二階耦合qP和qSV波方程.然而，二階偏微分偽聲波方程進(jìn)行數(shù)值模擬和偏移成像時(shí)，在對(duì)稱軸方向變化梯度較大的區(qū)域會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象.在聲學(xué)假設(shè)條件下，盡管沿對(duì)稱軸方向的橫波速度設(shè)置為零，但是在其他方向上的橫波速度仍不為零.從而產(chǎn)生一種低速度、低振幅的qSV波人為干擾.它會(huì)嚴(yán)重影響最終的偏移成像效果，所以在逆時(shí)偏移成像之前必須進(jìn)行壓制.

針對(duì)目前各向異性qP波方程正演和逆時(shí)偏移中存在的偽橫波噪聲問題，基于弱各向異性假設(shè)的頻散關(guān)系，Klie和Toro（2001）［29］在空間－頻率域推導(dǎo)出不存在qSV波的適用于任意各向異性強(qiáng)度的VTI介質(zhì)偽聲波方程.Du等（2005）［30］同樣在弱各向異性假設(shè)條件下，利用泰勒級(jí)數(shù)展開的方法，推導(dǎo)出TTI介質(zhì)純P波方程.然而，研究發(fā)現(xiàn)聲學(xué)假設(shè)具有更高的精度.因此，從VTI介質(zhì)qP－qSV波精確頻散關(guān)系公式出發(fā)，Pestana等（2011）［31－32］利用泰勒近似對(duì)頻散關(guān)系進(jìn)行了解耦，進(jìn)而推導(dǎo)出VTI介質(zhì)純P波波動(dòng)方程.同年Zhan等［33］利用旋轉(zhuǎn)波數(shù)的概念將其拓展到TTI介質(zhì)中，給出了相應(yīng)的二維TTI介質(zhì)時(shí)間－波數(shù)域純P波方程.Chu等（2011）［34］在Liu（2009）［35］給出的解耦的頻散關(guān)系基礎(chǔ)上，采用泰勒近似的方法推導(dǎo)出時(shí)間－空間域TTI介質(zhì)純P波方程，并對(duì)其精度誤差進(jìn)行了分析.此后Zhang等（2009）［36］以及H.Guan等（2011）［37］分別給出一種壓制干擾波傳播的方法，但是仍有殘余偽橫波能量存在.黃翼堅(jiān)和朱光明（2011）［38］通過對(duì)精確相速度公式進(jìn)行多項(xiàng)式近似，推導(dǎo)出近似的VTI介質(zhì)純P波方程.然而，該方程需要對(duì)系數(shù)進(jìn)行“微調(diào)處理”，并且其只有在Thomsen各向異性參數(shù)ε和δ相等或相差不大時(shí)，才能進(jìn)行較準(zhǔn)確的數(shù)值模擬和偏移成像.

本文借助于TTI介質(zhì)二階耦合偽聲波方程中的輔助波場(chǎng)，給出一種空間域的簡(jiǎn)單、高效的壓制偽橫波噪聲的方法。模型測(cè)試驗(yàn)證了方法的有效性，二維TTI逆掩斷層模型實(shí)驗(yàn)證實(shí)該方法可以進(jìn)行準(zhǔn)確清晰的逆時(shí)偏移成像.

2 各向異性介質(zhì)qP－qSV波波動(dòng)方程

各向異性介質(zhì)中波的相速度、群速度以及偏振方向準(zhǔn)確地描述和刻畫了其在傳播過程中的特征.將平面諧波解代入到Christoffel方程中就得到了VTI介質(zhì)qP波、qSV波和SH波的精確相速度公式［39］.VTI介質(zhì)qP－qSV波的精確相速度公式如下所示：

注意到在由方程（1）轉(zhuǎn)換得到方程（2）的過程中，為了求取精確頻散關(guān)系，在去掉相速度中的根號(hào)時(shí)，采用等號(hào)兩邊平方的方法，由此產(chǎn)生出除了P波解之外的多余解，這就是qSV波人為干擾產(chǎn)生的根本原因［38］.

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，需要借助不同的輔助函數(shù)將四階頻散關(guān)系降為兩個(gè)二階的頻率－波數(shù)域表達(dá)式.本文選擇不同的輔助函數(shù)，進(jìn)而得到三種具有不同波場(chǎng)快照形式的二階耦合qP－qSV波波動(dòng)方程.

（1）選取的輔助函數(shù)為

（3）利用波數(shù)旋轉(zhuǎn)將康瑋等（2011）［28］在波數(shù)域通過投影彈性波方程波場(chǎng)的方法得到的兩組新的VTI介質(zhì)二階耦合qP波和qSV波方程擴(kuò)展到TTI介質(zhì)中，其中qP波方程為

很顯然，對(duì)于方程（5）和（7），當(dāng)采用聲學(xué)假設(shè)vsz＝0時(shí)，就分別退化為Zhou等（2006b）［19］和Duveneck等（2008）［25］給出的方程形式.

3 完全匹配層吸收邊界條件的建立

由于研究區(qū)域通常是有限的范圍，因此正確處理邊界附近的反射波問題在數(shù)值模擬和偏移過程中顯得尤為重要.目前常用的吸收邊界條件主要包括三類：第一類是利用一種不同形式的波動(dòng)方程（如單程波方程）來估計(jì)邊界處的波場(chǎng)（Clayton和Engquist，1977［40］；Reynolds，1978［41］；Mur，1981［42］；Keys，1985［43］）；第二類是由Cerjan等（1985）［44］引入的在邊界附近衰減波場(chǎng)（Kosloff，1986［45］；Sochacki等，1987［46］；Cao和Greenhalgh，1998［47］；Sarma等，1998［48］；Tian等，2008［49］）；第三類就是完全匹配層（PML）吸收邊界條件.該邊界條件是由Berenger［50］于1994年針對(duì)電磁波的傳播情況而提出的一種高效的吸收邊界.該方法不僅可以完全吸收任意入射角度、任意頻率入射的波，而且?guī)缀醪划a(chǎn)生任何反射.被認(rèn)為是目前吸收效果最好的邊界條件而被廣泛應(yīng)用到多種領(lǐng)域.為了研究qSV波在模型邊界附近的吸收衰減情況，本文在各向異性qP－qSV波方程（以方程（5）為例）中引入完全匹配層吸收邊界.根據(jù)PML的方法原理推導(dǎo)得到方程5相應(yīng)的時(shí)間域完全匹配層控制方程如下（其他類似方程同理可得到）：

式中dx（）x和dz（）z分別表示x方向和z方向上的衰減系數(shù).

利用吸收邊界（10），模擬了均勻VTI介質(zhì)中的波場(chǎng).圖1為VTI中的模擬結(jié)果.由圖1可見，完全匹配層吸收條件不僅可以衰減qP波，而且對(duì)偽橫波噪聲在模型邊界處也具有較好的吸收效果，并未因?yàn)閝SV波低振幅、低速度的特征而在邊界處引起較大的數(shù)值頻散.因此，在聲學(xué)各向異性正演模擬和逆時(shí)延拓過程中，選擇PML吸收邊界條件可以獲得理想的效果.還模擬了三種不同波形的TTI介質(zhì)qP－qSV波方程的波場(chǎng)快照如圖2所示.

4 壓制qSV波人為干擾

從波場(chǎng)快照（圖2）可以看到，在qP波傳播的同時(shí)在其內(nèi)部還存在著低振幅、低波速的波型.Grechka（2004）［51］研究發(fā)現(xiàn)這是一種qSV波.該干擾波會(huì)影響數(shù)值模擬的效果和降低逆時(shí)偏移成像的品質(zhì)，即使在vsz＝0時(shí)仍然不會(huì)消失，并且呈現(xiàn)出菱形狀（如圖1a所示）.此人為干擾產(chǎn)生的根源是在聲學(xué)假設(shè)的情況下，盡管沿對(duì)稱軸方向的橫波速度變成零，但是在其他傳播方向上的相速度值并不為零.更重要的是，橫波的群速度值也是非零的.它所帶來的不僅是噪聲干擾問題，由于該橫波干擾的波速較小，還會(huì)引起較為嚴(yán)重的頻散問題，進(jìn)而影響正演模擬和逆時(shí)偏移成像的數(shù)值精度.因此，在進(jìn)行qP波逆時(shí)偏移之前必須對(duì)此偽橫波噪聲予以壓制或消除.

Tsvankin（2001）［52］研究發(fā)現(xiàn)，參數(shù)

圖1 p在不同時(shí)刻的波場(chǎng)快照（方程（5））（a）、（b）分別是vs＝0m／s時(shí)p在t＝300ms、t＝850ms的波場(chǎng)快照；（c）、（d）分別是vs＝1480m／s時(shí)p在t＝300ms、t＝850ms的波場(chǎng)快照.（vpz＝3000m／s，ε＝0.24，δ＝0.05，θ＝0）.Fig.1 Wavefield snapshots of pat different time（equation（5））（a）、（b）show the snapshot of pat t＝300ms、t＝850ms when vs＝0m／s，respectively；（c）、（d）show the snapshot of pat t＝300ms、t＝850ms when vs＝1480m／s，respectively.（vpz＝3000m／s，ε＝0.24，δ＝0.05，θ＝0）.

在很大程度上控制著各向異性介質(zhì)中qSV波的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征.針對(duì)不同情況下的σ，qSV波的波前面表現(xiàn)出不同的形態(tài).當(dāng)σ的值大約小于0.8時(shí)，qSV波的波前三角交叉現(xiàn)象開始消失.Fletcher（2009）［24］認(rèn)為在上述范圍內(nèi)，選擇盡量小的σ，換句話說vsz足夠大時(shí)就會(huì)消除偽橫波波前三角，從而可以保障在任意對(duì)稱軸方向劇烈變化的TTI介質(zhì)中穩(wěn)定的波場(chǎng)傳播.此外，保證整個(gè)研究區(qū)域的σ值恒定，可以有效減弱偽橫波的各向異性及反射強(qiáng)度.

壓制偽橫波噪聲的一種較為有效的手段是各向異性參數(shù)匹配法.在聲學(xué)假設(shè)條件下，通過在研究區(qū)域的淺層設(shè)置各向同性層或者橢圓各向異性層（Thomsen參數(shù)ε等于δ）來消除偽橫波噪聲的影響.為了進(jìn)一步降低誤差因素的影響，也可以在激發(fā)震源的周圍設(shè)置所謂的震源環(huán).圖3是設(shè)置震源環(huán)后的波場(chǎng)模擬結(jié)果，vsz＝0時(shí)的波場(chǎng)快照中偽橫波噪聲得到有效壓制，但是在vsz不為零的情況下，qSV波的能量只在一定程度上減弱，殘余的能量仍然很強(qiáng).此類方法改變了介質(zhì)參數(shù)，僅適用于近?？碧江h(huán)境，對(duì)于陸地?cái)?shù)據(jù)很難得到應(yīng)用.另外，聲學(xué)假設(shè)得到的qP波方程存在很嚴(yán)重的數(shù)值穩(wěn)定性問題.考慮了vsz不為零的qP－qSV波方程能很好地保證穩(wěn)定性，但是利用各向異性參數(shù)匹配法難以擺脫偽橫波噪聲的影響（圖3）.

Zhang等（2009）［36］基于特征值分析提出一種波數(shù)域的濾波投影方法，取得了較好的壓制效果，但是該方法需要對(duì)波場(chǎng)進(jìn)行兩次傅里葉變換，極大地增加計(jì)算量.對(duì)于Zhou等（2006b）［19］給出的二維VTI介質(zhì)qP波方程（可由方程（5）在θ＝0，vs＝0時(shí)簡(jiǎn)化得到），其P波的特征波形在波數(shù)域表示為

圖2 不同qP－qSV波波動(dòng)方程的波場(chǎng)快照（a）、（b）分別是方程（5）中p和q的波場(chǎng)快照；（c）、（d）分別是方程（8）中p和q的波場(chǎng)快照；（e）、（f）、（g）分別是方程（9）中upx、upz和upx＋upz的波場(chǎng)快照.Fig.2 Wavefield snapshots of different qP－qSV wave equations（a）、（b）show the snapshots of pand qin equation（5），respectively；（c）、（d）show the snapshots of pand qin equation（8），respectively；（e）、（f）、（g）show the snapshots of upx、upzand upx＋upzin equation（9），respectively.

圖3 波場(chǎng)快照（a）、（b）、（c）分別是（vsz＝0m／s）方程（5）中p、加各向同性和橢圓各向異性（ε＝δ＝0.24）震源環(huán)的波場(chǎng)快照；（d）、（e）、（f）分別是（vsz＝1480m／s）方程（5）中p、加各向同性和橢圓各向異性（ε＝δ＝0.24）震源環(huán)的波場(chǎng)快照（vpz＝3000m／s，ε＝0.24，δ＝0.05，θ＝π／4）.Fig.3 Wavefield snapshots（a）、（b）、（c）show the snapshot of p、the one with isotropic box and elliptical anisotropic box（ε＝δ＝0.24）in equation（5）（vsz＝0m／s），respectively；（d）、（e）、（f）show the snapshot of p、the one with isotropic box and elliptical anisotropic box（ε＝δ＝0.24）in equation（5）（vsz＝1480m／s），respectively（vpz＝3000m／s，ε＝0.24，δ＝0.05，θ＝π／4）.

不同學(xué)者通過借助輔助函數(shù)的方法，對(duì)Alkhalifah（2000）［15］推導(dǎo)出的VTI介質(zhì)四階qP波方程進(jìn)行降階處理，得到了一系列二階耦合qP波方程.然而，該輔助函數(shù)并不具有任何物理含義.Duveneck等（2008，2011）［25－26］從胡克定律和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，導(dǎo)出了不僅保證正確的P波運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，而且還保持了其物理能量的二階耦合qP波方程（由方程（7）在vsz＝0時(shí)退化得到）.該方程與各向異性全彈性波波動(dòng)方程等價(jià).在此方程中兩個(gè)波場(chǎng)都被賦予了明確的物理含義.康瑋等（2011）［28］由各向異性全彈性波波動(dòng)方程出發(fā)推導(dǎo)出一組用正應(yīng)力表達(dá)的二維qP－qSV波方程.將這兩個(gè)正應(yīng)力進(jìn)行線性組合就可得到qP波的波場(chǎng)（如圖2（e，f，g）所示）.

鑒于此，本文結(jié)合輔助波場(chǎng)給出一種簡(jiǎn)單、高效的壓制偽橫波噪聲的濾波方法（以方程（5）為例）：

式中p＊和q＊分別是濾波后的波場(chǎng)，g＊是兩個(gè)波場(chǎng)的疊加.經(jīng)過分別濾波然后再疊加處理后，波場(chǎng)快照中的偽橫波噪聲得到了極大地壓制，如圖4所示.研究發(fā)現(xiàn)該方法還適用于其他形式的TTI介質(zhì)二階耦合qP－qSV波方程，如方程（8）和方程（9）.不同的qP－qSV波方程具有與之相對(duì)應(yīng)的壓制方程.此外，基于聲學(xué)假設(shè)得到的各向異性二階耦合qP波方程也獲得了很好的壓制效果（如圖4所示）.

圖4 濾波之后的波場(chǎng)快照（a）、（b）、（c）分別是（vsz＝1480m／s）方程（5）濾波后的p＊、q＊和g＊；（d）、（e）、（f）分別是（vsz＝0m／s）方程（8）濾波后的p＊、q＊和g＊；（g）、（h）、（i）分別是（vsz＝0m／s）方程（9）濾波后的p＊、q＊和g＊.Fig.4 Wavefield snapshots after filtered（a）、（b）、（c）show the snapshots of p＊、q＊and g＊after（vsz＝1480m／s）equation（5）filtered，respectively；（d）、（e）、（f）show the snapshots of p＊、q＊and g＊after（vsz＝0m／s）equation（8）filtered，respectively；（g）、（h）、（i）show the snapshots of p＊、q＊and g＊after（vsz＝0m／s）equation（9）filtered，respectively.

5 模型測(cè)試

為了檢驗(yàn)方法的有效性（以方程（5）為例），本文對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的二維TTI逆掩斷層模型進(jìn)行了測(cè)試.該模型空間采樣網(wǎng)格為400×400，由鑲嵌在各向同性背景上的三段不同傾斜角度的斷層所構(gòu)成，在淺部和底部分別存在一個(gè)各向同性層.模型中的參數(shù)vpz、ε、δ以及θ值如圖5所示.為了保證正演模擬和逆時(shí)偏移過程中的數(shù)值穩(wěn)定性，取σ＝0.75.地表激發(fā)地面接收，采用25Hz的雷克子波，得到時(shí)間長(zhǎng)度為2500ms的合成地震記錄.逆時(shí)延拓差分求解采用時(shí)間二階、空間十階的規(guī)則高階有限差分方法，差分網(wǎng)格大小10m×10m，完全匹配層吸收邊界的厚度L＝50.圖6（a，b）分別表示濾波前后的脈沖響應(yīng).通過對(duì)比顯示經(jīng)過濾波再疊加之后，波場(chǎng)快照中的偽橫波噪聲得到了極大程度上的消除（黑色方框區(qū)域所示）.圖6（c，d）顯示了二維逆掩斷層模型對(duì)應(yīng)于不同偏移算子的成像結(jié)果.在各向同性偏移算子得到的圖像中，同相軸不連續(xù)，反射界面聚焦較差，出現(xiàn)了較為嚴(yán)重的偏移假象，而經(jīng)過TTI偏移算子逆時(shí)延拓成像所獲得的結(jié)果清晰又準(zhǔn)確.

圖5 二維TTI逆掩斷層模型參數(shù)（a）vpz；（b）ε；（c）δ；（d）θ.Fig.5 Paramaters of 2DTTI overthrust model

6 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

TTI介質(zhì)qP波方程數(shù)值模擬和逆時(shí)偏移中兩大亟需解決的問題是數(shù)值穩(wěn)定性和偽橫波噪聲的壓制.本文主要對(duì)后者進(jìn)行了研究.偽橫波的存在所帶來的問題不僅僅是噪聲干擾，而且還會(huì)給方程的數(shù)值解法額外地增加一個(gè)相應(yīng)的穩(wěn)定性條件，并且由于其速度值相對(duì)較低會(huì)引起較大頻散誤差，最終嚴(yán)重影響逆時(shí)偏移成像的質(zhì)量和效果.因此，如何高效地壓制偽橫波噪聲和推導(dǎo)穩(wěn)定的純p波方程已經(jīng)成為當(dāng)前國內(nèi)外地球物理學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題.本文首先在TTI介質(zhì)二階耦合qP波方程中引入PML吸收邊界條件，建立了其完全匹配層控制方程.實(shí)驗(yàn)證明完全匹配層吸收邊界條件不僅能夠吸收衰減人工邊界附近的qP波，而且對(duì)低速度、低振幅的偽橫波也有很好的吸收效果.而后結(jié)合在各向異性qP波正演模擬和逆時(shí)偏移成像過程中經(jīng)常被忽略的輔助波場(chǎng)信息，在利用成像條件之前，采用一種空間域的簡(jiǎn)單易行且高效的壓制偽橫波噪聲傳播的方法.該方法不僅可以有效壓制偽聲波各向異性方程中的菱形干擾波，而且還適用于qP－qSV波方程.模型測(cè)試顯示偽橫波噪聲得到有效地壓制，各向同性偏移算子導(dǎo)致了較為嚴(yán)重的偏移假象，而TTI偏移算子生成了清晰準(zhǔn)確的圖像.Fletcher（2009）［24］在Vs≠0條件下給出的qP－qSV波方程中σ值的選擇較為繁瑣，只能在一定程度上保證數(shù)值穩(wěn)定性，并非適用于任意強(qiáng)度的各向異性情況.因此，各向異性純P波方程的推導(dǎo)以及穩(wěn)定算法的實(shí)現(xiàn)將是下一步研究的重點(diǎn).致 謝 衷心感謝外審專家和編輯部提出的寶貴意見和建議.

圖6 二維TTI逆掩斷層模型測(cè)試（a）濾波前的脈沖響應(yīng)；（b）濾波后的脈沖響應(yīng)；（c）各向同性偏移結(jié)果；（d）TTI偏移結(jié)果.Fig.6 Test of 2DTTI overthrust model（a）The impulse response without filtered；（b）The impulse response after filtered；（c）Isotropic migration result；（d）TTI migration result.

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