一類具有Z2-等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場(chǎng)的全局相圖及其分類

李艷梅

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一類具有Z2-等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場(chǎng)的全局相圖及其分類

李艷梅

（楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南，楚雄 675000）

應(yīng)用微分方程定性理論，研究了一類具有Z2-等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場(chǎng)的全局相圖，對(duì)相圖進(jìn)行了分類，并劃分了參數(shù)空間。

Z2-等變性質(zhì)；七次平面哈密頓向量場(chǎng)；奇點(diǎn)；相圖

并對(duì)具體的系統(tǒng)

證明該系統(tǒng)有49個(gè)有限奇點(diǎn)，4個(gè)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)，并且隨著參數(shù)的取值的不同，系統(tǒng)的相圖也隨之改變，最終得到一些已知文獻(xiàn)中沒有出現(xiàn)過的新的相圖，其中＞1是一個(gè)參數(shù)。

1 奇點(diǎn)的性質(zhì)

顯然，系統(tǒng)（1）具有49個(gè)奇點(diǎn):

系統(tǒng)（1）的雅可比行列式是

其中

為了研究系統(tǒng)（1）的全局性質(zhì)，先證明以下的一般結(jié)果：

在一、二象限內(nèi)有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)。

不難看出，(0,0)不是系統(tǒng)（5）的奇點(diǎn)。引理1得證。

于是，由引理1及上面的討論，關(guān)于系統(tǒng)（1），可以得到如下結(jié)果：

2 系統(tǒng)（1）的相圖

系統(tǒng)（1）的哈密頓量是

并且不難算得

定理 2

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(1)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(2)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(3)所示。

圖1(1)~(17) 系統(tǒng)（1）的相圖 Fig.1 (1)~(17) Phase portraits of the System (1)

(4)若則有奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足關(guān)系

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(4)所示。

(5) 當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足下列關(guān)系之一

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(5)所示。

(6) 若時(shí)，有則奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足關(guān)系

所以系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(6)所示。

(7) 當(dāng)時(shí)，。于是，當(dāng)時(shí)，奇點(diǎn)處的哈密頓量滿足下列關(guān)系之一

所以系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(7)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(8)所示。

所以系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(9)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(10)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(11)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(12)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(13)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(14)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(15)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(16)所示。

從而系統(tǒng)（1）的相圖如圖1(17)所示。

[4] Li Jibin, Chan H S Y, Chung K W. Bifurcations of limit cycles in a6-equivariant planar vector field of degree 5[J]. Science in China, 2002,45(7)：817-826.

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CLASSIFICATION OF GLOBAL PHASE PORTRAITS OF A Z2-EQUIVARIANT PLANAR HAMILTONIAN VECTOR FIELD OF DEGREE SEVEN

LI Yan-mei

(Department of Mathematics, Chuxiong Normal University, Chuxiong, Yunnan 675000, China)

Based on the method of qualitative analysis of differential equations, we study the global phase portraits of a Z2-equivariant planar Hamiltonian vector field of degree seven. Furthermore, we classify its phase portraits and divide its parameter space.

Z2- equivariant property; planar Hamiltonian vector field of degree seven; singular point; phase portrait

1674-8085(2013)02-0007-06

O175

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.02.002

2012-08-22；

2012-12-20

云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目（2008ZC158M）

李艷梅(1966-)，女，云南昌寧人，教授，主要從事非線性微分方程研究(E-mail: cxyanmei@126.com).