空氣阻力與球體運(yùn)動(dòng)速度的函數(shù)關(guān)系

代超超 楊 凱 龍姝明

（陜西理工學(xué)院物理系，陜西 漢中 723005）

運(yùn)動(dòng)物體所受空氣阻力的大小與物體的形狀、幾何大小、運(yùn)動(dòng)速度、密度、表面光潔度等因素有關(guān)，文獻(xiàn)［1］認(rèn)為當(dāng)物體高速運(yùn)動(dòng)時(shí)空氣阻力f正比于速度的平方v2；低速運(yùn)動(dòng)時(shí)阻力f 正比于速度v，但是這些研究結(jié)果都是特定情況下的結(jié)論.本文通過對(duì)乒乓球在空氣阻力和重力作用下的落體及其多次反彈運(yùn)動(dòng)的研究，給出了輕質(zhì)球體所受空氣阻力與速度的函數(shù)關(guān)系，并提出了這類問題的科學(xué)有效的研究方法.

1 考慮空氣阻力的乒乓球落體及其反彈運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

假定α≥1，合并式（1）和（2）為

其中，“｜｜”表示取絕對(duì)值運(yùn)算.初始位移記為x0，初始速度記為v0.很明顯，式（3）是二階非線性非齊次常微分方程，α＝1和α＝2的解析解為

一般情況下，α取非整數(shù)值，方程式（3）的解析解不存在，只能用數(shù)值方法解方程.用數(shù)值方法解式（3）時(shí)，一要給定方程中所有參數(shù)（m，g，k，α）的具體數(shù)值，二要給定初始位移x0和初始速度v0，三要選定解方程的時(shí)區(qū)時(shí)間起止點(diǎn).

由于乒乓球下落及其反彈運(yùn)動(dòng)受空氣阻力作用，各時(shí)段的起止時(shí)間未知，各時(shí)段開始時(shí)刻的速度v0和位移x0各不相同而且未知，這給數(shù)值求解帶來困難.要通過編程，分時(shí)段求解落體運(yùn)動(dòng)微分方程，最后疊加得到方程在整個(gè)時(shí)間段的解，這一過程就只能一步步來，即選定方程中各參數(shù)一組數(shù)值，從頭開始，逐段求解，每當(dāng)解得當(dāng)前時(shí)段的運(yùn)動(dòng)，就可能給出下一時(shí)段的“初始”條件及開始時(shí)刻，為下一段數(shù)值方法求解準(zhǔn)備好條件.

2 乒乓球落體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程求解思路

假設(shè)與地面的碰撞是彈性碰撞，要研究乒乓球下落后多次與地面碰撞的反彈運(yùn)動(dòng)特征，只能采用數(shù)值方法求解式（3）.由于每次反彈運(yùn)動(dòng)的初始條件都不一樣，且必須在求解了前面各次反彈運(yùn)動(dòng)時(shí)段起止點(diǎn)及前一次反彈落地的末速度之后，才能知道這次反彈的開始時(shí)間和開始速度，所以必須采取分時(shí)段，依次求解每次反彈運(yùn)動(dòng)方程的方法.

記乒乓球首次下落的起始時(shí)間為t0＝0，初速度v0＝0，初始位移x0＝h0，各次反彈過程的初始位移均為零.求式（3）的數(shù)值解，得到第一次球與地面碰撞的時(shí)點(diǎn)t1和碰撞時(shí)刻前的速度v1－，以t1作為第一次反彈運(yùn)動(dòng)的起始時(shí)間，碰撞時(shí)刻后反彈的開始速度v1＋＝－v1－，再次求解式（3），可得到第一次反彈過程的落地時(shí)點(diǎn)t2和落地末速度v2－，從而得到第二次反彈運(yùn)動(dòng)的開始時(shí)點(diǎn)t2和初始初速度v2＋＝－v2－.以此類推，便可以求得各次反彈運(yùn)動(dòng)的開始時(shí)點(diǎn)及初始速度，進(jìn)而求得乒乓球各次反彈運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間演化的規(guī)律.下面給出采用Mathematica軟件編程［2］求解落體反彈運(yùn)動(dòng)規(guī)律的主要思路.

設(shè)乒乓球質(zhì)量m＝0.0027kg，重力加速度g＝9.8m/s2，選擇初始高度為h0＝2m .取空氣阻尼系數(shù)k＝0.001，速度冪次α＝1.1，求解時(shí)間段為（0，tf），tf為首次下落過程的預(yù)估時(shí)間，tf大于等于首次真實(shí)落地時(shí)間點(diǎn)t1，v為乒乓球接觸地面時(shí)點(diǎn)之前的末速度，分別將各段運(yùn)動(dòng)中的末速度v，末時(shí)刻tn，最大上升高度h 記錄在數(shù)表vt，tt，H中.利用Mathematica 8.0內(nèi)部函數(shù)NDSolve［］解微分方程（3），得到首次下落過程數(shù)值解所需程序段為

為求解乒乓球各次反彈運(yùn)動(dòng)特征，設(shè)th為乒乓球每次反彈上升最大高度的時(shí)點(diǎn)，h為時(shí)點(diǎn)th對(duì)應(yīng)的最大上升高度，t1是落地時(shí)點(diǎn)，調(diào)用Mathematica8.0的While［］函數(shù)編寫循環(huán)程序

下面分別給出兩組不同（k，α）值的理論計(jì)算數(shù)據(jù)，n表示乒乓球運(yùn)動(dòng)下落反彈次數(shù)編號(hào)，取前9次的計(jì)算數(shù)據(jù)列于表1中.

表1 （k＝0.001 53，α＝1.2）

表2 （k＝0.000 62，α＝2.0）

由表1和表2可以看出，對(duì)于給定的每組（k，α）值，隨著乒乓球碰撞次數(shù)的增加，每次反彈上升最大高度、觸地前的速度、落地時(shí)間都逐漸減小，限于篇幅，這里不畫乒乓球位移隨時(shí)間演化的曲線.

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算的比較

乒乓球落體反彈運(yùn)動(dòng)試驗(yàn)記錄了每次乒乓球落地時(shí)間t/s和彈起的最大高度（h/m）（見表3）與乒乓球運(yùn)動(dòng)下落次數(shù)n的關(guān)系（見圖1～圖6）.為了檢驗(yàn)理論計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的吻合程度，在程序中多次改變速度冪次α，對(duì)于每個(gè)α值又調(diào)整k值大小，比較乒乓球每次反彈高度、落地時(shí)間理論值與實(shí)驗(yàn)值，借助關(guān)系圖1～圖6和相應(yīng)理論分析，最終找到理論與實(shí)驗(yàn)符合較好的α值與k 值.

表3 乒乓球下落反彈過程中各次落地時(shí)間及反彈最大高度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表4給出不同（k，α）值的理論數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的 吻 合 程 度，ge、be、fin 分 別 表 示 一 般、較好、好.

表4 不同α與k 值時(shí)理論與實(shí)驗(yàn)吻合程度

分別以每次著地時(shí)間t/s、反彈最大高度h/m為橫坐標(biāo)，以乒乓球運(yùn)動(dòng)下落次數(shù)n 為縱坐標(biāo)畫圖，正方形點(diǎn)代表試驗(yàn)數(shù)據(jù)，五角星代表不同組（k，α）值下理論數(shù)據(jù)，給出α＝2.5，k＝0.000 32；α＝2.0，k＝0.000 62；α＝1.2，k＝0.001 53三組不同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比圖.

對(duì)比圖1～圖6，我們可以清楚地看出當(dāng)α＝1.2，k＝0.001 53時(shí)，對(duì)應(yīng)理論計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合最好.如表3所示，當(dāng)α 值在1.4～1.0之間時(shí)，理論數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都有比較好的吻合度.

由于乒乓球大小固定、質(zhì)地均勻、表面光潔、隨機(jī)性弱，運(yùn)動(dòng)時(shí)所受空氣阻力規(guī)律相對(duì)固定.實(shí)際上，乒乓球在著地時(shí)，與地面發(fā)生的碰撞不是完全彈性碰撞，碰撞過程有能量損失，上面各圖中實(shí)驗(yàn)測(cè)量反彈高度總是低于理論計(jì)算值，這就說明碰撞過程確實(shí)有能量損失.

如果研究球體密度變大，或者幾何形狀對(duì)稱性降低，表面粗糙，運(yùn)動(dòng)時(shí)所受空氣阻尼系數(shù)k 和依賴于速度的冪次α 一定不同于乒乓球的情況，而且有隨機(jī)性，這有待進(jìn)一步研究.

4 結(jié)語

通過本文的研究，發(fā)現(xiàn)乒乓球在空氣阻力和重力作用下的落體運(yùn)動(dòng)過程中，所受空氣阻力規(guī)律f＝kvα中α 取值范圍為1.4到1.0.這一研究結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)［3］給出的“低速物體所受空氣阻力與速度一次方成正比”結(jié)論的進(jìn)一步修正和完善.本文所采用的分時(shí)段數(shù)值方法求解非線性物理系統(tǒng)演化規(guī)律的思想，對(duì)于處理同類問題，有方法論的啟示.

［1］蔡志東，陸建隆.考慮空氣阻力時(shí)鉛球最佳投射角的參數(shù)方程和實(shí)用方程［J］.大學(xué)物理，2006，25（10）：16－22.

［2］龍姝明，朱杰武，孫彥清，等.數(shù)學(xué)物理方法＆ Mathematica［M］.西安：陜西人民出版社，2002.343－441.

［3］梁兵，甘皓元.在實(shí)驗(yàn)室中利用自由落體測(cè)定空氣阻力系數(shù)［J］.百色物理學(xué)報(bào)，2009，22（6）：58－60.