BS-矩陣線性互補問題誤差界的一個新估計式*

周翠玲，莫宏敏

(吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000)

線性互補問題的模型是找到x∈Rn,滿足

(Mx+q)Tx=0,Mx+q≥0,x≥0,

其中M∈Rn×n為給定矩陣,q∈Rn為給定向量.線性互補問題簡記為LCP(M,q).

線性互補問題解的存在唯一性和算法的收斂性,與所包含的特殊矩陣類的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)有密切關(guān)系.當矩陣M為P-矩陣時,線性互補問題存在解且唯一[1].2006年,陳小君等[2]給出了當M為P-矩陣時其解的相應(yīng)誤差界

1 預(yù)備知識

定義2[9]設(shè)M=(mij)∈Rn×n,若存在N的子集S(2≤card(S)≤n-2),對于?i,j∈N,t∈T(i)(〗i},k∈K(j)(〗j(luò)},有

(1)

若K(j)(〗j(luò)}=?(T(i)(〗i}=?),則記max=-∞(min=+∞).

引理3[3]若M=(mij)∈Rn×n是BS-矩陣,但不是B-矩陣,則存在k,i∈N(k≠i)使得

引理4[10]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優(yōu)M-矩陣,則有

Gao[7]改進了文獻[3]中的誤差界,得到以下結(jié)果:

(2)

筆者將在引理8基礎(chǔ)上繼續(xù)研究BS-矩陣線性互補問題的誤差界.為了方便起見,定義以下符號:

2 主要結(jié)果

(3)

證明由引理1可得

(4)

由引理4可得

由引理5可知,對于?i,j,k∈N,有

(5)

(6)

(7)

(8)

由引理5和(7),(8)式,有

(9)

由引理5和(6)式,有

(10)

又由引理7和(6)式,有

(11)

進而,由引理6和(5)～(11)式,有

(12)

由(4),(12)式可知(3)式成立.

根據(jù)引理3和定理1,可得以下結(jié)果：

若k∈S,則有

接下來對(2)式和(3)式進行比較.

(13)

(14)

(15)

由(14),(15)式可知(13)式成立.證畢.

類似于文獻[11]中定理2.4的證明,當矩陣M為P-矩陣時,有以下結(jié)果:

其中D=diag(d1,d2,…,dn)(0≤di≤1,?i∈N),且‖·‖p是向量范數(shù)誘導(dǎo)的矩陣范數(shù).那么,由BS-矩陣是P-矩陣的子類矩陣[3]和定理1,可得到以下結(jié)果:

若k∈S,則有

3 數(shù)值算例

例1考慮BS-矩陣[3]