彈性微管內(nèi)氣泡的非線性受迫振動(dòng)*

王成會(huì) 程建春

1)(南京大學(xué)聲學(xué)研究所，南京 210093)

2)(陜西師范大學(xué)聲學(xué)研究所，西安 710062)

(2013年1月28日收到;2013年2月18日收到修改稿)

1 引言

隨著生物醫(yī)學(xué)超聲的發(fā)展，超聲波在活體生物組織內(nèi)的動(dòng)力學(xué)行為越來(lái)越受關(guān)注.超聲造影劑微泡注入血管內(nèi)可提高超聲診斷過(guò)程中回波強(qiáng)度，為人們提供了一種便捷、經(jīng)濟(jì)且損害極小的診療手段.高強(qiáng)度超聲波作用于微泡還可產(chǎn)生超聲空化效應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)利用超聲能量進(jìn)行局部治療[1-4].許多研究結(jié)果表明，好的超聲診斷和治療效果均與超聲波作用下氣泡的動(dòng)力學(xué)行為有關(guān)，超聲造影劑微泡在生物體內(nèi)的非線性振動(dòng)可使組織損傷加劇[5-8].超聲空化引起組織損傷等生物學(xué)效應(yīng)的機(jī)理通常基于以下兩種假設(shè)[3]：一是空化氣泡在非線性振蕩過(guò)程中崩潰形成高溫、高壓、沖擊波等引起局部壓力和溫度變化，同時(shí)還可能形成高速運(yùn)動(dòng)的微射流導(dǎo)致血管壁失去原有平衡并形成損壞;二是在驅(qū)動(dòng)聲壓的負(fù)壓相氣泡長(zhǎng)大壓迫血管，在管壁形成較大的周向應(yīng)力(circumferentialstress)擾動(dòng)從而導(dǎo)致血管損傷[9].因此，血管內(nèi)氣泡的動(dòng)力學(xué)行為的研究對(duì)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)超聲波作用下造影劑微泡或生物體內(nèi)原有空化核對(duì)肌體組織的影響具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

氣泡在管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和在無(wú)邊界液體中的運(yùn)動(dòng)相比要復(fù)雜得多[10].首先氣泡運(yùn)動(dòng)受到邊界約束，極易形成偏離球形的振動(dòng)[11]，其形狀變化的復(fù)雜性決定了它的膨脹和崩潰機(jī)制與球狀氣泡動(dòng)力學(xué)相比會(huì)更加復(fù)雜;其次有界空間內(nèi)通常聲壓空間分布具有駐波特征[12]，從而導(dǎo)致氣泡各個(gè)方向受力不均勻并使得其形狀復(fù)雜變化的可能性增大，因此發(fā)展更適合管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)氣泡振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.Leighton等[13]假定氣泡位于一端封閉的剛性管底部且充滿(mǎn)了整個(gè)截面形成柱狀氣泡，只有氣泡-液體一側(cè)端面可以自由移動(dòng)，發(fā)展了一維氣泡自由振動(dòng)理論.若聲波作用下的血管可被看成剛性管，氣泡在血管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可看成是兩側(cè)液柱-氣泡耦合振動(dòng)系統(tǒng)，這種模型最早由Oguz和Prosperetti[14]提出，Sassaroli和Hynynen[15]以此為基礎(chǔ)分析了介質(zhì)黏熱阻尼對(duì)系統(tǒng)共振響應(yīng)的影響.眾多研究表明，氣泡在管狀結(jié)構(gòu)內(nèi)的振動(dòng)受到管壁材料的彈性特征、氣泡本身的初始狀態(tài)以及驅(qū)動(dòng)外場(chǎng)的影響，其固有頻率由于受到剛性管約束而降低且隨著管子長(zhǎng)度減小而減小[15-17].若外驅(qū)動(dòng)力較大，由于泡內(nèi)氣體物態(tài)變化本身具有非線性特征，氣泡-液柱耦合振動(dòng)系統(tǒng)必將出現(xiàn)非線性聲響應(yīng)[18].在超聲波的生物應(yīng)用中以剛性管模型分析微管內(nèi)氣泡的振動(dòng)只是一種粗略的理論近似，有待于進(jìn)一步發(fā)展考慮了管壁彈性后管內(nèi)氣泡振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，Mateynov等[7]已提出計(jì)入管壁彈性后氣泡的線性共振模型.本文將考慮管壁彈性對(duì)氣泡體積變化的影響，以氣泡-液柱-管壁耦合振動(dòng)模型為基礎(chǔ)研究微管內(nèi)氣泡的非線性振動(dòng)規(guī)律.

2 模型描述

當(dāng)氣泡的初始半徑和管尺寸可相比擬時(shí)，可將氣泡看成是一個(gè)無(wú)質(zhì)量可壓縮的柱狀彈性體.該模型可用于研究氣泡處于管狀結(jié)構(gòu)(如毛細(xì)血管等)內(nèi)的氣泡動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，最早由Oguz和Prosperetti[14]提出，Martynov等[7]還將此模型推廣到二維振動(dòng)研究氣泡與彈性血管之間的相互作用.醫(yī)用超聲造影劑微泡典型半徑范圍通常在1—5μm之間[15]，和腸系膜等組織結(jié)構(gòu)中毛細(xì)血管直徑差不多，因此當(dāng)微泡進(jìn)入毛細(xì)血管后，可近似認(rèn)為其保持原有初始體積不變但形狀變成了截面積和毛細(xì)血管相同的圓柱體從而將毛細(xì)血管內(nèi)的液體分為兩個(gè)液柱，在外場(chǎng)的作用下，液柱、柱狀氣泡和血管壁體系形成一個(gè)耦合振蕩系統(tǒng)，如圖1所示.

圖1 管內(nèi)柱狀氣泡振動(dòng)示意圖

式中XB(t)是代表氣泡振動(dòng)的無(wú)量綱參數(shù).氣泡內(nèi)氣體體積變化源于其軸向和徑向尺寸變化的共同作用，因此，泡內(nèi)氣體壓力pB(t)可表示為

式中p0為液體靜壓力，Φ為常數(shù)，可認(rèn)為是與復(fù)頻率相關(guān)的多方指數(shù)[14,16].

基于血管壁本身的彈性特征，可將血管壁簡(jiǎn)化為由覆在組織上的一薄層內(nèi)皮細(xì)胞組成膜彈性結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)方程近似為

式中dυ和dt分別為血管壁和基底組織的有效厚度，ρυ和ρt分別為血管壁和基底組織密度，pa為外界驅(qū)動(dòng)壓力幅值，Eυ為血管壁的楊氏模量，ν為泊松比.

忽略液柱-氣泡系統(tǒng)平動(dòng)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響[18]，兩側(cè)液柱在軸向受外部驅(qū)動(dòng)力和泡氣體壓力的作用下振動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中bv是與黏度阻尼系數(shù).綜合(3)，(5)和(7)式可得氣泡軸向長(zhǎng)度變化相關(guān)的動(dòng)力學(xué)方程為

從(3)式知，氣泡內(nèi)氣體狀態(tài)變化本身是一個(gè)非線性過(guò)程，因此，描述氣泡、液柱和血管壁耦合振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程(4)和(7)均為非線性方程.泡內(nèi)體積變化過(guò)程中，由忽略管壁位移的高價(jià)小量，泡內(nèi)氣體壓力pB(t)近似表示為

因此，約去3階以上的高階小量后動(dòng)力學(xué)方程(4)和(7)近似為

3 系統(tǒng)的共振

由于管壁彈性的影響，氣泡在外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的非線性振動(dòng)將變得更加復(fù)雜，下面我們將討論系統(tǒng)共振頻率附近的非線性聲響應(yīng).忽略系統(tǒng)振動(dòng)阻尼的影響，其線性共振頻率ω0滿(mǎn)足特征方程

因此，當(dāng)驅(qū)動(dòng)外力頻率等于(12)式中的(ω0)1或(ω0)2，體系將處于共振狀態(tài).然而，當(dāng)在系統(tǒng)的受迫振動(dòng)中計(jì)入非線性項(xiàng)時(shí)，其共振響應(yīng)將出現(xiàn)重要的新特性.

3.1 非線性振動(dòng)系統(tǒng)的共振頻率

比較(21)和(22)式可以看出，管壁振動(dòng)和氣泡軸向振動(dòng)中非線性參量對(duì)系統(tǒng)共振頻率的修正影響并不相同，因此，在非線性環(huán)境下，管壁振動(dòng)和氣泡軸向振動(dòng)不能同時(shí)達(dá)到共振狀態(tài).

3.2 受迫振動(dòng)振幅變化特征

為了解彈性微管內(nèi)柱狀氣泡的振動(dòng)特征，下面我們將采用逐次逼近法研究此二維振動(dòng)系統(tǒng)在外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的非線性聲響應(yīng).受迫振動(dòng)方程中充當(dāng)線性恢復(fù)力的因子應(yīng)是振動(dòng)位移的奇函數(shù)，因此去掉(9)和(10)式中振動(dòng)位移的偶函數(shù)項(xiàng)后的耦合動(dòng)力學(xué)方程為

3.3 二分頻激勵(lì)共振響應(yīng)

振動(dòng)的非線性除了使系統(tǒng)在基頻ω0附近共振現(xiàn)象的性質(zhì)出現(xiàn)改變外，還導(dǎo)致出現(xiàn)新的共振，即驅(qū)動(dòng)頻率顯著不同于系統(tǒng)基頻ω0的外力可激發(fā)頻率接近ω0的振動(dòng)[19].

這個(gè)方程組所決定的幅值隨頻率變化規(guī)律和方程組(27)和(28)相同，因此，在液柱-氣泡-彈性管壁構(gòu)成的非線性系統(tǒng)中，利用頻率ω0/2的驅(qū)動(dòng)外力也可激發(fā)系統(tǒng)在共振頻率ω0附近振動(dòng)，只是強(qiáng)度相對(duì)較弱而已.非線性系統(tǒng)的這一重要特性對(duì)用超聲波激勵(lì)液柱-氣泡-彈性管壁振動(dòng)系統(tǒng)具有非常重要的意義，因?yàn)槌暡l率越高，其能量在人體組織中衰減越快[20]，而管壁內(nèi)氣泡共振頻率相對(duì)較高，為實(shí)現(xiàn)超聲能量的最佳利用，在實(shí)際操作中可采用分頻激勵(lì)的辦法，用頻率是管壁內(nèi)氣泡共振頻率一半的超聲波激勵(lì)氣泡振動(dòng).

4 數(shù)值分析

周?chē)橘|(zhì)為液體時(shí)的振動(dòng)氣泡可近似看作球形，其振動(dòng)狀態(tài)取決于它的初始半徑、液體密度、泡內(nèi)氣體狀態(tài)、表面張力系數(shù)以及環(huán)境壓力等.對(duì)處在彈性管內(nèi)的氣泡而言，氣泡兩側(cè)液柱的慣性和管壁的剛度都會(huì)影響氣泡的振動(dòng)狀態(tài).在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，我們首先要確定多方指數(shù)Φ，Φ與泡內(nèi)氣體成分有關(guān)，同時(shí)是氣泡初始半徑、管半徑和驅(qū)動(dòng)聲波頻率的函數(shù)[15,16].Φ的取值取決于泡內(nèi)氣體狀態(tài)變化.對(duì)小氣泡或低頻情形，泡內(nèi)氣體變化可近似看成是等溫過(guò)程.當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲波頻率超過(guò)1 MHz或者氣泡半徑大于4μm，泡內(nèi)氣體的變化通常在等溫過(guò)程和絕熱過(guò)程之間.在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中各系統(tǒng)變量取值分別為：氣泡初始半徑RB=3μm，微管平衡半徑Rυ=4μm，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=100μm，左側(cè)液柱長(zhǎng)度L1=L/5，右側(cè)液柱長(zhǎng)度L2=L-L1-LB，管壁厚度dυ=1μm，基底組織厚度dt分別為0和4μm[7];驅(qū)動(dòng)聲波壓力 pa的有效值分別為1，2和3 atm(1 atm=0.1 MPa);管壁彈性模量分別為0.1，1和10 MPa，泊松比ν=0.5.

圖2 共振頻率隨氣泡初始半徑變化(dt=0)(a)Eυ=0.1 MPa;(b)Eυ=1 MPa;(c)Eυ=10 MPa

和柱狀氣泡的一維縱向振動(dòng)理論相比[18]，氣泡-管壁耦合系統(tǒng)的非線性振動(dòng)更加復(fù)雜，基頻振動(dòng)振幅隨驅(qū)動(dòng)外力頻率的變化曲線也呈現(xiàn)出新的特征.圖3和圖4給出了管壁周?chē)捉M織厚度dt=0和dt=4μm時(shí)氣泡軸向振動(dòng)基頻幅值、管壁振動(dòng)基頻幅值與驅(qū)動(dòng)聲波頻率間的關(guān)系.系統(tǒng)的基頻振動(dòng)幅值-頻率響應(yīng)特性主要表現(xiàn)為：1)出現(xiàn)多個(gè)共振響應(yīng)區(qū)，如管壁彈性為1 MPa時(shí)，氣泡軸向基頻振動(dòng)的共振響應(yīng)區(qū)分別分布在ω/ωX為0.65，0.77和2附近的區(qū)域內(nèi);隨著管壁剛度的減小，低頻共振峰對(duì)應(yīng)的頻率比越小，即共振峰左移(如圖3(1—3)所示);驅(qū)動(dòng)聲壓幅值不影響共振峰出現(xiàn)的位置，但驅(qū)動(dòng)壓力幅值越大，低頻響應(yīng)區(qū)內(nèi)的系統(tǒng)振動(dòng)幅值越大(如圖3(2，4和5)所示).2)振幅具有多值性，因此當(dāng)氣泡受到逐漸變化的頻率激勵(lì)時(shí)，振幅不一定是單調(diào)增加或減小，還可能出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象.跳躍現(xiàn)象通常發(fā)生在頻率比大于1的聲波頻率范圍內(nèi);驅(qū)動(dòng)聲波有效壓力幅值不同，跳躍現(xiàn)象出現(xiàn)的頻率范圍也會(huì)出現(xiàn)差異，并隨著驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值的增加逐漸向高頻區(qū)移動(dòng)(如圖3(2，4和5)所示);管壁剛度同樣影響頻率響應(yīng)跳躍現(xiàn)象出現(xiàn)的頻率范圍，隨著管壁剛度的增加逐漸向低頻區(qū)移動(dòng)(如圖3(1—3)所示).3)在同樣的激勵(lì)條件下，出現(xiàn)振幅多值響應(yīng)的高頻區(qū)內(nèi)氣泡軸向振動(dòng)基頻幅值大于管壁基頻幅值;隨著驅(qū)動(dòng)壓力幅值增加，高頻區(qū)內(nèi)較高分支上的響應(yīng)幅值幾乎不變，而管壁剛度增加不影響高頻區(qū)內(nèi)較高分支上的氣泡軸向振動(dòng)響應(yīng)幅值，但高頻區(qū)內(nèi)較高分支上的管壁響應(yīng)幅值將隨著剛度的增加而增加.4)基底組織的存在將抑制管壁在高頻區(qū)的響應(yīng)幅值，但卻增強(qiáng)了氣泡軸向振動(dòng)響應(yīng)幅值，因此，基底組織越厚，氣泡管壁軸向運(yùn)動(dòng)受到的約束越強(qiáng)，氣泡越接近一維柱狀運(yùn)動(dòng)[18].

圖3 基頻振動(dòng)幅值與驅(qū)動(dòng)聲波頻率間的關(guān)系(dt=0)

圖4 基頻振動(dòng)幅值與驅(qū)動(dòng)聲波頻率間的關(guān)系(dt=4μm)

氣泡內(nèi)氣體狀態(tài)變化的非線性行為成為氣泡非線性振動(dòng)的內(nèi)因，同時(shí)也促使與之耦合運(yùn)動(dòng)的彈性管壁作非線性振動(dòng).對(duì)基頻振動(dòng)而言，其不穩(wěn)定的非線性響應(yīng)主要發(fā)生在高頻區(qū)，即在系統(tǒng)線性高頻共振頻率附近.圖3所給出的振動(dòng)氣泡頻率響應(yīng)特征和Martynov等[15]的數(shù)值研究結(jié)果一致，即在0到∞的驅(qū)動(dòng)聲波頻率變化區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的共振響應(yīng)區(qū)，且管壁剛度越小，低頻共振頻帶越窄，振動(dòng)幅值響應(yīng)越高.Gao等[9]將管壁看成偽彈性體后研究了不同頻率的聲波驅(qū)動(dòng)下的管內(nèi)振動(dòng)氣泡對(duì)管壁應(yīng)力變化的影響，結(jié)果表明驅(qū)動(dòng)聲波頻率越高，管壁的應(yīng)力響應(yīng)越弱.管壁的應(yīng)力響應(yīng)和管壁形變密切相關(guān)，形變?cè)叫?，?yīng)力越小.圖3和4給出的系統(tǒng)非線性幅-頻關(guān)系表明在非共振區(qū)，驅(qū)動(dòng)聲波頻率越高，管壁振動(dòng)幅值越小，即管壁形變?cè)叫?，映證了Gao等[9]的研究結(jié)論.

圖5 三倍頻振動(dòng)幅值與驅(qū)動(dòng)聲波頻率間的關(guān)系(pa=0.1 MPa)

5 結(jié)論

Martynov等[15]對(duì)彈性管內(nèi)氣泡-液柱耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了分析，本文的理論分析是在他們的研究基礎(chǔ)上的拓展，主要著眼于外部聲場(chǎng)作用下彈性微管內(nèi)液柱-氣泡-管壁耦合振動(dòng)系統(tǒng)的非線性特征，利用逐級(jí)近似法對(duì)系統(tǒng)非線性共振頻率、基頻和三倍頻振動(dòng)幅值響應(yīng)、分頻激勵(lì)機(jī)理等進(jìn)行了理論分析.通過(guò)基頻、三倍頻振動(dòng)的幅-頻響應(yīng)的數(shù)值分析我們對(duì)液柱-氣泡-管壁耦合振動(dòng)特征有了初步的了解，主要表現(xiàn)為：氣泡的軸向共振和管壁共振不能同時(shí)出現(xiàn);兩垂直方向的振動(dòng)均表現(xiàn)出幅值響應(yīng)多值性，進(jìn)而可能引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定聲響應(yīng);三倍頻振動(dòng)在低頻區(qū)響應(yīng)強(qiáng)于高頻區(qū);用頻率為系統(tǒng)共振頻率一半的聲波也可在共振頻率附近引起較高的幅值響應(yīng).微管內(nèi)氣泡的非線性響應(yīng)是在外部驅(qū)動(dòng)聲壓達(dá)到一定幅值之后必然引起的動(dòng)力學(xué)結(jié)果，因此對(duì)微管內(nèi)氣泡的非線性振動(dòng)分析對(duì)研究氣泡的動(dòng)力學(xué)行為具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

管壁的彈性能否忽略主要取決于它本身的材質(zhì)和周?chē)橘|(zhì)的約束狀態(tài)，如許多的生物實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)周?chē)M織遠(yuǎn)大于毛細(xì)血管尺寸且組織被加壓達(dá)到一定程度時(shí)，毛細(xì)血管幾乎可以看作是剛性的[15].盡管如此，在超聲波的生物應(yīng)用中以剛性管模型分析微管內(nèi)氣泡的振動(dòng)只是一種粗略的理論近似，進(jìn)一步發(fā)展考慮了管壁彈性后管內(nèi)氣泡振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，可更準(zhǔn)確地描述生物組織血管內(nèi)氣泡受迫振動(dòng)的非線性特征.

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