分子流時高真空閥的流導(dǎo)研究

齊衛(wèi)紅，包鋼，朱冬，徐凱

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)氣動技術(shù)中心，黑龍江哈爾濱150001)

真空元件的流導(dǎo)，又叫做通導(dǎo)能力，也可簡稱為通導(dǎo)。它是真空系統(tǒng)中真空元件的一個重要的性能參數(shù)，是設(shè)計(jì)真空系統(tǒng)時必須考慮的因素之一[1]。

由于分子流時將氣體當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)的前提不再成立，因此在流導(dǎo)的研究和求解過程中，通常會將空氣流和分子流兩種流態(tài)單獨(dú)進(jìn)行討論。1960年，D H DAVIS 和L L LEVENSON 首先采用蒙特卡羅方法計(jì)算各種結(jié)構(gòu)真空元件的流導(dǎo);東北工學(xué)院的王繼常等利用蒙特卡羅方法研究了真空翻板閥和圓錐形管道的傳輸概率[2];中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所的彭楠等人分別以百葉窗和人字形擋板為例，詳細(xì)介紹了根據(jù)分析法和試驗(yàn)粒子蒙特卡羅法計(jì)算傳輸概率的方法，證明了蒙特卡羅法所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合較好[3];蘭州物理研究所的龔偉等人用理論公式與蒙特卡羅方法分別計(jì)算了真空系統(tǒng)中小孔流導(dǎo)的修正系數(shù)，蒙特卡羅方法計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差在4.5×10－7～1.1×10－5之間[4]。作者采用蒙特卡羅法對真空系統(tǒng)中常用的高真空角閥的流導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算，并與理論公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。

1 研究模型

圖1為真空系統(tǒng)中常用的高真空角閥結(jié)構(gòu)圖，對壓力范圍在10－1～10－6Pa時分子流的流導(dǎo)進(jìn)行求解。表1給出了不同直徑閥的尺寸，其中D表示閥的直徑，L表示閥的中心線長。

圖1 高真空角閥結(jié)構(gòu)圖

表1 閥的直徑和中心線長 mm

圖1所示高真空閥的內(nèi)部流道是直角的，可將其簡化為如圖2所示的直角彎管，分別用理論公式和蒙特卡羅法計(jì)算其傳輸概率和流導(dǎo)值，再將這兩種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。

圖2 直角彎管示意圖

2 理論公式計(jì)算

在真空系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與計(jì)算中，為了表征稀薄氣體通過真空系統(tǒng)管路元件的流動，通常給出傳輸概率(流導(dǎo)概率)，即在分子流情況下，按麥克斯韋分布條件落入管道入口的氣體分子能從出口逸出的概率，傳輸概率是確定氣體流量的一個重要參數(shù)。真空元件的流導(dǎo)C 等于入口孔的流導(dǎo)Cmk與該元件傳輸概率W的乘積。即:

式中:Cmk為管道入口孔的流導(dǎo)，可通過公式 (2)進(jìn)行計(jì)算:

式中:D為管道直徑。

在研究分子流態(tài)下真空元件的流導(dǎo)時，先求解傳輸概率，然后根據(jù)公式(1)計(jì)算流導(dǎo)值。對于一些幾何形狀比較簡單的管道，通常都有解析公式可以直接計(jì)算傳輸概率的值;對于直角彎管，需要將圓管的傳輸概率計(jì)算公式進(jìn)行修正，即可得到直角彎管的近似值。

在計(jì)算圖2所示的彎管流導(dǎo)時，首先將彎管轉(zhuǎn)換為直圓管，直圓管等效長度Le通過式(3)計(jì)算;然后計(jì)算直圓管的流導(dǎo)，所得流導(dǎo)即為彎管流導(dǎo)。

式中:θ為管路彎曲角度值，對于直角彎管為90°。

另外，由于高真空閥的中心線長度L與閥直徑D的比值L/D (長徑比)小于20，屬于“短管”，因此不能忽略管道入口對流動的影響，需要把管的長度進(jìn)行修正。SANTELER給出了一個計(jì)算短管修正長度的公式:

式中:L'為短管的修正長度。

長度修正后，就可按照長管來計(jì)算傳輸概率。對于長管，克努森給出了一個計(jì)算傳輸概率的公式[5]:

把不同的直徑和相應(yīng)的長度代入公式(3)—(5)，計(jì)算出對應(yīng)直角彎管的傳輸概率，然后根據(jù)公式(1)和公式(2)得到直角彎管的流導(dǎo)值。

3 蒙特卡羅法計(jì)算

3.1 蒙特卡羅法求解傳輸概率的基本原理

蒙特卡羅法(Monte Carlo Method)是一種試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法，其基本思想是逐個地跟蹤大量分子的運(yùn)動軌跡，然后根據(jù)分子運(yùn)動狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果得到宏觀量的變化規(guī)律，因此質(zhì)點(diǎn)Monte-Carlo方法也稱為試驗(yàn)粒子法[6]。

計(jì)算真空元件的分子流流導(dǎo)時，需要求得其傳輸概率W。對于氣體的分子流運(yùn)動，就每個分子而言，從飛入管道，與管壁碰撞后漫反射，到逸出管外，整個運(yùn)動過程都是隨機(jī)的。因此管道的傳輸概率本身就是一種概率統(tǒng)計(jì)問題。每個分子的隨機(jī)運(yùn)動都可以用一些隨機(jī)變量來表示，通常在計(jì)算機(jī)上采用(0，1)區(qū)間均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣，用數(shù)學(xué)方法模擬每個分子的運(yùn)動過程，通過計(jì)算機(jī)跟蹤，統(tǒng)計(jì)逸出管道出口的分子數(shù)np和進(jìn)入管道的分子總數(shù)n，最后由式(6)近似計(jì)算管道的傳輸概率W:

根據(jù)蒙特卡羅方法計(jì)算真空元件傳輸概率時，使用了3個基本的假設(shè):

(1)假設(shè)流動是穩(wěn)定的，氣體分子數(shù)是守恒的;

(2)假設(shè)分子進(jìn)入管道時在入口處的位置和角度的分布是隨機(jī)的并且獨(dú)立的，入射分子和反射分子都遵循余弦定律;

(3)假設(shè)分子在管道內(nèi)的相互碰撞可以忽略不計(jì)。

3.2 蒙特卡羅法計(jì)算過程

根據(jù)蒙特卡羅基本原理和前述假設(shè)就可以編程計(jì)算傳輸概率，基本的計(jì)算過程如下:

(1)起始點(diǎn)坐標(biāo)

圖3 直角彎管坐標(biāo)圖

建立直角彎管的坐標(biāo)系如圖3所示，其中z軸垂直于紙面向外。

氣體分子在管道入口面上的入射位置是均勻分布的，而入射方向遵從余弦定律。以單位半徑為例，管的圖示中心線長為b，則b=L/r，其中L是管道的實(shí)際中心線長，r為管道半徑。氣體分子射入管口截面的位置坐標(biāo)為:

其中:U是(0，1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，A=2πU1，U1是(0，1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

氣體分子入射的方向余弦為:

其中:U2、U3是(0，1)區(qū)間均勻分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。就單個分子來講，氣體分子的入射角是隨機(jī)的，但就大量分子來說則是遵守余弦定律的。

(2)計(jì)算分子的第一次碰撞點(diǎn)坐標(biāo)

氣體分子射入管道之后，按入射方向直線飛行，但還要判斷這個分子是與入口部分的管道發(fā)生碰撞，還是進(jìn)入出口部分管道。x=y 平面將兩部分管道分割開來，計(jì)算出分子從入射位置沿入射方向到入口部分管壁的距離和到x=y 平面的距離，兩者加以比較，距離較短者即為兩種情況中真正出現(xiàn)的情況。

氣體分子沿入射方向與管壁碰撞的交點(diǎn)坐標(biāo):

式中:s為分子從入射位置到碰撞管壁的飛行距離。

入口部分管道壁面的方程為:

將上述方程(9)和(10)聯(lián)立求解，可以得到分子第一次飛行的距離s:

式中:a=am2+an2，b=2·am·y0+2·an·z0，c=

將s的值代入公式(9)計(jì)算出交點(diǎn)的坐標(biāo)，比較x坐標(biāo)和y坐標(biāo)值的大小，若x ＜－y，則碰撞發(fā)生在管道的入口部分。若x≥－y，則碰撞發(fā)生在出口部分，此時到碰撞點(diǎn)的距離可由下面公式(12)計(jì)算。

式中:a=al2+an2，b=2·al·x0+2·an·z0，c=

實(shí)際距離s的值取公式(12)中較大的一個解，然后，將s的值代入公式(9)計(jì)算出碰撞點(diǎn)的坐標(biāo)值。若y≥b/2，則分子直接通過管道而離開，否則分子將進(jìn)入下一次碰撞。

(3)計(jì)算分子第二次以上碰撞點(diǎn)的距離

氣體分子第一次碰撞發(fā)生在管道的入口部分。

從碰撞點(diǎn)反射出來對于所碰點(diǎn)的平面 (過碰點(diǎn)與管道壁面相切的平面)的方向余弦為a、c、al(見圖4)，可以由公式(8)來計(jì)算，而相對于Oxyz坐標(biāo)系的方向余弦為al、am、an，則:

圖4 方向余弦變換圖

于是到下一次碰撞點(diǎn)的距離s1可以由下面公式計(jì)算:

根據(jù)公式(9)計(jì)算出新的碰撞點(diǎn)的坐標(biāo)值。若x ＜－y，則碰撞點(diǎn)發(fā)生在入口部分，到碰撞點(diǎn)的距離為s1，此時如果x1≤－b/2，則分子從入口離開，否則將進(jìn)入下一次碰撞。若x≥－y，則碰撞發(fā)生在出口部分，到碰撞點(diǎn)的距離s2由公式(12)計(jì)算，實(shí)際距離s 取公式(12)中較大的一個解;然后，將s的值代入公式(9)計(jì)算出碰撞點(diǎn)的坐標(biāo)值。若y≥b/2，則分子將通過管道而離開，否則分子將進(jìn)入下一次碰撞。

如果氣體分子第一次碰撞發(fā)生在出口部分，計(jì)算過程與發(fā)生在入口部分類似。

3.3 計(jì)算結(jié)果

根據(jù)上述內(nèi)容進(jìn)行編程計(jì)算，結(jié)合表1相應(yīng)尺寸，得到不同直徑高真空閥傳輸概率的值。為了說明分子總數(shù)與傳輸概率W的關(guān)系，輸入不同的分子總數(shù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，比較計(jì)算結(jié)果，見圖5。

圖5 不同分子總數(shù)所得直角彎管W值

將不同分子總數(shù)對應(yīng)的每個直徑傳輸概率的最大值與最小值的誤差百分比列于表2中。

表2 不同分子總數(shù)所得傳輸概率誤差

由圖5和表2可以看出:分子總數(shù)對傳輸概率計(jì)算結(jié)果的影響非常小，由不同分子總數(shù)計(jì)算所得的傳輸概率值誤差在2.5%以內(nèi)，因此在一定程度上可以忽略分子總數(shù)的影響，認(rèn)為蒙特卡羅法計(jì)算結(jié)果是由大量分子的隨機(jī)過程得到的，可以代表實(shí)際值。

通過蒙特卡羅方法編程計(jì)算出直角彎管的傳輸概率值，并與公式(5)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，如圖6所示。

圖6 蒙特卡羅與公式計(jì)算結(jié)果

在圖6中，Wmc表示由蒙特卡羅方法計(jì)算的傳輸概率，Wf表示由公式計(jì)算的傳輸概率。將兩種方法所得不同直徑直角彎管的傳輸概率誤差列于表3中。

表3 兩種方法所得W 誤差百分比

由圖6和表3可以看出，兩種方法所得結(jié)果有較好的一致性。

將傳輸概率W的值代入公式(1)即可求解流導(dǎo)值，圖7給出了用蒙特卡羅與公式計(jì)算兩種方法所得流導(dǎo)值與閥樣本參考值的對比。

圖7 不同方法所得直角彎管流導(dǎo)值

將兩種方法所得流導(dǎo)相對于參考值的誤差列于表4中。

表4 兩種方法流導(dǎo)誤差百分比(相對參考值)

在表4中，Cmc誤差指蒙特卡羅方法的誤差，Cf誤差指公式計(jì)算誤差。從圖7和表4可以看出:用蒙特卡羅方法計(jì)算出的直角彎管流導(dǎo)值要比公式計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，誤差更小。

4 結(jié)論

利用蒙特卡羅方法計(jì)算了分子流時高真空閥的傳輸概率和流導(dǎo)值，并與高真空閥的樣本參考值進(jìn)行了對比，結(jié)果表明蒙特卡羅方法的計(jì)算結(jié)果比較準(zhǔn)確，誤差更小，為使用蒙特卡羅方法計(jì)算其他結(jié)構(gòu)真空元件的分子流流導(dǎo)提供了參考，也為高真空閥在流量特性方面的后續(xù)研究奠定了理論基礎(chǔ)。

【1】郭鴻震.真空系統(tǒng)設(shè)計(jì)與計(jì)算[M].北京:冶金工業(yè)出版社，1986:51－54.

【2】王繼常，楊乃恒.真空系統(tǒng)管路元件流導(dǎo)概率的蒙特卡羅法計(jì)算[J].真空科學(xué)與技術(shù)，1987，10(7):295－299.

【3】彭楠，熊聯(lián)友，劉立強(qiáng)，等.低溫真空泵輻射擋板流導(dǎo)概率的計(jì)算[J].低溫工程，2006(6):21－24.

【4】龔偉，張滌新，成永軍，等.小孔流導(dǎo)的理論計(jì)算與蒙特卡羅計(jì)算[J].真空與低溫，2009，12(4):215－221.

【5】BUSCHBECK W，HOECHNER U，SCHWARZ W.Measurement of Conductances of Models in the Molecular and Viscous Flow Regime[J].J Vacuum，1990，41:2050－2052.

【6】吳其芬，陳偉芳，黃琳，等.稀薄氣體動力學(xué)[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社，2004:248－263.

【7】王曉東.真空技術(shù)[M].北京:冶金工業(yè)出版社，2006:55－56，67－79.

【8】塞埃.流體流動手冊[M].北京:中國石化出版社，2004:226－249.

【9】DAVIS D H.Monte Carlo Calculation of Molecular Flow Rates through a Cylindrical Elbow and Pipes of other Shapes[J].J Appl Phys，1960，31:1169－1176.

【10】HUMMER G，HALTER G，GROSSL M.Calculated and Measured Flow Conductance for Butterfly Valves[J].Vacuum，1990，41:2126－2128.