分擔(dān)值與正規(guī)定則

張海俠

（許昌學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南許昌461000）

1 引言及主要結(jié)果

1992年，Schwick首先發(fā)現(xiàn)了分擔(dān)值與正規(guī)定則之間的聯(lián)系，證明了下述結(jié)果：

定理1［1］設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一族亞純函數(shù)，a1，a2，a3為3個互相判別的復(fù)數(shù)，若對任意f（z）∈F，f（z）與f′（z）在D內(nèi)IM分擔(dān)a1，a2，a3，則F在D內(nèi)正規(guī)．

后來，龐學(xué)誠和Lawrence Zalcman改進了定理1，證明了以下的

定理2［2］設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的一族亞純函數(shù)，a，b為兩個互相判別的復(fù)數(shù)，若對任意f（z）∈F，f（z）與f′（z）在D內(nèi)IM分擔(dān)a，b，則F在D內(nèi)正規(guī)．

2005年，章文華得到下述結(jié)果：

定理3［3］設(shè)F為單位圓盤Δ上的一族亞純函數(shù)，a是一個非零的有窮復(fù)數(shù)，若對任意f（z）∈F，f（z）與f′（z）在D內(nèi)IM分擔(dān)a，且f的零點是重級的，則F在D內(nèi)正規(guī)．

后來，方明亮和L．Zalcman，葉亞盛和龐學(xué)誠得到了如下的

定理4［4］設(shè)F為單位圓盤Δ上的一族亞純函數(shù)，a，b為任意兩個非零有窮復(fù)數(shù)，k為正整數(shù)且若對于任意的f（z）∈F，f（z）的零點重級至少為k＋1，且f（z）＝a?f（k）（z）＝b，則F在Δ上正規(guī)．

筆者對上述定理作了一定的改進，得出以下結(jié)論，筆者將證明以下定理：

定理5 設(shè)F為單位圓盤Δ上的一族亞純函數(shù)，a，b為任意兩個非零有窮復(fù)數(shù)，k，l為正整數(shù)且k＞l．若對于任意的f（z）∈F，f（z）的零點重級至少為k＋1，極點重級至少為2且，則F在Δ上正規(guī)．

2 定義及主要引理

為便于敘述并討論本文的主要結(jié)果，在此給出相關(guān)的定義及引理．

定義1 設(shè)F為復(fù)平面一區(qū)域D上的一組亞純函數(shù)，如果F中任取一函數(shù)序列均可選出一子序列在區(qū)域D上按球距內(nèi)閉一致收斂于一亞純函數(shù)或，則稱F在區(qū)域D上正規(guī)．

定義2 設(shè)f（z）和g（z）是區(qū)域D內(nèi)的兩個亞純函數(shù)，a是一個復(fù)數(shù)，若f（z）－a與g（z）－a在D內(nèi)有相同的零點，則稱f（z）與g（z）在區(qū)域D內(nèi)分擔(dān)a，或稱IM分擔(dān)a．則記為f（z）＝a?g（z）＝a．

定義3 設(shè)f（z）和g（z）是區(qū)域D內(nèi)的兩個亞純函數(shù)，a是一個復(fù)數(shù)，如果f（z）－a的零點為zn（n＝1，2，…），如果zn（n＝1，2，…）也是g（z）的零點（不計重數(shù)），或稱單向分擔(dān)a，則記為f（z）＝a?g（z）＝a．

引理1［5］（Zalcman引理）設(shè)F是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族，k∈N，F(xiàn)中任一函數(shù)f（z）的零點重級至少為k．設(shè)存在A≥1，使得對任意的，如果F在z0∈Δ處不正規(guī)，則對于任意的0≤α≤k，存在函數(shù)列｛fn（z）｝?F，點列zn→z0，正數(shù)列ρn→0，使得＝gn（ζ）→g（ζ）在復(fù)平面C上依球面距離內(nèi)閉一致成立．其中g(shù)為C上的級不超過2的非常數(shù)亞純函數(shù)，滿足g＃（ζ）≤g＃（0）＝kA＋1．這里g＃（ζ）＝為球面導(dǎo)數(shù)．

引理2［6］設(shè)f（z）為復(fù)平面上的有窮級亞純函數(shù)，b為非零復(fù)數(shù)，k為正整數(shù)．若f（z）的零點重級至少為k＋1，極點重級至少為2，且f（k）（z）≠b，則f（z）為一常數(shù)．

引理3［7］（Hurwitz定理）設(shè)函數(shù)序列在區(qū)域D內(nèi)解析，并且在D內(nèi)閉一致收斂到一個不恒為零的函數(shù)，γ是D內(nèi)可求長的閉曲線，其內(nèi)部屬于D，且不經(jīng)過f（z）的零點，則存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時，在γ內(nèi)部，fn（z）和f（z）的零點個數(shù)是相同的．

3 定理5的證明

證明 假設(shè)F在z0∈Δ處不正規(guī)，則由引理1知，存在函數(shù)列fn（z）∈F，點列zn→z0，正數(shù)列ρn→0，使＝gn（ζ）→g（ζ）在復(fù)平面C的任意緊子集上依球面距離內(nèi)閉一致成立，其中g(shù)（ζ）為C上的級不超過2的非常數(shù)亞純函數(shù)，其零點重級至少為k＋1，極點重級至少為2．

可以斷言：g（k）（ζ）≠a．

假設(shè)存在ζ0∈C使得g（k）（ζ0）＝a．

若g（k）（ζ）≡a，則g（ζ）為一個k次多項式，這與g（ζ）的零點重級至少為k＋1矛盾．因此，g（k）（ζ）不恒等于a．

根據(jù)Hurwitz's定理，存在gn（ζ）以及點列ζn→ζ0，使得當(dāng)n充分大時，有＝a由

因此

［1］Schwick．W．Sharing values and normality［J］．Arch Math，1992，59：50－54．

［2］Pang Xuecheng，Zalcman L．Normal families and shared values［J］．Arkiv for Mathematics，2000，38（1）：171－182．

［3］章文華．分擔(dān)值和正規(guī)族［J］．?dāng)?shù)學(xué)研究與評論，2005，25（2）：307－310．

［4］Fang Mingliang，Zaleman L．Normal families and shared values of meromorphic functions［J］．Annales Polonici Mathematici，2003，80：133－141．

［5］Pang Xuecheng，Zalcman L．Normal families and shared values［J］．Bull London Math Soc，2000，32（3）：325－331．

［6］Hayman W．K．Picard Value of Meromorphic Functions And Their Derivatives［J］．Annals of Mathematics，1959，70：9－42

［7］方企勤．復(fù)變函數(shù)教程［M］．北京：北京大學(xué)出版社，1996：234－256．