攻防對(duì)抗中追逃雙方的最優(yōu)策略及其參數(shù)分析

黑高源

(中國空空導(dǎo)彈院，河南洛陽 471009)

微分對(duì)策的一些概念最早可以追溯到20世紀(jì)50年代，幾乎與現(xiàn)代控制理論同時(shí)產(chǎn)生，并且稍后出版了這方面的專著［1］，在可查的文獻(xiàn)中主要涉及兩類模型，分別是 LQDG［2］和 NDG［3－5］，文獻(xiàn)［6］的研究從攔截方的角度出發(fā)，分別給出了兩種模型下，保證脫靶量為零時(shí)各參數(shù)應(yīng)滿足的條件，并對(duì)兩種指標(biāo)下導(dǎo)彈的攔截性能進(jìn)行了比較。但本文將兩種模型合二為一，并以此討論追逃雙方的策略問題。

1 系統(tǒng)模型及簡(jiǎn)化

若追逃雙方的相對(duì)距離相對(duì)于它們的地心矢徑足夠小，同時(shí)考慮自動(dòng)駕駛儀是一階慣性環(huán)節(jié)，用 τi(i=e，p)和ai(i=e，p)表示逃脫方和攔截方的時(shí)間常數(shù)以及指令加速度，則攻防對(duì)抗過程可以簡(jiǎn)化單變量系統(tǒng)［1］:

其中 h(ξ)=e－ξ+ ξ－1，tf是脫靶時(shí)刻，z表示 t時(shí)刻的零控脫靶量。LQDG模型隱含能量約束，NDG模型強(qiáng)調(diào)加速度限制，而實(shí)際情況必然既有能量約束又含加速度限制，因此得到如下模型:

記初始時(shí)刻和脫靶時(shí)刻的零控脫靶量分別為z0和zf。t時(shí)刻的剩余飛行時(shí)間為τ=t－tf，初始時(shí)刻的剩余時(shí)間記為τ0，可知zf也是實(shí)際的脫靶量。

2 攻防參數(shù)分析

2.1 攻防雙方的最優(yōu)策略及可控性條件

根據(jù)微分對(duì)策的基本原理，攻防雙方的最優(yōu)策略以及在最優(yōu)策略下它們各自的位移偏差可以簡(jiǎn)化為:

ti=max［t0，min(t'，tf)］且 fi(t')=Ki。若把 τ0和 zf中涉及 t0的項(xiàng)換成當(dāng)前時(shí)刻t，同時(shí)Ei(i=e，p)表示當(dāng)前剩余能量，則式(3)表示閉環(huán)控制，否則為開環(huán)控制。令

定義函數(shù):

gL(τ0)=f(Ap，Kp，τp)－ f(Ae，Ke，τe)+L，則有逃脫區(qū)域Ie:{(τ0，z0)|z0＞g0(τ0)且 z0＞0}和攔截區(qū)域 Ip:{(τ0，z0)|0＜z0＜g0(τ0)}。圖1 中描繪了當(dāng) τp/τe=0.5，5，0.1 時(shí)曲線g0(τ0)的變化情況。從中可以看出時(shí)間常數(shù)越小，相應(yīng)的可攔截區(qū)域或可逃脫區(qū)域就越大。事實(shí)上，一階慣性環(huán)節(jié)相當(dāng)于延遲環(huán)節(jié)，而延遲的時(shí)間就是時(shí)間常數(shù)，如果一方的延遲的時(shí)間越小，那么它相對(duì)另一方提前機(jī)動(dòng)的時(shí)間就越長(zhǎng)，從而在對(duì)抗中處于更有利地位。另外一方提前機(jī)動(dòng)引起的速度位移的變化會(huì)隨著時(shí)間積累，這也是圖中當(dāng)τ0越大時(shí)g0(τ0)相差也越大的原因。

圖1 時(shí)間常數(shù)對(duì)逃脫區(qū)域的影響

2.2 理想條件下最優(yōu)策略分析

一階系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略的形式較復(fù)雜，不便于分析能量和加速度約束對(duì)攻防雙方的影響。由上節(jié)，當(dāng)τi→0(i=e，p)時(shí)得到理想環(huán)節(jié)下攻防雙方的最優(yōu)策略:

圖2給出了各種條件下攻防雙方相應(yīng)區(qū)域的變化情況。從中可以看出，能量和加速度越大，就越有利于攻防雙方作戰(zhàn)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。對(duì)逃脫方而言，當(dāng)加速度足夠大時(shí)存在絕對(duì)逃脫區(qū)域，但不論攔截方的加速度和能量有多大都不存在一個(gè)絕對(duì)攔截區(qū)域，從這種意義上說攔截的難度要大于逃脫的難度。實(shí)際空戰(zhàn)情況下，能量越大意味消耗燃料越多以及飛行航向的偏離越大，因此空空導(dǎo)彈和飛機(jī)都傾向于提高機(jī)動(dòng)能力(加速度)以較小的代價(jià)(能量)實(shí)現(xiàn)自己的作戰(zhàn)目標(biāo)。實(shí)際上當(dāng)(Ep－Ee)×(Ap－Ae)＜0時(shí)，g0(τ0)=0除了存在零解還有一個(gè)非零解，若加上一階環(huán)節(jié)，還有其它非零解，不過近似為零。定義時(shí)間窗口:

圖2 理想系統(tǒng)下的機(jī)動(dòng)區(qū)域分析

3 仿真算例

攻防雙方的最優(yōu)策略具有相似性，本節(jié)主要從飛機(jī)的角度考察其最優(yōu)策略的相關(guān)結(jié)論。假定雙方的機(jī)動(dòng)策略都按能量都不受限制的情況給出，同時(shí)有Ae=30，Ap=20，則由前文公式可得飛機(jī)的時(shí)間窗口是(0，30)，最佳機(jī)動(dòng)時(shí)刻τ1=18，窗口深度R=900。仿真結(jié)果如表1。

表1 采用最優(yōu)策略時(shí)的脫靶情況

從表1可以看出最終脫靶量L=|z0|－g(τ0)，飛機(jī)在時(shí)間窗口內(nèi)總能逃脫，尤以在最佳機(jī)動(dòng)時(shí)刻開始機(jī)動(dòng)時(shí)的脫靶量最大。

4 結(jié)束語

攻防對(duì)抗中，追逃雙方的機(jī)動(dòng)能力——加速度和能量，對(duì)脫靶量有重要影響，本文給出的可控性條件定量的描述了這種影響，并在此基礎(chǔ)上分析了時(shí)間常數(shù)對(duì)逃脫區(qū)域和攔截區(qū)域的影響。本文還給出了時(shí)間窗口、最佳機(jī)動(dòng)時(shí)刻和窗口深度3個(gè)概念，它們和最優(yōu)策略一起回答了什么時(shí)間機(jī)動(dòng)、如何機(jī)動(dòng)和脫靶量有多少等攻防對(duì)抗中的重要問題，這對(duì)武器設(shè)計(jì)以及實(shí)戰(zhàn)都有重要意義。

［1］ Isaacs R.Differential games［M］.New York:Willey，1965.

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［3］ Gutman S，Leitmann G.Optimal Strategies in the Neighborhood of a Collision Course［J］.AIAA，1976，14:1210－1212.

［4］ Gutman，S.On Optimal Guidance for Homing Missiles［J］.Journal of Guidance and Control，1979 3(4):296 －300.

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［7］ 畢蘭金，李耀陽，武志東.反艦導(dǎo)彈末端蛇行機(jī)動(dòng)突防效果仿真［J］.海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2010(3):252－254.

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(責(zé)任編輯周江川)