戴中林
(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川南充 637002)
問(wèn)題1 韓信點(diǎn)兵.有兵一隊(duì),若列成五行縱隊(duì),則末行一人;成六行縱隊(duì),則末行五人;成七行縱隊(duì),則末行四人;成十一行縱隊(duì),則末行十人 ;求兵數(shù).
問(wèn)題2 黃宗憲《求一術(shù)通解》.今有數(shù)不知總,以五累減之無(wú)剩,以七百十五累減之剩十,以二百四十七累減之剩一百四十,以三百九十一累減之剩二百四十五,以一百八十七累減之剩一百零九,問(wèn)總數(shù)若干?
上述問(wèn)題的解法,中國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱(chēng)之為“大衍求一術(shù)”,即求解同余式組的問(wèn)題,一般利用孫子定理[1]來(lái)解決.但其解法較為繁瑣,且不能直接求出最小正整數(shù)解.為此本文給出了一種簡(jiǎn)便的并能直接求出同余式組最小正整數(shù)解的遞推公式解法.
首先給出引理.
依次求得的最小正整數(shù)解時(shí),則解
本文定理解法 孫子定理解法k的個(gè)數(shù) n-1個(gè) n個(gè)計(jì)算k的難易程度計(jì)算較為簡(jiǎn)單m1k1≡a2-a1(mod m2),m1m2k2≡a3-x1(mod m3),……m1m2…mn-1kn-1≡an-xn-2(mod mn),其中xi=a1+ ∑計(jì)算較為麻煩,尤為mi過(guò)多時(shí)更甚.m2m3…mnk1≡1(mod m1),m1m3…mnk2≡1(mod m2),……m1m2…mn-1kn≡1(mod mn).n-1 m1…miki.i=1解的結(jié)構(gòu)可直接得到最小正整數(shù)解x=xn-1,且解x的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易記.x=a1+m1k1+m1m2k2+…+m1m2…mn-1kn-1解x的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,最后還應(yīng)適當(dāng)選取k使得解x大于零,才能將其化為最小正整數(shù)解.x=(a1m2m3…mnk1+a2m1m3…mnk2+…+anm1…mn-1kn)-m1…mnk
[1]閔嗣鶴,嚴(yán)仕健.初等數(shù)論[M].北京:人民教育出版社,1957.
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